Nesne

5.3: Kısmi Türevler ve Diferansiyel - Matematik


5.3: Kısmi Türevler ve Diferansiyel - Matematik

Kısmi diferansiyel denklem

Matematikte, bir kısmi diferansiyel denklem (PDE), çok değişkenli bir fonksiyonun çeşitli kısmi türevleri arasındaki ilişkileri dayatan bir denklemdir.

İşlev, genellikle, x'in bilinmeyen bir sayı olarak düşünülmesine benzer şekilde, çözülmesi gereken bir "bilinmeyen" olarak düşünülür, aşağıdaki gibi bir cebirsel denklemde çözülür. x 2 − 3x + 2 = 0 . Ancak, kısmi diferansiyel denklemlerin çözümleri için açık formüller yazmak genellikle imkansızdır. Buna paralel olarak, bilgisayarlar kullanılarak belirli kısmi diferansiyel denklemlerin sayısal olarak yaklaşık çözümlerine yönelik yöntemler üzerine çok sayıda modern matematiksel ve bilimsel araştırma vardır. Kısmi diferansiyel denklemler, aynı zamanda, genel olarak, çeşitli kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin genel nitel özelliklerinin tanımlanması üzerine olağan soruların olduğu geniş bir saf matematiksel araştırma sektörünü işgal eder. [ kaynak belirtilmeli ] Pek çok açık soru arasında, 2000 yılında Milenyum Ödül Problemlerinden biri olarak adlandırılan Navier-Stokes denklemlerinin çözümlerinin varlığı ve düzgünlüğü bulunmaktadır.

Kısmi diferansiyel denklemler, fizik ve mühendislik gibi matematiksel yönelimli bilimsel alanlarda her yerde bulunur. Örneğin, ses, ısı, difüzyon, elektrostatik, elektrodinamik, akışkanlar dinamiği, elastikiyet, genel görelilik ve kuantum mekaniğinin modern bilimsel anlayışında temel oluştururlar. [ kaynak belirtilmeli ] Ayrıca, diferansiyel geometri ve diğer dikkate değer uygulamalar arasındaki varyasyon hesabı gibi pek çok tamamen matematiksel düşünceden ortaya çıkarlar, geometrik topolojiden Poincare varsayımının ispatında temel araçlardırlar.

Kısmen bu çeşitlilikteki kaynaklar nedeniyle, farklı türlerde kısmi diferansiyel denklemlerin geniş bir yelpazesi vardır ve ortaya çıkan bireysel denklemlerin çoğuyla başa çıkmak için yöntemler geliştirilmiştir. Bu nedenle, genellikle, kısmi diferansiyel denklemlerin "genel teorisi" olmadığı, uzmanlık bilgisinin bir şekilde birkaç esasen farklı alt alan arasında bölündüğü kabul edilir. [1]

Adi diferansiyel denklemler, tek değişkenli fonksiyonlara karşılık gelen kısmi diferansiyel denklemlerin bir alt sınıfını oluşturur. Stokastik kısmi diferansiyel denklemler ve yerel olmayan denklemler, 2020 itibariyle "PDE" kavramının özellikle geniş çapta incelenen uzantılarıdır. Hala üzerinde çok aktif araştırma yapılan daha klasik konular arasında eliptik ve parabolik kısmi diferansiyel denklemler, akışkanlar mekaniği, Boltzmann denklemleri ve dağılımlı kısmi diferansiyel denklemler yer alır.


Çift diziler

Gheorghe Toader , Iulia Costin , Matematiksel Analiz Araçlarında , 2018

3.3 Arşimet çift dizisinin yakınsama oranı

Klasik Arşimet algoritması durumunda, ( a n ) n ⩾ 0 ve ( b n ) n ⩾ 0 dizilerinin hatasının 1/4 n gibi asimptotik olarak sıfıra eğilimli olduğunu gösterdik. Foster ve Phillips (1984) çalışmasında bu sonucun geçerli olduğu kanıtlanmıştır. bir- keyfi türevlenebilir simetrik araçların bileşimi. Genel durum için aşağıdaki değerlendirme Costin'de (2004) verilmiştir.

İki yol düşünelim M ve N aralıkta verilir J ve iki başlangıç ​​değeri a , b ∈ J . ( a n ) n ⩾ 0 ve ( b n ) n ⩾ 0 dizi çiftini şu şekilde tanımlayın:

burada a 0 = a , b 0 = b . belirtmek

M ve N ortalamaları ikinci mertebeye kadar sürekli kısmi türevlere sahipse, dizilerin hataları ( bir n ) n ⩾ 0 ve ( b n ) n ⩾ 0 asimptotik olarak sıfıra eğilimli

Önceki teoremle ilgili bazı değerlendirmeler ve sonuçlar Foster ve Phillips'te (1985) de bulunabilir. Simetrik ortalamalar durumunda, sonuç Foster ve Phillips (1984) tarafından kanıtlanmıştır. Bu durumda, (2.27)'de gördük ki

57

M ve N ortalamaları simetrik ise ve ikinci mertebeye kadar sürekli kısmi türevleri varsa, o zaman dizilerin hatası ( bir n ) n ⩾ 0 ve ( b n ) n ⩾ 0 asimptotik olarak sıfır olma eğilimindedir 1 / 4 n .


