Nesne

8.7: Karmaşık ve Vektör Değerli Fonksiyonların Entegrasyonu - Matematik


BEN. İlk önce (f : S ightarrow E^{n}left(C^{n} ight) .) fonksiyonlarını ele alıyoruz. Bu tür fonksiyonlar için, entegrasyonu "bileşensel" olarak tanımlamak doğaldır (ve kolaydır).

Tanım

Bir (f : S ightarrow E^{n}) fonksiyonunun, (n) (gerçek) bileşenleri, (f_{ ise) (A in mathcal{M}) üzerinde integrallenebilir olduğu söylenir. 1}, ldots, f_{n},) vardır. Bu durumda tanımladığımız

[
int_{A} f=int_{A} fdm=left(int_{A} f_{1}, int_{A} f_{2}, ldots, int_{A} f_{n} sağ)=sum_{k=1}^{n} overline{e}_{k} cdot int_{A} f_{k}
]

burada (overline{e}_{k}) temel birim vektörlerdir (Bölüm 3, §§1-3, Teorem 2()'de olduğu gibi).

Özellikle, karmaşık bir fonksiyon (f) onun gerçel ve sanal kısımlarında (left(f_{ ext { re}} ext{ ve} f_{ ext { im }) (A) üzerinde integrallenebilirdir. }sağ)) vardır. O zaman (int_{A} f)'nin de var olduğunu söyleriz. ((1),) ile

[
int_{A} f=left(int_{A} f_{mathrm{re}}, int_{A} f_{mathrm{im}}sağ)=int_{A} f_{mathrm {re}}+i int_{A} f_{mathrm{im}}.
]

(f : S ightarrow C^{n},) ise ((1),)'yi karmaşık bileşenlerle (f_{k}) kullanırız

Bu tanımla, (f : S ightarrow E^{n}left(C^{n} ight)) fonksiyonlarının entegrasyonu, (f_{k} : S ightarrow E^{1'e indirgenir. }(C),) ve vektörler için anlamlı oldukları sürece, §§4-6'daki ile aynı teoremler kolayca elde edilir.

Teorem (PageIndex{1})

Bir (f : S ightarrow E^{n}left(C^{n} ight)) işlevi, eğer c(m) ise (A in mathcal{M}) üzerinde integrallenebilirdir -(A) ve (int_{A}|f|

(Alternatif tanım!)

Kanıt

Aralık uzayının (E^{n}) olduğunu varsayın.

Tanımımıza göre, eğer (f) (A,) üzerinde integrallenebilirse, o zaman bileşenleri (f_{k}) öyledir. Böylece Teorem 2 ve Sonuç 1'e göre, her ikisi de §6'da (k=1,2, ldots, n,) için (f_{k}^{+}) ve (f_{k} fonksiyonları için ^{-}) (m)-ölçülebilir; ayrıca,

[int_{A} f_{k}^{+} eq pm infty ext { ve } int_{A} f_{k}^{-} eq pm infty.]

Bu şu anlama gelir:

[infty>int_{A} f_{k}^{+}+int_{A} f_{k}^{-}=int_{A}left(f_{k}^{+}+ f_{k}^{-}sağ)=int_{A}left|f_{k}sağ|, quad k=1,2, ldots, n.]

(|f|) §3'teki Problem 14 ile (m)-ölçülebilir olduğundan (( | cdot | ), (E^{n}) ile (E^) arasında sürekli bir eşlemedir {1})) ve

[|f|=left|sum_{k=1}^{n} overline{e}_{k} f_{k}sağ| leq sum_{k=1}^{n}left|overline{e}_{k} ight|left|f_{k} ight|=sum_{k=1}^{n} sol|f_{k}sağ|,]

alırız

[int_{A}|f| leq int_{A} sum_{1}^{n}left|f_{k} ight|=sum_{1}^{n} int_{A}left|f_{k} ight |

Tersine, eğer (f) tatmin ediciyse

[int_{A}|f|

sonra

[(forall k) quadleft|int_{A} f_{k}sağ|

Ayrıca, eğer (f) ise (f_{k}) (m)-ölçülebilirdir (§3'teki Problem 2'ye bakınız). Bu nedenle, (f_{k}) (A) üzerinde integrallenebilirdir (§6'nın 2. Teoremi ile) ve öyle de (f.)

