Nesne

13: Geometri, Bölüm 1 - Matematik


Geometri, kötü çizimlerden iyi akıl yürütme sanatıdır. – Henri Poincare

Küçük resim resmi Tomruen (Kendi çalışması) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], Wikimedia Commons aracılığıyla.


13: Geometri, Bölüm 1 - Matematik

Bu sayfayı faydalı bulduysanız, lütfen Beğenin veya Paylaşın veya Yorum Yapın. Teşekkür ederim!

Sadece not vermek için birkaç saat harcadım Geometri Vekilleri eski okulumda sınavlar "Yapılabilir" olarak nitelendirildi. Geçtiğimiz günlerde dershanelerime gelen öğrencilerin mutlu olacağını düşünüyorum. hepsinin kendi problemlerini çözdüklerini ve sadece cevaplarımı kopyalamadıklarını varsayarak.

Birkaç gözlem: kanıt bir seçim ile oldukça basitti AAS veya OLARAK, kullandığınızı yedeklediğiniz sürece yer soru çok sıra dışıydı, çünkü dairenin konumunun bir denklemini vermek zorundaydınız ve çizgi ne dikey ne de yataydı. Bu konular ile ucu açık sorunlar yarın tartışılacaktır (umarım).

İşte Bölüm I'deki çoktan seçmeli sorular. Bunların hepsini yazmam gerektiğini unutmayın, bu nedenle testin geri kalanı istediğiniz kadar çabuk blogumda görünmeyebilir. Sorular her zaman açığız. Aynı şekilde, bu konuda acele etmem istendiği için, hiçbir diyagram dahil edilmemiştir. Daha sonra eklenebilirler.

1. Aşağıdaki şemada bir dikdörtgen prizma gösterilmiştir. [ŞEMA KUTU ŞEKLİNDEDİR, KÖŞELER ÜSTTE VE ALTTA ÇİZİLİR.]
Hangi doğru parçası çifti her zaman hem uyumlu hem paralel olur?

(4) DB ve HF paraleldir. Diğer üç seçenekten ikisi kesişir ve bir çift çarpıktır.

2. Paralelkenar QRST'de diyagonal QS çizilir. Hangi ifade her zaman doğru olmalıdır?

(3) STQ üçgeni QRS ile uyumludur. Bir paralelin köşegeni, SSS tarafından iki uyumlu üçgen oluşturur. (Okuyucuya alıştırma olarak bırakılan kanıt.)

3. O çemberinin aşağıdaki diyagramında, AB çapı ve CD kirişi E noktasında kesişir. [ŞEMA TANIMLANDIĞI GİBİ BİR DAİREDİR.]
AB, CD'ye dik ise, hangi ifade her zaman doğrudur?

(4) Arc CB, ark BD ile uyumludur. (Ayrıca, merak ediyorsanız, AC ve AD yayları uyumludur.)

4. (-9, 12) den geçen ve denklemi y = 1/3 x + 6 olan doğruya dik olan doğrunun denklemi nedir?

(2) y = -3x - 15. Dik sonra yamaçlar Hangi olumsuz karşılıklı. Yeni doğrunun eğimi -3 olmalıdır. (İki seçeneği eleyin.) (-9, 12) seçeneğini (2)'ye eklemek, bunun o doğru üzerinde bir nokta olduğunu gösterir. Benzer şekilde, denklem (4)'ün yerine konması da bunun doğru olmadığını göstermektedir.

5. Aşağıdaki şemada, X'Y'Z' üçgenleri hangi dönüşüm altında XYZ üçgeninin görüntüsüdür? [ŞEMA, I. DERECEDE BİR ÜÇGEN VE BİR DENGE, AMA IV. DÖNEMDE *DÖNDÜRÜLMÜŞ* ÜÇGEN İLE BİR KOORDİNAT DÜZLEMİ GÖSTERİR.]

(3) Saat yönünde 90 derecelik bir dönüş.

6. denklem sisteminin çözümü nedir y - x = 5 ve y = x 2 + 5?

(1) (0, 5)'in bir çözüm olduğunu çok hızlı bir şekilde kontrol edebilirsiniz. Seçeneklerden diğer çözüm (1, 6) veya (-1, 6) olmalıdır. (1, 6) çalışıp çalışmadığını kontrol edin.