5.3: Kısmi Türevler ve Diferansiyel - Matematik

Diferansiyel ve integral hesabın temel kavram ve teknikleri, logaritmalar, üstel ve trigonometrik fonksiyonlar, biyoloji ve tıptan örnekler ve uygulamalar.
Bu dersi başarıyla tamamlayan öğrenciler, (1) Fonksiyon ve değişim kavramını anlayabilmeli, (2) Diferansiyel ve integral hesap kavramını - sembolik, sayısal ve grafiksel olarak anlayabilmeli ve (3) Anlamalı ve gösterebilmelidir. kalkülüsün yaşam bilimlerine ve sosyal bilimlere uygulanması.

Matematiksel Akıl Yürütme Bilgi Alanı Öğrenme Çıktıları::

Matematiksel Akıl Yürütme Bilgi Alanı Öğrenme Çıktıları: 1. Matematik bilimlerinin dünyayı tanımlamadaki etkinliğini değerlendirir. 2. Problemleri çözmek veya sonuçlar çıkarmak amacıyla nicel bilgileri sembolik, grafiksel, sayısal ve sözlü olarak analiz edin. 3. Matematiksel iddiaları destekleyen mantıksal argümanlar oluşturun.

Önkoşullar:

MATH 1100 veya eşdeğeri. Eşdeğeri üç yıllık üniversite hazırlık matematiğidir.

Ders kitabı:


Hesap makineleri:

Kısa sınavlarda veya sınavlarda hesap makinesi yok. Gelecekteki derslerin hesap makinesi gerektirebileceğini ve bunları bazı ev ödevi problemlerinde kullanabileceğinizi unutmayın.

Sınavlar:

  • 1. ara sınav: 5 Mart 2021 Cuma
  • 2. ara sınav: 16 Nisan 2021 Cuma
  • Final sınavı: 05/12/2021 10:30 - 12:30
  • Çevrimiçi testler: 20%
  • Ara sınavlar: %50 (her bir ara sınav %25 sayılır)
  • Final sınavı: %30

Not Düzeltmeleri: : Bir sınava veya kısa sınava yanlış not verildiğini veya yanlış hesaplandığını düşünüyorsanız, neden daha fazla puanı hak ettiğinize inandığınızı açıklayarak sınavı veya kısa sınavı yeniden not almak için gönderebilirsiniz. Sınav veya quiz notu yayınlandıktan sonra en fazla iki ders dönemine kadar tekrar notları kabul edilecektir. Notu aldıktan sonraki yedi gün içinde (yazılı e-postada sorun olmaz) bana haber vermelisiniz, aksi takdirde konuyu değerlendireceğime söz veremem.

Ev ödevleri:
atanacak ancak puan verilmeyecektir. Ödev için düzgün bir şekilde çözümler yazmanızı ve bu çözümleri kaydetmenizi şiddetle tavsiye ederim. Bu çözümler, mesai saatlerine geldiğinizde veya bir sınav için inceleme yaptığınızda değerli bir kaynak olacaktır. Ev ödevi gibi problemler kısa sınavlarda ve sınavlarda ortaya çıkacaktır.
Dersin materyalinde ustalaşmak için ödevinizi yapmanız çok önemlidir. Derslerden ve okumalardan öğrenilen kavramları kullanarak verilen problemleri çözmek için her türlü çabayı göstermelisiniz. Eğer ödev problemlerinde yer alan teknikleri uygulamadıysanız, sınavlarda problem çalışmakta ciddi zorluklar yaşayacaksınız. Çalışmaya odaklanmanızı tavsiye ederim Ders kitabındaki ev ödevi problemlerinin listesi aşağıdadır:
1. Bölüm için:
Pbs: 8, 9, 10, 12, 14, 15, 25 sayfa 4-7, bölüm 1.1'den
pbs: 1-4, 9, 10, 14, 19 sayfa 12-14 bölüm 1.2'den
pbs: bölüm 1.3'ten 1-4, 7, 8, 9,15, 16, 17, 19, 27, 34
pbs: 1-4, 7-9, 15-17, 19, 27, 34
pbs: Bölüm 1.5'ten 1, 2, 7, 10, 11, 18, 19,29
pbs: Bölüm 1.6'dan 1-16, 21-28, 29-30
pbs: 2, 3, 4, 5, 14, 27, 33 sayfa 57-60 bölüm 1.7'den
pbs: bölüm 1.8'den 1-4, 7-8, 12, 20-21, 37-38
pbs: 1-12, 18, 25 sayfa 69-70, bölüm 1.9'dan
pbs: 1-6, 9-10, 16, 18, 20, 24 sayfa 76-77, bölüm 1.10'dan

- Bölüm2 için:
Pbs: 4,8, 17, 18 sayfa 95-97
Pbs: 2.2 bölümünden 7,12, 13, 24, 25
Pbs: Bölüm 2.3'ten 17, 16, 22, 23, 48, 51
Pbs: 1, 2, 4, 10, 18, 20 sayfa 115-117, 2.4 bölümünden