(C^{n}) için ispat benzerdir.(quad square)

Benzer şekilde diğer teoremler için de (aşağıdaki Problem 1 ila 4'e bakınız). Daha önce §6'daki Teorem 5'in karmaşık ve vektör değerli fonksiyonlar için geçerli olduğunu belirtmiştik. §6'daki Teorem 6 da öyle. Aşağıda buna benzer başka bir önermeyi (Önlem 1) kanıtlıyoruz.

II. Sonra genel durumu ele alıyoruz, (f : S ightarrow E) ((E) tamamlandı). Şimdi Teorem 1'i tanım olarak kabul ediyoruz. (§4'teki Tanım 1 ile uyumludur. Doğrulayın!) (E=E^{*},) olsa bile, her zaman (|f|

İlk olarak, (m A

Öngörü (PageIndex{1})

(f_{n} ightarrow f) (tekdüze) (A) ((m A

[int_{A}left|f_{n}-fsağ| sağ ok 0.]

Kanıt

Varsayımla,

[(forall varepsilon>0) ext { } (k) ext { } (forall n>k) quadleft|f_{n}-f ight|

yani

[(forall n>k) quad int_{A}left|f_{n}-fsağ| leq int_{A}(varepsilon)=varepsilon cdot m A

(varepsilon) keyfi olduğundan, sonuç aşağıdaki gibidir.(quad square)

Öngörü (PageIndex{2})

Eğer

[int_{A}|f|

ve

[f=lim _{n ightarrow infty} f_{n} ext { (tekdüze) on } A-Q ext { }(m Q=0)]

(A,) üzerindeki bazı temel (f_{n}) haritaları için, o zaman sonlu sayıdaki (f_{n}) hariç tümü, (A,) üzerinde temel ve integrallenebilirdir ve

[lim _{n ightarrow infty} int_{A} f_{n}]

ayrıca (E;) içinde bulunur, ikinci sınır (left{f_{n} ight}) dizisine bağlı değildir.

Kanıt

Lemma 1 tarafından,

[(forall varepsilon>0) ext { } (vardır q) ext { } (forall n, k>q) quad int_{A}left|f_{n}-fsağ |

(Sonuncusu şu zamandan beri elde edilebilir:

[lim _{k ightarrow infty} int_{A}left|f_{n}-f_{k} ight|=int_{A}left|f_{n}-f ight|

Şimdi, olarak

[sol|f_{n}sağ| leqleft|f_{n}-fsağ|+|f|,]

§5 verimlerindeki 7. sorun

[(forall n>k) quad int_{A}left|f_{n}sağ| leq int_{A}left|f_{n}-fsağ|+int_{A}|f|

Böylece (f_{n}), iddia edildiği gibi (n>k,) için temel ve integrallenebilirdir. Ayrıca Teorem 2 ve Sonuç 1(ii), her ikisi de §4'te

[(forall n, k>q) quadleft|int_{A} f_{n}-int_{A} f_{k} ight|=left|int_{A}left( f_{n}-f_{k}sağ)sağ| leq int_{A}left|f_{n}-f_{k} ight|

Böylece (left{int_{A} f_{n} ight}) bir Cauchy dizisidir. (E) tamamlandığında,

[lim int_{A} f_{n} eq pm infty]

iddia edildiği gibi (E,) içinde bulunur.

Son olarak, diğer bazı temel ve integrallenebilir haritalar için (g_{n} ightarrow f) (düzgün olarak) (AQ) üzerinde varsayalım (g_{n}.) Yukarıda gösterilenle, (lim int_{A} g_{n}) var ve

[left|lim int_{A} g_{n}-lim int_{A} f_{n} ight|=left|lim int_{A}left(g_{n}- f_{n}sağ)sağ| leq lim int_{A}left|g_{n}-f_{n}-0sağ|=0]

Lemma 1'e göre, (g_{n}-f_{n} ightarrow 0) (tekdüze) olarak (A.) üzerinde

[lim int_{A} g_{n}=lim int_{A} f_{n},]

ve her şey kanıtlanmıştır.(quad square)

Bu bizi aşağıdaki tanıma götürür.

