Nesne

2.1: Diziler ve Limitler - Matematik


2.1: Diziler ve Limitler - Matematik

2.1: Diziler ve Limitler - Matematik

Bu bölüme sekansın ne olduğuyla ilgili bir tartışma ile başlayalım. Bir dizi, belirli bir sırayla yazılmış bir sayı listesinden başka bir şey değildir. Listede sonsuz sayıda terim olabilir veya olmayabilir, ancak bu sınıfta yalnızca sonsuz dizilerle ilgileneceğiz. Genel dizi terimleri aşağıdaki gibi gösterilir,

Sonsuz dizilerle uğraşacağımız için dizideki her terimi yukarıda belirtildiği gibi başka bir terim takip edecektir. Yukarıdaki gösterimde, aboneliklere çok dikkat etmemiz gerekiyor. (n + 1) alt indisi dizideki sonraki terimi gösterir ve bir DEĞİL artı (n^>) terim! Diğer bir deyişle,

bu nedenle, "+1" in abonelikten çıkmadığından emin olmak için abonelik yazarken çok dikkatli olun! Bu tür şeylerle ilk uğraşmaya başladığınızda bu, yapılması kolay bir hatadır.

Bir diziyi belirtmenin çeşitli yolları vardır. Aşağıdakilerin her biri bir diziyi ifade etmenin eşdeğer yollarıdır.

Yukarıdaki ikinci ve üçüncü notasyonlarda birn genellikle bir formülle verilir.

Şimdi bu notasyonlarla ilgili birkaç not var. İlk olarak, yukarıdaki ikinci ve üçüncü gösterimler arasındaki farka dikkat edin. Başlangıç ​​noktası önemli değilse veya bir şekilde problem tarafından ima ediliyorsa, üçüncü gösterimde yaptığımız gibi genellikle yazılmaz. Daha sonra, bir başlangıç ​​noktası yazabilmek için yalnızca üçüncü gösterimde (n = 1) başlangıç ​​noktası kullandık. Bir dizinin (n = 1) ile başlayacağına inanmak için kesinlikle hiçbir neden yoktur. Bir dizi, başlaması gereken yerden başlayacaktır.

Bir iki diziye göz atalım.

  1. (displaystyle sol< ><<>>> sağ>_^eş )
  2. (displaystyle left < sağ)>^>>><<<2^n>>>> sağ>_^eş )
  3. (sol< <> sağ>_^infty ), nerede ( = <>>>pi )

Buradaki ilk birkaç dizi terimini elde etmek için tek yapmamız gereken (n) değerlerini verilen formüle eklemek ve dizi terimlerini elde edeceğiz.

Sondaki “…” işaretine dikkat edin! Bu, dizinin devam ettiğini ve son terimde sona ermediğini bize söyleyen tek şey olduğu için önemli bir notasyon parçasıdır.

Bu da birincisine benzer. Temel fark, bu dizinin (n = 1) ile başlamamasıdır.

Bu dizideki terimlerin işaretlerle değiştiğine dikkat edin. Bu tür dizilere bazen alternatif diziler denir.

Bu dizi, her terim için belirli bir formülü olmadığı için ilk ikisinden farklıdır. Ancak, bize her terimin ne olması gerektiğini söyler. Her terim şu olmalıdır: n. (pi) rakamı. Yani biliyoruz ki (pi = 3.14159265359 ldots )

Önceki örneğin ilk iki bölümünde, formülleri gerçekten yalnızca tamsayılar ekleyebilen işlevler olarak ele aldığımıza dikkat edin. Veya,

Bu, diziler (ve diziler) çalışmasında önemli bir fikirdir. Dizi terimlerini fonksiyon değerlendirmeleri olarak ele almak, dizilerle başka türlü yapamayacağımız birçok şeyi yapmamızı sağlayacaktır. Ancak bu fikre daha fazla girmeden önce, aradan birkaç fikir daha çıkarmamız gerekiyor.

İlk olarak, bir sekansın “grafiğini çizmek” hakkında düşünmek istiyoruz. Dizinin grafiğini çizmek için (left< <> sağ>) noktaları çiziyoruz (sol( <>> ight)) as (n) bir grafikteki tüm olası değerler arasında değişir. Örneğin, (left< ><<>>> sağ>_^infty). Grafikteki ilk birkaç nokta,

Dizinin ilk 30 terimi için grafik, daha sonra,

Bu grafik bizi diziler hakkında önemli bir fikre götürür. (n) dizimizdeki dizi terimlerini artırdıkça, bu durumda sıfıra yaklaştıkça yaklaştığına dikkat edin. O zaman sıfırdır deriz sınır (veya bazen sınırlayıcı değer) dizisinin ve yazma,

Bu gösterim size tanıdık gelmelidir. Bir fonksiyonun limitinden bahsettiğimizde kullandığımız gösterimin aynısıdır. Aslında, hatırlarsanız daha önce dizileri bir şekilde fonksiyon olarak düşünebileceğimizi söylemiştik ve bu yüzden bu gösterim çok şaşırtıcı olmamalı.