- Bölüm 3 için:
Pbs: Bölüm 3.1'den 4, 6, 8, 13, 18, 20, 25, 30, 51, 62
Pbs: 2,3,4,5,6,7,9, 10, 12, 18, 26, 40, 46, 44, 45, 38 sayfa 148-149 bölüm 3.2'den
Pbs: 2, 4, 12, 13, 14, 18, 20, 21, 28, 29, 34 sayfa 155, bölüm 3.3'ten
Pbs: 3, 7, 9, 12, 13, 15, 34, 41, sayfa 160, bölüm 3.4'ten
Pbs : 8, 9, 12, 13, 15, 17, 21, 25 sayfa 164 bölüm 3.5'ten
diğer sorunlar 6,7, 9, 13, 17, 21, 23, 26, 25, 28, 32, 37, 43, 42, 47, 48 sayfa 165

- 4,5 ve 6. bölüm ödev problemleri için aşağıdakileri çalışmanızı tavsiye ederim: 14-15 sayfa 220 1,8 sayfa 225-226 2,3,5,7 sayfa 246-247
10, 12, 15 sayfa 254 6,11,13,19 sayfa 258-259 24, 35,36,37 sayfa 265-267
2,14,15 sayfa 270-271 5,6,7,8,9,21,23,24 sayfa 294-296
1,2,3, 14, 16, 18, 25, 26, 31, 38, 50, 52, 62, 73, 69, 74 sayfa 301
1,2,3,5,6,7, 14, 16, 20, 29 sayfa 305 1,3,4, 10, 13, 16, 17, 19, 20 sayfa 323
4,5,6, 10, 15, 20, 22, 25, 29, 37, 38, 40 sayfa 324-325.

Çevrimiçi testler:
Çevrimiçi sınavlar, final notunuzun %20'sini oluşturacaktır. D2L'de yayınlanacak her bölüm için genellikle bir veya iki çevrimiçi sınavımız olacak. Kanıtlanana kadar ani tıbbi acil durumlar olmadıkça telafi sınavı yapılmayacaktır. En düşük sınav puanı (devamsızlıklar için herhangi bir '0' dahil) düşürülecektir. Açıkça belirtilmediği sürece, hesap makinelerine ve notlara sınavlarda izin verilmeyecektir.

Ara sınavlar:
Sınıf içi iki sınav yapılacaktır: 1. Sınav 03/05/2021 Cuma günü, 2. sınav 04/16/2021 Cuma günü yapılacak ve her bir sınav, final notuna %25 olarak sayılacaktır. Ani tıbbi acil durumlar dışında mazeret sınavı yapılmayacaktır.

Final Sınavı:
Kapsamlı bir final sınavı notu, final notunuzun %30'u olarak sayılacaktır. Final sınavı 05/12/2021 tarihinde 10:30 - 12:30 saatleri arasında yapılacaktır.

Önemli tarihler:
1. Sınav tarihi: 03/05/2021 Cuma
2. Sınav tarihi: 16.04.2021 Cuma
Final sınav tarihi: 05/12/2021 10:30 - 12:30 PM.
Derslerin devamı: 25 Ocak 2021
Derslerin bitişi: 8 Mayıs 2021

İzin günleri:
- 9 Şubat 2021 Salı
- 10 Mart 2021 Çarşamba
- 20 Nisan 2021 Salı
- 5 Mayıs 2021 Çarşamba

Katılım:
Derse katılım ve aktif öğrenme bu dersin önemli yönleridir, bu nedenle katılımınız, modalite/teslimattan bağımsız olarak başarınız için kritik öneme sahiptir. Ancak, bazen hastalık, kişisel krizler ve diğer acil durumlar nedeniyle notlarınızı etkileyen sınavları veya diğer akademik yükümlülükleri kaçırmanız gerektiğini anlıyorum. Bu tür devamsızlıklar aşırı olmadığı sürece (bir yarıyılda toplam 8 devamsızlıktan fazla olmamak kaydıyla), kursta başarılı olmanıza yardımcı olmak için elimden geldiğince sizinle çalışacağım. Lütfen bu tür devamsızlıklar ortaya çıktığında mümkün olan en kısa sürede benimle iletişime geçin, böylece sizi yakalamak için düzenlemeler yapabiliriz. Bu politika, acil olmayan devamsızlık durumunda geçerli olmayacaktır. Derse katılan tüm öğrenciler, belirli ekstra kredi sorularını (doğru) yanıtladıkları için ekstra kredi puanları alacaklardır. Notunuzu yükseltmek için bu fırsatı kaçırmayın.