Tanım

(f : S ightarrow E) (A in mathcal{M}) (((m A

[int_{A} f=int_{A} f d m=lim _{n ightarrow infty} int_{A} f_{n}]

(f_{n} ightarrow f) (düzgün olarak) (A-Q, m Q=0) olacak şekilde herhangi bir temel ve integrallenebilir (f_{n}) haritası için.

Gerçekten de, bu tür haritalar §1 Teorem 3'te mevcuttur ve Lemma 2 belirsizliği hariç tutar.

*Not 1. (f)'nin kendisi temel ve integrallenebilir ise, Tanım 2 §4'ünkiyle uyuşur. için, (f_{n}=f(n=1,2, ldots),) seçimini yaparız

[int_{A} f=int_{A} f_{n}]

(ikincisi §4'teki gibidir).

*Not 2. Üzerinde (f=0,) bulunan kümeleri boş kümelerle birlikte ihmal edebiliriz. (f=0) on (AB) ((A supseteq B, B in mathcal{M}),) için (f_{n}=0) üzerinde (f_{n}=0) seçebiliriz (AB) Tanım 2'de.

[int_{A} f=lim int_{A} f_{n}=lim int_{B} f_{n}=int_{B} f.]

Böylece şimdi tanımlıyoruz

[int_{A} f=int_{B} f,]

(m A=infty,) (A-B,) üzerinde (f=0) sağlasa bile, yani,

[f=f C_{B} ext { üzerinde } A]

((C_{B}=) (B),) ile (A supseteq B, B in mathcal{M},) ve (m B

Böyle bir (B) varsa, (f)'nin (A)'da (m)-sonlu desteği olduğunu söyleriz.

*Not 3. §5'teki Sonuç 1'e göre,

[int_{A}|f|

(A(f eq 0))'nin (sigma)-sonlu olduğunu ima eder. (A(f=0),) ihmal edildiğinde şunu varsayabiliriz:

[A=igcup B_{n}, m B_{n}

(değilse, (B_{n}) yerine (cup_{k=1}^{n} B_{k})); yani (B_{n} yakın A).

Öngörü (PageIndex{3})

(phi : S ightarrow E) (A) üzerinde integrallenebilir olsun. (B_{n} earrow A, m B_{n}

[f_{n}=phi C_{B_{n}}, quad n=1,2, ldots.]

O zaman (f_{n} ightarrow phi) (noktasal) (A,) üzerinde tüm (f_{n}) (A,) üzerinde integrallenebilirdir ve

[lim _{n ightarrow infty} int_{A} f_{n}]

(E.) içinde mevcuttur Ayrıca, bu sınır (left{B_{n} ight}) seçimine bağlı değildir.

Kanıt

Herhangi bir (x in A.) (B_{n} earrow A=cup B_{n}) Olarak düzeltin,

[left(exists n_{0} ight) ext { } left(forall n>n_{0} ight) quad x in B_{n}.]

Varsayımla, (f_{n}=phi) (B_{n}.) üzerinde Böylece

[left(forall n>n_{0}sağ) quad f_{n}(x)=phi(x);]

yani (f_{n} ightarrow phi) (nokta yönünde) (A) üzerinde.

Ayrıca, (f_{n}=phi C_{B_{n}}) (m)-'de (A) ((phi) ve (C_{B_{n gibi) ile ölçülebilirdir. }}) vardır); ve

[sol|f_{n}sağ|=|phi| C_{B_{n}}]

ima eder

[int_{A}sol|f_{n}sağ| leq int_{A}|phi|

Böylece tüm (f_{n}) (A) üzerinde integrallenebilirdir.

(A-B_{n}(m B

[int_{A} f_{n}]

tanımlanmış. §6'daki (A,) Teorem 5'te (f_{n} ightarrow phi) (noktasal) ve (left|f_{n} ight| leq|phi|) olduğundan, (g=|phi|,) verimleri ile

[int_{A}left|f_{n}-phisağ| sağ ok 0.]

Gerisi Lemma 2'deki gibidir, aşağıdaki Teorem 2'nin ((f) ve (g),'nin (m)-sonlu desteğini varsayarak) §4'ün 2. Teoreminin yerine geçmesiyle. Böylece her şey kanıtlanmıştır.(quad square)

Tanım

Eğer (phi : S ightarrow E) (A in mathcal{M},) üzerinde integrallenebilirse,

[int_{A} phi=int_{A} phi d m=lim _{n ightarrow infty} int_{A} f_{n},]

Lemma 3'teki gibi (f_{n}) ile ((phi) (m)-sonlu desteği olmasa bile).