Fonksiyonların limitleri için geliştirdiğimiz fikirleri kullanarak aşağıdakileri yazabiliriz. çalışma tanımı dizilerin limitleri için

Çalışma Limitin Tanımı

eğer yapabilirsek birn yeterince büyük (n) için istediğimiz kadar (L)'ye yakın. Başka bir deyişle, ('nin değeri)'nin yaklaşımı (L) olarak (n) sonsuza yaklaşır.

eğer yapabilirsek birn yeterince büyük (n) için istediğimiz kadar büyük. Yine, başka bir deyişle, ((n) sonsuza yaklaştıkça, )'ler sınırsız olarak büyür ve büyür.

eğer yapabilirsek birn yeterince büyük (n) için istediğimiz kadar büyük ve negatif. Yine, başka bir deyişle, ()'ler negatiftir ve (n) sonsuza yaklaştıkça sınırsız büyür ve büyür.

Çeşitli dizi limitlerinin çalışma tanımları, limitin gerçekte ne olduğunu görselleştirmemize yardımcı oldukları için güzeldir. Ancak fonksiyonların limitlerinde olduğu gibi, bu limitlerin her biri için de kesin bir tanım vardır. Devam etmeden önce bunları verelim

Hassas Limitin Tanımı

  1. (mathop limits_ diyoruz. = L) eğer her (varepsilon > 0) için bir tamsayı (N) varsa, öyle ki [left| <- L> sağ| < varepsilon hspace<0.5in>>hspace<0.5in>n > N]
  2. (mathop limits_ diyoruz. = infty ) eğer her sayı (M > 0) için öyle bir tamsayı (N) varsa [ > Mhspace<0.5in>,,,,,>hspace<0.5in>n > N]
  3. (mathop limits_ diyoruz. = - infty ) eğer her sayı (M < 0) için öyle bir tamsayı (N) varsa [ < Mhspace<0.5in>,,,,,>hspace<0.5in>n > N]

Kesin tanımı sık sık kullanmayacağız, ancak ara sıra ortaya çıkacak.

Her iki tanımın da bize bir limitin var olması ve sonlu bir değere sahip olması için, (n) arttıkça tüm dizi terimlerinin bu sonlu değere gittikçe yaklaşması gerektiğini söylediğine dikkat edin.

Artık dizilerin limitinin tanımlarına sahip olduğumuza göre, bakmamız gereken biraz terminolojimiz var. Eğer (mathop limits_ ) vardır ve sonludur diyoruz yakınsak. Eğer (mathop limits_ ) yoktur veya sonsuzdur diyoruz uzaklaşır. Bazen sırayı söyleyeceğimize dikkat edin ayrılıyor (infty ) if (mathop limits_ = infty ) ve if (mathop limits_ = -infty) bazen diyeceğiz ki dizi ayrılıyor ( - eş ).

Bu bölümde onları biraz göreceğimiz için “yakınsak” ve “ıraksak” terimlerine alışın.

Peki dizilerin sınırlarını nasıl bulacağız? Çoğu dizinin çoğu limiti aşağıdaki teoremlerden biri kullanılarak bulunabilir.

Teorem 1

(left< < dizisi verildiğinde> ight>) (fleft( x ight)) öyle bir fonksiyonumuz varsa (fleft( n ight) = ) ve (mathop limits_ fsol( x sağ) = L) ardından (mathop limits_ = L)

Bu teorem, temel olarak, fonksiyonların limitini aldığımız gibi dizilerin limitlerini de aldığımızı söylüyor. Aslında, çoğu durumda, açıkça bir fonksiyon yazarak bu teoremi gerçekten kullanmayacağız bile. Daha sık olarak limiti bir fonksiyonun limitiymiş gibi ele alacağız ve fonksiyonların limitlerini alırken Matematik I'de her zaman yaptığımız gibi limiti alacağız.

Artık bir dizinin limitini almanın bir fonksiyonun limitini almakla neredeyse aynı olduğunu bildiğimize göre, fonksiyonların limitlerinden gelen tüm özelliklerin de geçerli olacağını biliyoruz.

Özellikleri

Eğer (sol< <> sağ>) ve (sol< <> ight>) her ikisi de yakınsak dizilerdir,

Bu özellikler, yukarıdaki Teorem 1 ve Matematik I'de gördüğümüz fonksiyon limit özellikleri kullanılarak ispatlanabilir veya fonksiyon limit özelliklerinin neredeyse aynı ispatlarını kullanarak bir limitin kesin tanımını kullanarak bunları doğrudan ispatlayabiliriz.

Daha sonra, fonksiyon limitleri için bir Squeeze Teoremimiz olduğu gibi, diziler için de bir Squeeze Teoremi var ve bu, fonksiyon limit versiyonuyla hemen hemen aynı.