Teknoloji Gereksinimleri:
Bu kursta başarılı olmak için, D2L, Üniversitenin Öğrenim Yönetim Sistemi ve video konferans aracı Microsoft Teams ile temel deneyime sahip olmanız gerekir. Bu teknolojilere aşina değilseniz, D2L Öğrenci Yardımı kaynaklarını ve Öğrenciler çevrimiçi/canlı sınıflar için Microsoft Teams'i Kullanın web sayfasını inceleyin. Başarılı olmak için ihtiyaç duyacağınız teknoloji hakkında bilgi almak için Teknoloji için Uzaktan Öğrenme web sayfasını da ziyaret etmenizi tavsiye ederim. Teknolojiyle ilgili genel sorular için [email protected] veya 414-288-7799 adresinden ITS Yardım Masası ile iletişime geçin.

Etik ve Davranış:
Öğrenmeye yönelik bir sınıf iklimi yaratmak için yüksek kişisel davranış standartları ve diğerlerini dikkate almak gerekir. Yıkıcı davranışlara müsamaha gösterilmeyecektir.

sınır dışı:
Sınıf davranışı normları, eğitmene ve diğer öğrencilere saygı duymaya dayanır. Mesajlaşmak, sosyal medyayı güncellemek, oyun oynamak veya diğer öğrencilerin dikkatini dağıtmak gibi davranışlar uygun değildir.

Akademik Destek:
Kursu yakından takip etmek, kapsanan materyale hakim olmak ve ihtiyacınız olan yardımı almak için inisiyatif almak sizin sorumluluğunuzdadır. Kurs eğitmeninden yardım almanız önerilir. Ancak bir dersi kaçırırsanız, kaçırdığınız materyallerden siz sorumlusunuz. MUSC Eğitim Programı öğretici sunar. Daha fazla bilgi için http://www.mu.edu/oses/ adresindeki MUSG web sitesine bakın.

Engellilik:
Bir engeliniz varsa ve konaklamaya ihtiyacınız varsa, öğrenim gereksinimlerinizin uygun şekilde karşılanabilmesi için lütfen dönem başında benimle iletişime geçin. Engellilik durumunuzla ilgili belgeleri Engelli Hizmetleri Ofisine sunmanız gerekecektir. Hizmetlere hak kazanmak için neye ihtiyacınız olduğundan emin değilseniz, Office of Disability Service'in web sitesini ziyaret edin veya Office of Disability Services'i 414-288-1645 numaralı telefondan arayın. Engelli Hizmetleri ofisi ayrıca öğrencilerin COVID-19 ile ilgili tıbbi veya kişisel ihtiyaçlara dayalı konaklama taleplerini işleme koymalarına yardımcı olmak için hazırlanmıştır. Bir engellilik veya COVID-19 ile ilgili değişiklikleri keşfetmeniz gerekebileceğini düşünüyorsanız, bu ihtiyaç hemen olmasa bile, lütfen mümkün olan en kısa sürede [email protected] ile iletişime geçin.

İletişim standartları:
Marquette University'nin e-postayla ilgili politikası: “E-posta, yasalarca aksi yasaklanmadıkça, Marquette'in öğrencilerle resmi iletişim için uygun ve tercih edilen bir yöntemdir. Üniversite, öğrencilerin bu e-postaları alacağı, okuyacağı ve gerekirse zamanında hareket edeceği varsayımıyla öğrencilere e-posta yoluyla resmi yazışmaları gönderme hakkına sahiptir.” Sizinle ders dışında iletişim kurmam gerekirse, Marquette e-posta adresinizi kullanacağım ve bu iletiyi zamanında okuyup yanıtlamanızı bekliyorum. Ek olarak, lütfen standart e-posta görgü kurallarını bilin. Bana gönderilen ilk e-postalar (en az) bir konu, selamlama ve kapanış içermelidir. Öğrencilere 24 saat içinde yanıt vermeye çalışacağım. 24 saat içinde benden yanıt almadıysanız, lütfen e-postayı tekrar gönderin. Bu tamamen çevrimiçi bir kurs olduğundan, benimle ve diğer öğrencilerle iletişiminiz öğrenme deneyiminiz için kritik öneme sahiptir. Lütfen iletişim kurarken başkalarına saygılı olun. Marquette'de Netiquette politikasına ek olarak, herhangi bir tartışmayı domine etme konusunda dikkatli olmanızı, açık fikirli olmanızı ve D2L'de herhangi bir şey yayınlamadan önce okuma ve düzenleme işlemlerini yaptığınızdan emin olmanızı rica ediyorum.

Değişikliğe Tabi Madde:
Bu müfredat, öğretim ve/veya öğrenci ihtiyaçlarını karşılamak için eğitmenin takdirine bağlı olarak değiştirilebilir. Bu değişiklik uygun bir zamanda sınıfa duyurulacaktır. Engelli Amerikalılar Yasası (ADA) Politika Bildirimi:


Aday çözüm olarak Koopman Von Neumann Klasik Mekanik:

Ben Crowell ve gmvh'nin cevapları üzerine düşündükten sonra, klasik mekaniğin bir formülasyonuna ihtiyacımız var gibi görünüyor:

  1. Her şey lineer operatörler cinsinden formüle edilmiştir.
  2. Tüm problemler daha sonra cebirsel bir dilde yeniden yazılabilir.