Teorem (PageIndex{2}) (doğrusallık)

(f, g : S ightarrow E) (A in mathcal{M},) üzerinde integrallenebilirse, öyle olur

[p f+q g]

herhangi bir skaler için (p, q.) Ayrıca,

[int_{A}(p f+q g)=p int_{A} f+q int_{A} g.]

Ayrıca (f) ve (g) skaler değerliyse, (p) ve (q) (E) içinde vektörler olabilir.

Kanıt

Şu an için, (f, g), (A.)'da (m)-sonlu desteği olan eşlemeleri ifade eder. Bütünleştirilebilirlik açıktır çünkü (p f+qg) (A) üzerinde ölçülebilir ( (f) ve (g) olduğu gibi) ve

[|p f+q g| leq|p||f|+|q||g|]

verim

[int_{A}|p f+q g| leq|g| int_{A}|f|+|q| int_{A}|g|

Şimdi, yukarıda belirtildiği gibi, varsayalım ki

[f=f C_{B_{1}} ext { ve } g=g C_{B_{2}}]

bazıları için (B_{1}, B_{2} subseteq A(m B_{1}+m B_{2}

[f=g=p f+q g=0 ext { üzerinde } A-B;]

bunlara ek olarak,

[int_{A} f=int_{B} f, int_{A} g=int_{B} g, ext { ve } int_{A}(p f+qg)=int_{ B}(p f+qg).]

Ayrıca, (m B

[int_{B} f=lim int_{B} f_{n} ext { ve } int_{B} g=lim int_{B} g_{n}]

bazı temel ve bütünleştirilebilir haritalar için

[f_{n} ightarrow f ext { (tek biçimli) ve } g_{n} ightarrow g ext { (tek biçimli) } B-Q, m Q=0.]

Böylece

[p f_{n}+q g_{n} ightarrow p f+q g ext { (tekdüze) on } B-Q.]

Ancak Teorem 2 ve Sonuç 1(vii), her ikisi de §4 (temel ve integrallenebilir haritalar için),

[int_{B}left(p f_{n}+q g_{n}sağ)=p int_{B} f_{n}+q int_{B} g_{n}.]

bu nedenle

[egin{aligned} int_{A}(p f+qg)=& int_{B}(p f+qg)=lim int_{B}left(p f_{n}+q g_ {n} ight) &=lim left(p int_{B} f_{n}+q int_{B} g_{n} ight)=p int_{B} f+q int_{B} g=p int_{A} f+q int_{A} g. end{hizalanmış}]

Bu, (f) ve (g)'nin (A.)'da (m)-sonlu desteği olması koşuluyla teoremin ifadesini ispatlar. Genel durum için, şimdi (f, g, ldots) herhangi bir fonksiyon için ve sonucu herhangi bir integrallenebilir fonksiyona genişletin.

Tanım 3'ü kullanarak,

[A=igcup_{n=1}^{infty} B_{n},left{B_{n} ight} uparrow, m B_{n}

ve

[f_{n}=f C_{B_{n}}, g_{n}=g C_{B_{n}}, quad n=1,2, ldots.]

Daha sonra tanım gereği,

[int_{A} f=lim _{n ightarrow infty} int_{A} f_{n} ext { ve } int_{A} g=lim _{n ightarrow infty} int_{A} g_{n},]

ve bu yüzden

[p int_{A} f+q int_{A} g=lim _{n ightarrow infty}left(p int_{A} f_{n}+q int_{A} g_{ n}sağ).]

(f_{n}, g_{n}) (m)-sonlu desteklere sahip olduğundan, ispatın ilk kısmı

[p int_{A} f_{n}+q int_{A} g_{n}=int_{A}left(p f_{n}+q g_{n}sağ).]