Diziler için Squeeze Teoremi

Bu teoremde "for all (n > N) for some (N)" ifadesinin gerçekten bize ('ye ihtiyacımız olduğunu söylediğine dikkat edin. le le ) yeterince büyük (n) için, ancak ilk birkaç (n) için doğru değilse, bu teoremi geçersiz kılmaz.

Göreceğimiz gibi, tüm diziler gerçekten limitini alabileceğimiz fonksiyonlar olarak yazılamaz. Bu, özellikle işaretlerde değişen diziler için geçerli olacaktır. Bu dizi terimlerini her zaman bir fonksiyon olarak yazabilsek de, böyle bir fonksiyonun limitini nasıl alacağımızı bilmiyoruz. Aşağıdaki teorem bu dizilerden bazılarında yardımcı olacaktır.

Teorem 2

Bu teoremin limitinin sıfır olması ZORUNLU olduğunu ve limiti sıfır olmayan bir dizi için çalışmayacağını unutmayın. Bu teoremin ispatı yeterince kolaydır, hadi bunu yapalım.

Teorem 2'nin Kanıtı

Bu kanıtın en önemli yanı şunu belirtmektir,

Daha sonra (mathop limits_ sol( < - sol| <> sağ|> sağ) = mathop limits_ sol| <> sağ| = 0) ve böylece Squeeze Teoremine göre de sahip olmamız gerekir,

Bir sonraki teorem, ara sıra ortaya çıkan bir dizinin yakınsaklığını/ıraksaklığını ve değerini (yakınsadığı zaman için) veren kullanışlı bir teoremdir.

Teorem 3

(sol< < dizisi> sağ>_^infty ) if ( - 1 < r le 1) ise yakınsar ve diğer tüm (r) değerleri için ıraksar. Ayrıca,

İşte bu teoremin hızlı (o kadar hızlı değil, ama kesinlikle basit) kısmi kanıtı.

Teorem 3'ün Kısmi Kanıtı

Bunu bir dizi vaka ile yapacağız, ancak son vaka tamamen kanıtlanamayacak.

Dava 1 : (r > 1)
Matematik I'den biliyoruz ki (mathop limits_ = infty ) if (r > 1) ve böylece yukarıdaki Teorem 1'e göre (mathop limits_ olduğunu da biliyoruz) = infty ) ve böylece dizi eğer (r > 1) ıraksar.

2. durum : (r = 1)
Bu durumda elimizde,

Böylece dizi (r = 1) için yakınsar ve bu durumda limiti 1'dir.

Durum 3 : (0 < r < 1)
Matematik I'den biliyoruz ki (mathop limits_ = 0) if (0 < r < 1) ve böylece yukarıdaki Teorem 1'e göre (mathop limits_ olduğunu da biliyoruz) = 0) ve böylece eğer (0 < r < 1) ise dizi yakınsar ve bu durumda limiti sıfırdır.

4. vaka : (r = 0)
Bu durumda elimizde,

Böylece dizi (r = 0) için yakınsar ve bu durumda limiti sıfırdır.

vaka 5 : ( - 1 < r < 0)
Önce not edelim ki ( - 1 < r < 0) o zaman (0 < left| r ight| < 1) ise, o zaman yukarıdaki Durum 3'e göre,

Yukarıdaki Teorem 2 şimdi bize ayrıca, (mathop limits_'e sahip olmamız gerektiğini söylüyor. = 0) ve eğer ( - 1 < r < 0) ise dizi yakınsar ve limiti 0'dır.

vaka 6 : (r = - 1)
Bu durumda sıra,

ve umarım (mathop limits_ sağ)^n>) mevcut değil. Bu limitin oluşabilmesi için terimlerin (n) arttıkça tek bir değere yaklaşması gerektiğini hatırlayın. Ancak bu durumda terimler 1 ile -1 arasında değişir ve bu nedenle sınır yoktur.

Böylece, dizi (r = - 1) için ıraksar.

vaka 7 : (r < - 1)
Bu durumda tam bir ispattan geçmeyeceğiz. Örneğin (r = - 2) izin verirsek ne olacağını görelim. Bunu yaparsak dizi olur,

Dolayısıyla, eğer (r = - 2) ise, değerleri değişken olan ve giderek büyüyen bir terim dizisi elde ederiz ve böylece (mathop limits_ ight)^n>) mevcut değil. (n) arttıkça tek bir değere yerleşmez ve TÜM terimleri sonsuza yaklaşmaz. Böylece dizi (r = - 2) için ıraksar.

Herhangi bir (r) değeri için benzer bir şey yapabiliriz, öyle ki (r < - 1) ve böylece dizi (r < - 1) için ıraksar.

Dizilerin limitlerine ilişkin birkaç örneğe bakalım.

  1. (sol < - 1>><<10n + 5>>> sağ>_^eş )
  2. (sol< >^<2n>>>>> sağ>_^eş )
  3. (left < sağ)>^n>>>> sağ>_^eş )
  4. (sol < <<sağ)>^n>> sağ>_^eş )

Bu durumda tek yapmamız gereken, Calculus I'de rasyonel fonksiyonların limitlerini ele almak için geliştirilen yöntemi hatırlamaktır. Gerekirse, bunun gözden geçirilmesi için Hesap I notlarının Sonsuzdaki Limitler, Kısım I bölümüne bakın.