Literatür taraması yaptıktan sonra, Hilbert uzayında Kuantum Mekaniğine benzer bir operatör teorisine sahip olduğumuz için Koopman Von Neumann Klasik Mekanik uygun bir aday olabilir gibi görünüyor [8,9,10]. Bununla birlikte, bu formülasyonla daha yeni karşılaştım, bu yüzden görmezden geldiğim önemli incelikler olabilir.


Manifold üzerinde kısmi diferansiyel denklemler


Temel fikir, kısmi bir diferansiyel denklemin bir jet demetindeki bir dizi fonksiyon tarafından verilmesidir, bu doğaldır çünkü sonuçta (kısmi) bir diferansiyel denklem bir fonksiyon, onun bağımlı değişkenleri ve belirli bir dereceye kadar türevleri arasındaki bir ilişkidir. sipariş. Devamında, tüm manifoldlar ve eşlemelerin tümü ya $ C ^ infty $ ya da tümü gerçek analitiktir.

Bir fiber manifold, $ M $, $ N $ iki manifolddan ve $ pi : M ightarrow N $ şeklinde $ d pi ( m) : T_ M ightarrow T _ N $, tüm $ m in M $ için örtüktür. Bir örnek, $ N $ üzerindeki $ ( E, N, pi ) $ vektör paketidir. Bu, yerel olarak her $ m in M $ civarında durumun kanonik projeksiyon $ mathbf R ^ gibi göründüğü anlamına gelir. imes mathbf R ^ ightarrow mathbf R ^ $( $ mathop < m dim>M= m+ n $, $ mathop < m dim>N= n $). Bir açık küme $ U subset N $ üzerindeki bir kesit, $ s: U ightarrow pi ^ <-1>( U) subset M $ öyle ki $ pi circ s = mathop < türevlenebilir bir eşlemedir. rm kimliği>$. $ x in N $ konumundaki bir $ r $-jeti, aşağıdaki denklik bağıntısı ile tanımlanan bir denklik kesit kesit sınıfıdır. İki kesit $ s _ : U _ ightarrow M $, $ i= 1, 2 $, $ r $-jet eşdeğeri $ x _ <0>in U _ <1>cap U _ <2>$ if $ s _ <1>( x _ <0>) = s _ <2>( x _ <0>) $ ve if bazıları için (dolayısıyla hepsi için) $ s civarındaki koordinat sistemleri ( x _ <0>) $ ve $ x _ <0>$ bir

$ alpha = ( a _ <1>dots a _ ) $, $ a _ in < 0, 1,dots >$, $ | alfa | = bir _ <1>+ dots + bir _ $. $J ^ olsun ( pi ) $ tüm $ r $-jetlerinin kümesi olsun. Yerel koordinatlarda $ pi $, $ mathbf R ^ gibi görünür imes mathbf R ^ ightarrow mathbf R ^ $, $ ( x ^ <1> okta x ^ , u ^ <1>dots u ^ ) ightarrow ( x ^ <1>dots x ^ ) $. Bunu kolayca takip eder $ J ^ ( pi ) $ yerel koordinatları $ ( x ^ olan bir manifolddur) , sen ^ , p ^ : i= 1 dots n j, k= 1 dots m 1 leq | alfa | leq r) $, [a2], [a5]. Türevlenebilir paket $ J ^ ( pi ) $, fiber manifold $ pi : M ightarrow N $'ın $ r $-th jet demeti olarak adlandırılır. Bir vektör kümesi $ E ightarrow N $ için ayrıca bkz. $ pi : N imes N ^ prime ightarrow N $ one find $ J ^ durumu için Lineer diferansiyel operatör ( N, N ^ prime ) $, $ N ightarrow N ^ prime $ eşlemelerinin jet paketi. Doğal lif demeti eşlemeleri vardır $ pi _ : J^ ( pi ) sağ ok J ^ ( pi ) $ için $ r geq k geq 0 $, $ p ^ alpha $ ile $ | alfa | > k $. $ p ^ <0,k >= u ^ ayarlamak uygundur $ ve $ J ^ <-1>( pi ) = N $ ve ardından $ pi _ : J^ ( pi ) ightarrow N $ aynı şekilde tanımlanır (tüm $ p ^ alpha $ ve $ u ^ öğelerini unutun $).

$ ( J ^ olsun ( pi )) $ $ J ^ üzerindeki türevlenebilir fonksiyonların (mikroplarının) demeti olsun ( pi ) $. Bu bir demet yüzük. İdeallerin bir alt demeti $ mathfrak a $ of $ ( J ^ ( pi ) ) $, $ N $ üzerinde $ r $ mertebesinde bir kısmi diferansiyel denklemler sistemidir. $ mathfrak a $ sisteminin bir çözümü $ s : N ightarrow M $ bölümüdür, öyle ki $ f circ J ^ ( s)= tüm $ f in mathfrak a $ için 0 $. $ mathfrak a $ integral noktalarının kümesi (yani $ mathfrak a $'ın $ J ^ üzerindeki sıfırları ( pi ) $), $J ( mathfrak a ) $ ile gösterilir. $ p ( mathfrak a ) $ $ mathfrak a $ uzantısı, $ f in mathfrak a $( tam olarak söylemek gerekirse, $ f tarafından oluşturulan $ N $ üzerindeki $ r+ 1 $ düzeni sistemi olarak tanımlanır. çevre pi _ $) ve $ partial ^ f $, $ f in mathfrak a $, burada $ partial ^ f $ bir $ r+ 1 $ jet $ j _ ^ ( s) $ $ x in N $ ile tanımlanır