Böylece iddia edildiği gibi,

[p int_{A} f+q int_{A} g=lim int_{A}left(p f_{n}+q g_{n}sağ)=int_{A}(p f+qg). dörtlü kare]

Benzer şekilde, §4'ün Sonuç 1(ii)(iii)(v)'si önce (m)-sonlu desteği olan haritalara, sonra da tüm integrallenebilir haritalara genişletilir. Bu sonucun diğer kısımlarının yeni bir kanıta ihtiyacı yoktur. (Neden?)

Teorem (PageIndex{3}) (toplanabilirlik)

(i) (f : S ightarrow E) (n) disjoint (mathcal{M})-sets (A_{k},)'nin her biri üzerinde integrallenebilir ise, bu onların Birlik

[A=igcup_{k=1}^{n} A_{k},]

ve

[int_{A} f=sum_{k=1}^{n} int_{A_{k}} f.]

(ii) Bu, sayılabilir birlikler için de geçerlidir, eğer (f) tüm (A.) üzerinde integrallenebilir ise

Kanıt

(f) (m)-sonlu desteğe sahip olsun: (f=f ​​C_{B}) üzerinde (A, m B

[int_{A} f=int_{B} f ext { ve } int_{A_{k}} f=int_{B_{k}} f,]

nerede

[B_{k}=A_{k} kap B, quad k=1,2, ldots, n.]

Tanım 2'ye göre, (f_{i}) ((A) üzerinde) temel ve integrallenebilir haritaları ve (f_{i) olacak şekilde bir (Q) ((m Q=0)) kümesini düzeltin } ightarrow f) (düzgün olarak) (BQ) üzerinde (dolayısıyla (B_{k}-Q) üzerinde), ile

[int_{A} f=int_{B} f=lim _{i ightarrow infty} int_{B} f_{i} quad ext { ve } int_{A_{k}} f=lim _{i ightarrow infty} int_{B_{k}} f_{i}, quad k=1,2, ldots, n.]

(f_{i}) temel ve integrallenebilir olduğundan, §4'teki Teorem 1 şu sonucu verir:

[int_{A} f_{i}=int_{B} f_{i}=sum_{k=1}^{n} int_{B_{k}} f_{i}=sum_{k =1}^{n} int_{A_{k}} f_{i}.]

bu nedenle

[int_{A} f=lim _{i ightarrow infty} int_{B} f_{i}=lim _{i ightarrow infty} sum_{k=1}^{n} int_{B_{k}} f_{i}=sum_{k=1}^{n}left(lim _{i ightarrow infty} int_{A_{k}} f_{i} sağ)=sum_{k=1}^{n} int_{A_{k}} f.]

Bu nedenle (i) maddesi, (m)-sonlu desteği olan haritalar için geçerlidir. Diğer işlevler için, (i) şimdi Tanım 3'ten oldukça benzer şekilde gelir. (Doğrulayın!)

(ii) ile ilgili olarak, (f) üzerinde integrallenebilir olsun

[A=igcup_{k=1}^{infty} A_{k} ext { (ayrık),} quad A_{k} in mathcal{M}.]

Bu durumda, (g_{n}=f C_{B_{n}},) olarak ayarlayın burada (B_{n}=igcup_{k=1}^{n} A_{k}, n=1 ,2, ldotlar). (i) bendi ile

[int_{A} g_{n}=int_{B_{n}} g_{n}=sum_{k=1}^{n} int_{A_{k}} g_{n}= toplam_{k=1}^{n} int_{A_{k}} f,]

çünkü her (A_{k} subseteq B_{n}) üzerinde (g_{n}=f) vardır.

Ayrıca, kolayca görüldüğü gibi, (left|g_{n} ight| leq|f|) on (A) ve (g_{n} ightarrow f) (noktasal) on ( A) (Lemma 3'teki gibi ispat). Böylece §6'daki Teorem 5 ile,

[int_{A}left|g_{n}-fsağ| sağ ok 0.]

Gibi

[left|int_{A} g_{n}-int_{A} f ight|=left|int_{A}left(g_{n}-f ight) ight| leq int_{A}left|g_{n}-fsağ|,]

elde ederiz

[int_{A} f=lim _{n ightarrow infty} int_{A} g_{n},]

ve sonucu (3) ile takip eder.(quad square)


Videoyu izle: Calculus-II: Vektör Değerli Fonksiyonların İntegrali Integrals of Vector Valued Functions (Ekim 2021).