Bu formda bir limit yapmak için tek yapmamız gereken pay ve paydadan (n)'nin en büyük kuvvetini çarpanlarına ayırmak, iptal etmek ve sonra limiti almak.

Böylece dizi yakınsar ve limiti (frac<3><5>).

Bu konuda dikkatli olmamız gerekecek. Bu dizide L'Hospital Kuralını kullanmamız gerekecek. Sorun şu ki, L'Hospital Kuralı diziler üzerinde değil, sadece fonksiyonlar üzerinde çalışıyor. Normalde bu bir sorun olurdu, ancak bize yardımcı olması için yukarıdan Teorem 1'e sahibiz. tanımlayalım

Teorem 1, yapmamız gereken tek şeyin fonksiyonun limitini almak olduğunu söylüyor.

Böylece, bu kısımdaki dizi ıraksar ((infty)'ye).

Çoğu zaman, dizi terimleri üzerinde ilk önce (x)'lere dönüştürmeden L'Hospital Kuralını yaparız, çünkü (x) veya (n) kullansak da çalışma aynı olacaktır. Ancak dizi terimleriyle uğraşırken teknik olarak türevleri yapamayacağımızı gerçekten unutmamalıyız.

Bu sıraya da dikkat etmemiz gerekecek. Dizi terimlerinin limitinin sıfır olduğunu söylemeye meyilli olabiliriz (ve doğru olurduk). Bununla birlikte, teknik olarak, aynı davranışı sergileyen fonksiyonların limitlerini nasıl yapacağımızı bilmediğimiz için terimleri işaret olarak değişen dizilerin limitini alamayız. Ayrıca, bu problemlerde sezgiye çok fazla güvenmemeye çok dikkat etmek istiyoruz. Bir sonraki bölümde ve daha sonraki bölümlerde göreceğimiz gibi, dikkatli olmazsak sezgilerimiz bizi bu sorunlarda yanıltabilir.

Öyleyse, bunu kitabına göre çalışalım. Bu problemde Teorem 2'yi kullanmamız gerekecek. Bunun için önce hesaplamamız gerekecek,

Bu nedenle, üzerlerinde mutlak değer çubukları olan dizi terimlerinin limiti sıfıra gittiğinden, Teorem 2'den biliyoruz ki,

bu da dizinin sıfır değerine yakınsadığı anlamına gelir.

Bu teorem için tek yapmamız gereken, bunun yukarıdaki Teorem 3'teki (r = - 1) dizisi olduğunu anlamaktır. Böylece, Teorem 3'e göre bu dizi ıraksamaktadır.

Şimdi Teorem 2'yi yanlış kullanma konusunda bir uyarı vermemiz gerekiyor. Teorem 2 sadece limit sıfır ise çalışır. Dizi terimlerinin mutlak değerinin sınırı sıfır değilse, teorem geçerli olmayacaktır. Önceki örneğin son kısmı buna iyi bir örnektir (ve aslında bu uyarı, o kısmın orada olmasının tüm nedenidir). dikkat edin

ve yine de, (mathop limits_ ight)^n>) 1'e eşit olmak şöyle dursun, var bile değil. Bu Teorem 2'yi kullanırken dikkatli olun. Bunun yalnızca limit sıfır olduğunda çalıştığını her zaman hatırlamalısınız.

Bir sonraki bölüme geçmeden önce, yolun aşağısında bir kanıt için ihtiyaç duyacağımız bir teorem daha vermeliyiz.

Teorem 4

(left< < dizisi için> ight>) eğer her ikisi de (mathop limits_ > = L) ve (mathop limits_ > = L) ardından (sol< <> ight>) yakınsaktır ve (mathop limits_ = L).

Teorem 4'ün Kanıtı

O zaman (mathop limits_ > = L) bir ( > 0) öyle ki eğer (n > ) Biz biliyoruz ki,

[sol| <> - L> sağ| < varepsilon ]

Aynı şekilde, çünkü (mathop limits_ > = L) bir ( > 0) öyle ki eğer (n > ) Biz biliyoruz ki,

Şimdi (N = max left< <2 olsun,2 + 1> sağ>) ve (n > N) olsun. O zaman ya ( = >) bazıları için (k > ) veya ( = >) bazıları için (k > ) ve her iki durumda da buna sahibiz,

[sol| <- L> sağ| < varepsilon ]

Bu nedenle, (mathop limits_ = L) ve böylece (sol< <> ight>) yakınsaktır.


İçindekiler

Yunan filozof Elealı Zeno, sınırlayıcı süreçleri içeren paradoksları formüle etmesiyle ünlüdür.