$ ( kısmi ^ f )( j_ ^ ( s)) = frac partial > f(j_ ^ (s)). $

Yerel koordinatlarda $ ( x ^ , sen ^ , p ^ ) $ biçimsel türev $ partial ^ f $ tarafından verilir

burada sağdaki toplam $ j= 1 dots m $ üzerinde ve tüm $ alpha = ( a _ <1>dots a _ ) $ ile $ | alfa | leq r $ ve $ alpha ( i) = ( a _ <1>dots a _ , bir _ + 1 , bir _ nokta bir _ ) $, $ a _ in < 0, 1, dots >$ (ve $ p ^ <0,j >= u ^ $).

$ mathfrak a $ sisteminin, $ z in J ^ tam noktasında dahil olduğu söylenir. ( pi ) $, [a1], eğer aşağıdaki iki koşul yerine getirilirse: i) $ mathfrak a $, $ z $'da $ mathfrak a $'ın sıfırları için normal bir yerel denklemdir (yani, $ yerel bölümleri vardır) s _ <1>dots s _ in Gamma ( U , mathfrak a ) $ of $ mathfrak a $ açık bir mahallede $ U $ of $ z $ öyle ki $ mathfrak a $ in $ U $'ın integral noktaları tam olarak $ z noktalarıdır ^ prime $ için $ s _ ( z ^ prime )= 0 $ ve $ ds _ <1>dots ds _ $, $ z $'da lineer bağımsızdır) ve ii) $ z $'ın $ U $ komşuluğu vardır, öyle ki $ pi _ ^ <-1>( U) cap J( p( mathfrak a )) $, $ U cap J ( mathfrak a ) $( $ pi _ projeksiyonlu) üzerinde bir fiber manifolddur $). $ mathfrak sistemi için, doğrusal olarak bağımsız Pfaffian tarafından üretilen bir $ $ heta ^ <1>dots heta ^ oluşturur $( yani bir Pfaffian sistemi, cf. Pfaffian problemi) bu, Involutive dağıtım, [a2], [a3] içinde tanımlanan dahiliyete eşdeğerdir. Bu katılımsızlık durumunda olduğu gibi, kişi çözümlerle uğraşmak zorundadır.

$ mathfrak a $, $ J ^ üzerinde tanımlanan bir sistem olsun ( pi ) $ ve $ mathfrak a $'ın $ z in J ( mathfrak a ) $'da dahil olduğunu varsayalım. Sonra, aşağıdakileri sağlayan $ U $ $ z $ komşuluğu var. $ widetilde ise içinde J ( p ^ ( mathfrak a )) $ ve $ pi _ ( widetilde ) $, $ U $ içindeyse, o zaman $ x= pi _ mahallesinde tanımlanan $ f $ of $ mathfrak a $ çözümü vardır. ( widetilde ) $ öyle ki $ J ^ ( f ) = widetilde $ x $'da $.

Cartan-Kuranishi uzatma teoremi şunları söylüyor. $ z ^ integral noktaları dizisi olduğunu varsayalım. $ / p ^ ( mathfrak a ) $ ($ t= 0, 1,dots $) birbirine doğru çıkıntı yapıyor ( $ pi _ (z^ ) = z^ $) öyle ki: a) $ p ^ ( mathfrak a ) $, $ J( p ^ için normal bir yerel denklemdir ( mathfrak a )) $'da $ z ^ $ ve b) bir mahalle var $ U ^ $ / z ^ $ cinsinden $ J( p ^ ( mathfrak a ) ) $ öyle ki $pi _ altındaki projeksiyonu $, $ z ^ mahallesini içerir $ cinsinden $ J ( p ^ ( mathfrak a ) ) $ ve öyle ki $ pi _ : sen ^ sağ ok pi _ (Ü ^ ) $ bir fiber manifolddur. Sonra $p^ ( mathfrak a ) $ , $ z ^ noktasında dahil edicidir $ için $ t $ yeterince büyük. Bu uzatma teoremi, sonsuz boyutlu Lie gruplarının Lie-Cartan teorisinde önemli uygulamalara sahiptir. Teorem daha genel durumları kapsayacak şekilde genişletildi [a4].


5.3: Kısmi Türevler ve Diferansiyel - Matematik

Beşinci bölümde, bir noktada fonksiyonların Taylor serisi açılımından yararlanılarak adi diferansiyel denklemlere çeşitli sonlu fark yaklaşımları üretildi. x0. Aynısı aşağıdaki şekilde daha yüksek boyutlara genişletilebilir.

Dikdörtgen bir alanın açıklanması

Dikdörtgen bir alan düşünün D: ve .

i = 1, 2, 3 için şekil 6.3.1'de gösterildiği gibi x eksenine ve y eksenine paralel düz çizgiler çizin. n-1 ve j = 1, 2, 3. m-1 için burada ve = a/n ve = b/m ile elde edilen küçük pozitif adım uzunluklarıdır.

Şekil 6.3.1


D bölgesindeki herhangi bir nokta olsun, sonra koordinatlar xben ve yj tarafından elde edilebilir

ve

. (6.3.2)

nerede (x0,y0) dikdörtgenin en sol alt noktasının koordinatlarıdır, yani mevcut problemde (0, 0). Eğer u(x,y), D'de tüm gerekli türevleri olan herhangi bir sürekli fonksiyon ise, o zaman

. (6.3.3)

(6.3.3)'ten kısmi türevler yaklaşık olarak şu şekilde tahmin edilebilir:

. (6.3.4)

Kısmi türevleri değiştirmek için bu yaklaşımlardan yararlanarak, kısmi diferansiyel denklemler fark denklemlerine dönüştürülür ve elde edilen cebirsel denklem sistemi herhangi bir doğrudan veya yinelemeli yöntem kullanılarak çözülür. İkinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünü bulmak için kullanılan analitik yöntemler PDE tipine bağlı olduğundan, sayısal şemalar da PDE tipine bağlıdır.


Kesirli Diferansiyel Denklemler

10.10 Kesirli Difüzyon Denklemleri

Spesifik bir gözenekli ortam tipinde (fraktal ortamda) difüzyonun modellenmesi, kesirli dereceli türevlerin en önemli uygulamalarından biridir. Ortaya çıkan denklemin sırası, gözenekli malzemenin sözde fraktal boyutu ile ilgilidir.

Fraktallerdeki transfer süreçlerinin tarifi için (B. Mandelbrot [142] anlamında), A. Le Mehaute, A. de Guibert, M. Delaye ve Ch. Filippi [120] formun denklemini önerdi

nerede J(t) fraktal arayüz boyunca makroskopik akıştır, X(t) yerel itici güçtür, L bir sabittir ve d fraktal boyuttur. Denklem (10.99) daha sonra A. Le Mehaute ve G. Crepy [121] tarafından titizlikle çıkarılmıştır. Kesirli difüzyon denkleminin fraktal ortamda dinamik bir süreçle ilgili olması önemlidir: elde edilen denklemin sırası, gözenekli bir malzeme modeli olarak hizmet eden fraktalın fraktal boyutuna bağlıdır.

Daha fazla gelişme, iki tür kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denkleme yol açtı.

İlk tip, Fick yasasının [ 178 , 179 ] yerine K. B. Oldham ve J. Spanier tarafından önerilen kesirli kısmi diferansiyel denklemin bir genellemesidir. Böylece. M. Giona ve H. E. Roman, en basit versiyonu [ 78 , 79 , 224] biçimini alan bir denklem oluşturdu:

nerede P(r, t) fraktallar üzerinde rastgele yürüyüşlerin ortalama olasılık yoğunluğudur, bir ve κ sabittir ve d dikkate alınan ortamın fraktal boyutuna bağlı olan anormal difüzyon üssüdür [225].

R. Metzler tarafından önerilen kesirli dereceli difüzyon denklemi. W. G. Glöckle ve T. F. Nonnenmacher [150], ikinci tip kesirli difüzyon denkleminin bir örneğidir:

nerede dw ve ds medyanın fraktal boyutuna bağlıdır.

İkinci tipin bir başka örneği, R. R. Nigmatullin [ 162 , 164 ] tarafından elde edilen biçimdeki kesirli difüzyon denklemidir. Uzamsal olarak tek boyutlu difüzyonun en basit durumunda Nigmatullin denklemi şu şekli alır:

(10.102) denklemindeki zamana göre türevin α mertebesi, α = 1 ve α = 2 dahil olmak üzere keyfi gerçek mertebede olabileceğinden, buna kesirli difüzyon-dalga denklemi. Bu isim F. Mainardi [131, 135] tarafından önerilmiştir. α = 1 için denklem (10.102) klasik difüzyon denklemi olur ve α = 2 için klasik dalga denklemi olur. 0 < α < 1 için sözde ultra yavaş difüzyona sahibiz ve 1 < α < 2 değerleri ara süreçlere karşılık gelir [89].

Mekansal olarak tek boyutlu durum için (10.102) denkleminin çözümü Bölüm 4'te (Örnek 4.4) verilmiştir.

Denklem (10.102), genelleştirilmiş fonksiyonlar yaklaşımı (bakınız Bölüm 2.4.2 ) anlamında tanımlanan kesirli türev ile W. Wyss [259] tarafından ele alınmıştır. Daha sonra WR Schneider ve W. Wyss [235] ve ayrıca TF Nonnenmacher ve DJF Nonnenmacher [171], kısmi integro-diferansiyel denklemlere yol açan klasik difüzyon ve dalga denklemlerinin formunun “fraksiyonelleştirme” ve birleştirilmesi için başka bir yaklaşım önerdi. zamana göre kesirli integraller içeren [235] . Uzamsal olarak tek boyutlu problem durumunda böyle bir denklemin en basit şekli şudur:

ve bu denklemin çözümü Bölüm 4'te (Örnek 4.5) verilmiştir.