Leucippus, Democritus, Antiphon, Eudoxus ve Archimedes, bir alanı veya hacmi belirlemek için sonsuz bir yaklaşım dizisini kullanan tükenme yöntemini geliştirdi. Arşimet, şimdi geometrik dizi olarak adlandırılan şeyi özetlemeyi başardı.

Newton serilerle ilgili eserlerinde Sonsuz serilerle analiz (1669'da yazılmış, el yazması olarak dağıtılmış, 1711'de yayınlanmıştır), Akıların yöntemi ve sonsuz seriler (1671'de yazılmış, 1736'da İngilizce tercümesi yayınlanmıştır, Latince orijinali çok daha sonra yayınlanmıştır) ve Tractatus de Quadratura Curvarum (1693'te yazılmış, 1704'te onun eki olarak yayınlanmıştır) optikler). İkinci çalışmada, Newton (x + Ö) n , daha sonra doğrusallaştırır limiti almak gibi Ö 0'a eğilimlidir.

18. yüzyılda Euler gibi matematikçiler bazı şeyleri özetlemeyi başardılar. farklı serileri doğru anda durdurarak hesaplanabildiği sürece bir limitin var olup olmadığı pek umurlarında değildi. Yüzyılın sonunda, Lagrange, Théorie des fonctions analytiques (1797), titizlik eksikliğinin kalkülüste daha fazla gelişmeyi engellediğini belirtti. Gauss, hipergeometrik seri (1813) etüdünde ilk kez bir serinin bir limite yakınsadığı koşulları titizlikle araştırdı.

Limitin modern tanımı (her ε için bir indeks vardır. N Böylece . ) Bernhard Bolzano tarafından verildi (Der binomische Lehrsatz, Prag 1816, o zamanlar çok az fark edildi) ve 1870'lerde Karl Weierstrass tarafından.


2.1. 수열(sıra)의 정의와 수열의 극한(sınır)

수열(sıra)이란 수학적 대상들의 순서있는 나열이다. 수열은 나열 순서를 생각해야 하고 중복이 점에서 집합과 구분된다. 수열을 수열을 $(a_1,, a_2,, a_3,, ldots)$ 또는 간단히 $(a_n)$으로 나타내며, 여기서 $a_n$은 주어진 수열의 $n$번째 항을 나타낸다. 일반적으로 수열의 각 항은 어떤 수학적 상관이 없지만, 여기서는 오직 실수열(gerçek sıra)만을 생각하기로 한다. 여기서 실수열이란, 수열의 각 항 $a_n$이 실수인 수열을 말한다.

수열 $(a_n)$과 실수 $L$이 주어졌다고 하자. 이제 임의의 $epsilon>0$에 대하여 적당한 자연수 $N in N$이 존재하여, $n>N$일 때마다 $abs < epsilon$이 성립하면, 수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴(yakınsak)한다고 한고 하고, $L$을 수열 $(a_n)$의 극한(sınır)이라 부른다.

수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴하는 경우를 다음과 같은 기호로 나타낸다. [ lim_ a_n = L qquad ext qquad a_n o L ext n o infty ]

예제. 수열 $(frac<1>)$이 $으로 수렴함을 증명해 보자: 주어진 $epsilon>0$에 대하여,

여기서 마지막 부등식은 $n > frac<1>$일 때 성립한다. 따라서 $N = frac<1>$으로 잡으면 수열의 극한의 정의에 의해, $frac<1> o 0$임을 알 수 있다. .

예제. 수열 $((2n+1)/3n+2)$이 $2/3$으로 수렴함을 증명해 보자 보자: 주어진 $epsilon>0$에 대하여,

여기서 마지막 부등식은 $n > frac<1><9epsilon>$일 때 성립한다. 따라서 $N = frac<1><9epsilon>$으로 잡으면 된다. .

예제. 수열 $(n)$은 어떠한 실수로도 수렴하지 않음을 증명해 보자 보자 실수 $L in R$과 자연수 $N in N$을 택하자. 그러면 $n geq max +1$을 만족하는 자연수 $n$이 존재한다. 따라서 $epsilon=1$이라 하면, $abs = abs geq 1$이 되어 $(a_n)$은 $L$로 수렴하지 않음을 알 수 있다. 이와 같이 $(a_n)$이 어떤 실수로도 수렴하지 않는 경우, $(a_n)$은 발산(farklı)한다고 한다. .

이번 절에서는 수열의 극한에 대한 다양한 대해서 알아보도록 하자. 먼저 다음 정리는 극한의 유일성을 보여준다.

만약 주어진 수열 $(a_n)$이 수렴한다면, 극한은 유일하다.

증명. 수열 $(a_n)$이 두 극한 $L_1$과 $L_2$로 수렴한다고 가정해 보자. 그러면 주어진 $epsilon>0$에 대하여, 적당한 두 자연수 $N_1,, N_2 in N$이 존재하여,

이제 $N = max< N_1,, N_2 >$라 하자. 그러면 모든 $n>N$에 대하여,

를 얻는다. 여기서 $epsilon>0$이 임의의 양수이므로 $abs = 0$이여야만 하고, 따라서 $L_1 = L_2$이다. .

이제 수열의 극한을 간단히 증명할 수 도와주는 다음의 두 정리를 살펴보자.

두 수열 $(a_n)$과 $(b_n)$이 각각 $L$과 $K$로 수렴한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. 이제 이항연산 $ ewcommand<, lap< lap< imes>

> <+>,> ultimate$가 사칙연산 ,, -,, imes, , div$ 중 하나라 하자. 이제 새로운 수열 $(c_n)$을 $c_n = a_n ihai b_n$으로 정의하면, $(c_n)$은 $L ihai K$로 수렴한다. (단, $ultimate$가 $div$인 경우, $K eq 0$이여야 한다.)

세 수열 $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$에 대하여, 모든 $n in N$에 대하여 $a_n leq c_n leq b_n$이 성립하고 $(a_n)$과 $(b_n)$이 하나의 극한 $L$로 수렴한다고 하자. 그러면 $(c_n)$ 또한 $L$로 수렴한다.

  1. 적당한 실수 $M in R$이 존재하여, 모든 $n in N$에 대하여 $a_n leq M$이면 수열 $(a_n)$은 위로 유계(yukarıda sınırlandırılmıştır)라 한다.
  2. 적당한 실수 $m in R$이 존재하여, 모든 $n in N$에 대하여 $a_n geq M$이면 수열 $(a_n)$은 아래로 유계(aşağıda sınırlandırılmıştır)라 한다.
  3. 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계이면, 즉, 적당한 실수 $M$이 존재하여, 모든 $n in N$에 대하여 $abs leq M$이면 수열 $(a_n)$은 유계(sınırlı)라 한다.
  4. 모든 $n in N$에 대하여 $a_n leq a_$이 성립하면 수열 $(a_n)$은 증가(artan)한다고 한다.
  5. 모든 $n in N$에 대하여 $a_n geq a_$이 성립하면 수열 $(a_n)$은 감소(azalan)한다고 한다.
  6. 증가 수열이거나 감소 수열이면 단조 수열(monoton dizi)라 한다.

먼저 아래 정리에 의해 모든 수렴하는 유계 수열임을 알 수 있다.

만약 주어진 수열 $(a_n)$이 수렴한다면, 이 수열은 유계이다.

증명. 수열 $(a_n)$이 극한 $L$로 수렴한다고 가정해 보자. 이제 $epsilon=1$로 잡으면, 적당한 자연수 $N in N$이 존재하여, $n>N$일 때마다 $abs < 1$을 얻는다. 따라서 $n > N$인 경우 $abs < abs + 1$임을 알 수 있다. 이제 [ M = max< abs,, abs,, ldots,, abs<>>,, abs+1 > ] 로 잡으면 모든 $n in N$에 대하여 $abs leq M$이 되어 $(a_n)$이 유계 수열임을 알 수 있다. .

예제. 위 정리의 역은 성립하지 않는다: 수열 $(a_n)$, $a_n = (-1)^n$을 생각해 보자. 그러면 모든 자연수 $n in N$에 대하여 $abs leq 1$이므로 $(a_n)$은 유계 수열이다. 이제 임의의 실수 $L in R$을 택하자. 그러면 임의의 자연수 $n in N$에 대하여 $abs<>-a_n>=2$이는 관찰로부터 다음 부등식을 얻는다. [ 2 = abs<>-a_n> leq abs<>-L> + abs ] 이는 임의의 $n in N$에 대하여 부등식 $abs<>-L> geq 1$ 또는 $abs geq 1$이 반드시 성립해야 함을 의미한다. 따라서 $epsilon=1$로 잡으면, 수열의 극한에 정의에 의해 $(a_n)$은 $L$로 수렴하지 않음을 알 수 있다. .


Yorumlar

Dijital filtreler

N-bonacci dizilerinin çok pratik bir uygulamaya sahip olduğunu belirtmekte fayda var. FIR (sonlu dürtü yanıtı) dijital filtreler olarak adlandırılanların temelini oluştururlar. Bunlar, sinyalleri işlemek için uygulamalarda çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, cep telefonunuzda birçok dijital filtre vardır ve bunlar sesi çok daha iyi hale getirir, böylece çok uzaktaki biriyle parazit olmadan konuşabilirsiniz. Sayısal filtrenin performansı, yukarıdaki denklemi (1) vermek için kullanılan yöntemlerin bir genellemesi olan Z-dönüşümünü kullanarak incelenmiştir. Infinacci dizisi, IIR veya sonsuz dürtü yanıtı dijital filtrelerini incelediğinizde ortaya çıkar. İlginç bir şekilde, bunlar sonsuz sayıda terim kullanılmadan oluşturulabilir, ancak bu başka (oldukça uzun) bir hikaye.