Denklem (10.103), tamsayı dereceli türevler açısından klasik başlangıç ​​koşullarının kullanımına izin verir. Riemann-Liouville fraksiyonel türevi ile denklem (10.102) durumunda bu böyle değildir. Bununla birlikte, Schneider-Wyss kesirli integrodiferansiyel denklemi (10.103), kesirli türevin Caputo kesirli türevi olarak yorumlandığı kesirli diferansiyel denkleme (10.102) eşdeğerdir (bkz. Bölüm 2.4.1).

Kesirli difüzyon-dalga denklemi (10.102), F. Mainardi [131, 135, 133, 134, 137] ve ayrıca A.N. Kochubei [117] ve A.M.A. El-Sayed [57] tarafından yoğun bir şekilde incelenmiştir.

Kesirli türevleri kullanarak belirli ortamlarda dalga yayılımını modellemek için J. D. Polack [210] tarafından farklı bir denklem türü önerilmiştir. Polack'ın denklemindeki kesirli-türev terimlerinin, sınır kontrollü ve gözlenen sonsuz boyutlu doğrusal bir sistemin spektrumu ve dürtü yanıtı üzerindeki etkisi, D. Matignon ve B. d'Andréa-Novel [144] tarafından incelenmiştir. .


2. sınav

Bu, OCW'deki 2.400'den fazla kurstan biridir. Solda bağlantısı verilen sayfalarda bu kurs için materyalleri keşfedin.

MIT OpenCourseWare MIT müfredatının tamamını kapsayan, binlerce MIT kursundan alınan materyalin ücretsiz ve açık bir yayınıdır.

Kayıt veya kayıt yok. OCW materyallerini kendi hızınızda özgürce tarayın ve kullanın. Kayıt yok ve başlangıç ​​veya bitiş tarihi yok.

Bilgi senin ödülün. Kendi yaşam boyu öğrenmenize rehberlik etmek veya başkalarına öğretmek için OCW'yi kullanın. OCW'yi kullanmak için kredi veya sertifika sunmuyoruz.

Paylaşım için yapıldı. Dosyaları daha sonra indirin. Arkadaşlarınıza ve meslektaşlarınıza gönderin. Değiştirin, remiksleyin ve yeniden kullanın (kaynak olarak OCW'yi belirtmeyi unutmayın.)

MIT OpenCourseWare Hakkında

MIT OpenCourseWare, 2500'den fazla MIT kursundan alınan materyallerin çevrimiçi bir yayınıdır ve tüm dünyadaki öğrenciler ve eğitimciler ile bilgiyi özgürce paylaşır. Daha fazla bilgi edinin »

&kopya 2001&ndash2018
Massachusetts Teknoloji Enstitüsü

MIT OpenCourseWare sitesini ve materyallerini kullanımınız, Creative Commons Lisansımıza ve diğer kullanım şartlarına tabidir.


Bu ders, kısmi diferansiyel denklemlere (PDE'ler) bir giriş niteliğindedir. PDE'ler, çeşitli fiziksel sistemlerin matematiksel tanımı olarak ortaya çıkmıştır. Örneğin., ısı yayılımı, bir sicim veya zarın titreşimleri, sıvı akışı, bir elektronun hareketi, vb. Bu derste ısı denklemi, dalga denklemi ve Laplace denklemi üzerinde, çözümlerini ve ayrıca çözümlerinin niteliksel özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu dersin resmi ön koşulları adi diferansiyel denklemler (MATH 20D) ve lineer cebirdir (MATH 20F), ancak (çok değişkenli) hesabın (MATH 20ABCE) tam olarak anlaşılması da gereklidir. W. A. ​​Strauss ders kitabının A1-A4 Eklerindeki her şey, Kısmi Diferansiyel Denklemler: Giriş, 2. baskı. (New York: Wiley 2008), tanıdık gelmeli. 1, 2, 4, 5 ve 6. bölümlerin çoğunu ele alacağız.

AP&M'nin altıncı katındaki açılan kutuda Perşembe günleri veya ondan önce yapılacak olan haftalık ev ödevleri olacaktır. Öğrencilerin ev ödevlerini kendi aralarında tartışmalarına izin verilir, ancak kendi çalışmalarını teslim etmeleri beklenir ve başka birininkini kopyalamak kesinlikle kabul edilemez. Ödev puanları final notuna %15 katkı sağlayacaktır.

Yaklaşık olarak çeyreğin dördüncü ve sekizinci haftalarında olmak üzere iki ara sınav yapılacaktır. Finalin 10 Haziran 2009 Çarşamba günü saat 8:00'de yapılması planlanmaktadır. İki ara sınav ve final puanları final notuna sırasıyla %25, %25 ve %35 katkı sağlayacaktır. Makyaj testi yapılmayacaktır.


Videoyu izle: Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlere giriş, Tam diferansiyel denklemler (Ekim 2021).