Addinaccis ve sonsuz sabitler

Fibonacci (veya 2-bonacci) dizisini tanımlamanın başka bir yolu A(i) = A2(i-1) - A(i-3) şeklindedir, burada i dizideki A sayısının indeksi veya konumudur. Dizideki i'deki herhangi bir sayı, hemen önceki sayıya eşittir, i-1, 2 ile çarpılır, eksi 3. sayı. Örneğin 34 = (21x2) - 8. Genel olarak bir n-bonacci A(i) = A2(i-1) - A(i-(n+1)) ile tanımlanır.

Bu iki terimi çıkarmak yerine toplarsak ne olur? Çıkarmalı bir 3-nacci yerine, A(i) = 2A(i-1) + A(i-4) bir katkı maddesi tanımlarsak ne olur? Yaklaşık 2.1069'luk bir oran sabiti elde ettim, x^4 - 2x^3 - 1 = 0'ın pozitif çözümü. n-nacci veya n-addinacci toplamlarının genel durumunda, sabit de 2'ye yakınsar ama a'dan A(i) = 2A(i-1)+ A(i-1) = 3A(i-1) olarak 0-addinacci sabiti 3 olduğundan, daha tanıdık çıkarma işleminin tersi yön. A(i) = 2(Ai-1) + A(Ai-2)'deki 1-addinacci (diğer adıyla Pell dizisi), x^2 için pozitif çözüm olan 2.414 sabitine (diğer adıyla Gümüş oranı) sahiptir - 2x^1 - 1 = 0. 2-addinacci, x^3 - 2x^2 - 1 = 0 polinomuna ve 0-addinacci x^1 - 2x^0 - 1 = 0'a sahip olmalıdır.

Şimdi, sabitleri 3'ten değil de sonsuzdan inen bir diziler ailesine ne dersiniz? Bilinen Fibonacci polinomu x^2 - x- 1 = 0'ı almayı öneriyorum. x için pozitif çözüm burada (1+√5)/2 kesriyle verilmektedir.

1.618. Bir sonraki aile üyesi 2x^2 - x - 1 = 0 ve şimdi x = (1+√9)/4 = 1'i elde etmek için polinomun sadece ilk terimini 2 ile çarpın. 3x^2 - x - 1 = 0 (1+√13)/6 alır

0.768. Kökün altındaki sayı her seferinde 4 artar ve payda 2 azalır. Yani polinomun ilk terimi 0x^2 + x - 1 = 0'daki gibi 0 ise, o zaman kesri (0 +) almalıyız. √1)/0.

Makale, 0'a bölünen herhangi bir şeyin tanımsız olduğunu söylüyor, ancak 0'a bölünen herhangi bir doğal sayının sonsuz olduğunu söylemek için bir durum yok mu? Çoğumuz, Fibonacci dizisinin, yaşamın ikinci ayından başlayarak belirli bir oranda üremeleri halinde beklenebilecek tavşan sayısındaki artışı, bu durumda nesil başına yaklaşık 1.618, Fibonacci sabitini belirlediğini biliyoruz. Tavşan yetiştirme terimlerinde sonsuzluk oranı, tavşanların doğar doğmaz daha fazla tavşan yetiştirmesi ve yavru tavşanların da aynı şeyi yapması anlamına gelir.


Alıştırmalar 11.1

Ör 11.1.2 $dslim_ olduğunu göstermek için sıkıştırma teoremini kullanın. =0$.

Ör 11.1.3 $ds-sqrt>_^infty$ yakınsar veya uzaklaşır. Yakınsarsa, limiti hesaplayın. (Cevap)

Ör 11.1.4 $dsleft< olup olmadığını belirleyinsağ>_^infty$ yakınsar veya uzaklaşır. Yakınsarsa, limiti hesaplayın. (Cevap)

Ör 11.1.5 $dsleft< olup olmadığını belirleyin<>>sağ>_^infty$ yakınsar veya uzaklaşır. Yakınsarsa, limiti hesaplayın. (Cevap)

Ör 11.1.6 $dsleft<<2^nover n!> ight>_ olup olmadığını belirleyin^infty$ yakınsar veya uzaklaşır. (Cevap)


Sınır Karşılaştırma Testi

teorem. Tüm $ngeq N$ için $a_n>0$ ve $b_n>0$ olduğunu varsayalım.

$quad (1)$ Eğer $displaystyle lim_ frak = c>0$, sonra $sum a_n$ ve $sum b_n$ ıraksamanın yakınsaması.

$quad (2)$ Eğer $displaystyle lim_ frak = 0$ ve $sum b_n$ yakınsar, onlar $sum a_n$ yakınsar.

$quad (3)$ Eğer $displaystyle lim_ frak = infty$ ve $sum b_n$ ıraksar, sonra $sum a_n$ ıraksar.

Misal. $displaystyle sum_ dizisinin^infty frac<1><2sqrt+sqrt[3]>$ yakınsar veya uzaklaşır.

Çözüm. $ lim_ ile Limit Karşılaştırma Testi ile frac<2sqrt+sqrt[3]>><1/sqrt> = lim_ frac<1><2+n^<-1/6>> =frac<1><2>, $ $p$-serisi $sum_'dan beri dizinin ıraksadığını görüyoruz^infty frac<1>>$ ıraksar.

Misal. $displaystyle sum_ dizisinin^infty frak<>>$ yakınsar veya uzaklaşır.

Çözüm. $ lim_ ile Limit Karşılaştırma Testi ile frac<>>>>> = lim_ frak = 1, $ dizinin $p$-serisi $sum_ olduğundan beri yakınsadığını görüyoruz.^infty frac<1>>$ yakınsar.

Misal. $displaystyle sum_ dizisinin^infty frac<1><(ln n)^2>$ yakınsar veya uzaklaşır.

Çözüm. $ lim_ ile Limit Karşılaştırma Testi ile frac<1/(ln n)^2> <1/n>= lim_ frak <(ln n)^2>= lim_ n =infty, $ dizinin $p$-serisi $sum_'dan beri ayrıldığını görüyoruz^infty frac<1>$ ayrışır.

Misal. $displaystyle sum_ dizisinin^infty frac$ yakınsar veya uzaklaşır.

Çözüm. $sum_ serisini hatırlayın^infty frac<1>$ ıraksar, ancak $sum_ serisi^infty frac<1>$ yakınsar. Ancak bu iki seri ile yapılan Limit Karşılaştırma testi sonuçsuzdur. Bunun yerine $sum_ dizisini düşünün^infty frac<1>>$. $ lim_ buluruz frac<1/n^<3/2>> = lim_ frac> =0 $ Bu nedenle, Limit Karşılaştırma Testi ile verilen seriler yakınsar.


2.1: Diziler ve Limitler - Matematik

Belirli bir kurala (veya kurallara) göre belirli bir sırada bir dizi sayıdır.
Kümenin her sayısına dizinin bir terimi denir ve uzunluğu, içindeki terimlerin sayısıdır. sırasını şöyle yazabiliriz. . Sonlu bir dizi genellikle bir ile tanımlanır1, bir2, bir3…. birn, ve sonsuz bir dizi bir ile tanımlanır1, bir2, bir3…. sonsuzluğa. Bir dizi <>n> L limitine sahip ve yazıyoruz veya gibi .
Örneğin:

Bir dizinin terimleri bir formülle açıklanabiliyorsa diziye denir. ilerleme.

Teoremler:

Teorem 1: Sıra verildiğinde eğer bir fonksiyonumuz varsa f(x) öyle ki f(n) = ve sonra Bu teorem, temel olarak, fonksiyonların limitini aldığımız gibi dizilerin limitlerini de aldığımızı söylüyor.

Teorem 2 (Sıkma Teoremi): Eğer tüm n > N için bazı N ve sonra

Teorem 3: Eğer sonra . Bu teoremin limitinin sıfır olması ZORUNLU olduğunu ve limiti sıfır olmayan bir dizi için çalışmayacağını unutmayın.

teorem 4: Eğer ve işlev f süreklidir L, sonra

Teorem 5: Sekans yakınsak ise ve için farklı
r'nin diğer tüm değerleri. Ayrıca,

Bu teorem, ara sıra ortaya çıkan bir dizinin yakınsaklığını/ıraksaklığını ve (yakınsadığı zaman için) değerini veren kullanışlı bir teoremdir.

Özellikleri:

DİZİ:

Bir dizi basitçe bir dizinin çeşitli terimlerinin toplamıdır.
sıra ise ifade ilişkili dizi denir. Bir dizi, ‘S’ veya Yunan sembolü ile temsil edilir. . Seri sonlu veya sonsuz olabilir.
Örnekler:

Kısmi toplamlar dizisi yakınsak bir dizi ise (yani limiti var ve sonluysa), o zaman diziye de denir. yakınsak yani sonra . Aynı şekilde, kısmi toplamlar dizisi ıraksak bir dizi ise (yani, eğer veya limiti yoksa veya artı veya eksi sonsuz ise) seriye ıraksak da denir.

Özellikleri:

Teoremler:

TOPLAMALAR:

Toplama, bir sayı dizisinin eklenmesidir. Bir değişkenin değerlerinin toplamı için kısa bir ifade vermek için kullanılan uygun ve basit bir stenografi şeklidir.
Toplama sembolü, , bize bir dizinin öğelerini toplamamızı söyler. Toplanan dizinin tipik bir öğesi, toplama işaretinin sağında görünür.

Özellikleri:

Yukarıda belirtildiği gibi toplamları ve farklılıkları ayırabilsek de, aynı şeyi ürünler ve bölümler için yapamayacağımızı unutmayın. Diğer bir deyişle,

Dikkat okuyucu! Don's şimdi öğrenmeyi bırak. Hepsini öğren Ücretsiz Canlı Derslerle GATE CS konseptleri youtube kanalımızda.


Videoyu izle: Ali Nesin-Derin Matematik Diziler 2 (Ekim 2021).