7. Aşağıdaki şemada ABCD paralelkenarının A(1, 3), B(5, 7), C(10, 7) ve D(6, 3) köşeleri vardır. AC ve BD köşegenleri e noktasında kesişiyor.

(3) (5.5, 5) Bir paralelkenarın köşegenleri ikiye bölmek yani E noktasının koordinatları orta nokta herhangi bir diyagonal.

8. ABC dik üçgeni aşağıdaki grafikte gösterilmiştir. [ŞEMA, I. DERECEDE ABC SAĞ ÜÇGENİ İLE BİR KOORDİNAT DÜZLEMİ GÖSTERİYOR.]
Y ekseni üzerinde bir yansımadan sonra, ABC üçgeninin görüntüsü A'B'C' üçgenidir. Hangi ifade değil doğru?

(4) AC, yansımadan sonra A'C' ile paralel olmayacaktır. A'C' pozitif bir eğime sahip olacaktır.

9. Aşağıdaki grafikte gösterilen O çemberinin denklemi nedir? [ŞEMA 4 RADIUS İLE (-2,4) MERKEZLİ BİR DAİRE İLE KOORDİNAT DÜZLEMİ GÖSTERİYOR.]

(4) İşaretleri çevirin, yarıçapı kareleyin.

10. ABC dik üçgeninin aşağıdaki diyagramında AB hipotenüsüne bir yükseklik çizilmiştir.

(3) Sağ Üçgen Yükseklik Teoremi. Rakım z orantıda iki kez kullanılır.

11. Dörtgen ABCD, aşağıdaki eksen kümesi üzerinde grafiklenmiştir. [ŞEMA, I VE iv. DÖRDÜNCÜLERDE ELMAS ŞEKLİNDEKİ DÖRT TARAFLI BİR KOORDİNAT DÜZEYİ GÖSTERİYOR.]
ABCD'yi en iyi hangi dörtgen sınıflandırır?

(3) Bu bir eşkenar dörtgen ama kare değil.

12. O çemberi (x + 3) 2 + (y - 5) 2 = 48 denklemi ile temsil edilir. O çemberinin merkezinin koordinatları ve yarıçapının uzunluğudur.

(1) Bu sınavda ikinci kez daire denklemi kullanılır. İşaretleri ters çevirin ve 48'in karekökünü basitleştirin. (Zorunda değilsiniz, seçeneklerde sadece bir olasılık var.)

13. O çemberinin aşağıdaki diyagramında AB kirişi CE kirişine paraleldir.

(1) Paralel kirişler, uyumlu yayları keser.

14. Denklemi 3x - 7y + 14 = 0 olan doğruya dik olan doğrunun eğimi nedir?

(2) Tekrar dik. eğimi verilen çizgi 3/7'dir. Eğim ters karşılıklı, ki -7/3'tür.

15. AB doğru parçası, orijinde bulunan A uç noktasına sahiptir. AB doğru parçası, B'nin koordinatları olduğunda en uzundur.

(2) Asıl soru şudur: dört seçenekten hangisi orijine en uzak. Ayrıca, x'in mutlak değerini ve y'nin mutlak değerini toplarsanız, her durumda toplamın 10 olduğunu fark edebilirsiniz. Ancak, mesafeyi bu şekilde bulamazsınız. Uzaklık formülü şunları içerir: kare alma sayılardır, bu nedenle (2, -8) en uzak nokta olması şaşırtıcı olmamalıdır.

16. FGH üçgeninde m<F = m<H, GF = x + 40, HF = 3x - 20 ve GH = 2x + 20. GH'nin uzunluğu .

(3) F ve H açıları eş olduğundan, bacakları GF = GH olan bir ikizkenar üçgendir. Yani x + 40 = 2x + 20. (Not: Bunda HF önemli değildir.) Her iki taraftan x çıkarın ve her iki taraftan da 20 çıkarın, x = 20 olduğunu bulursunuz. DEĞİL CEVAP. x için 20'yi ve 2(20) + 20 = 60'ı takın.

17. ABCD dörtgeninin diyagramında, AEC ve BED köşegenleri E'de diktir. [ŞEMA, İKİ KÖŞEGENLİ BİR UÇURMA ŞEKLİ DÖRTGENİ GÖSTERİR.]
Verilen bilgilere göre hangi ifade her zaman doğrudur?

(4) Doğrular dik ise, hepsi 90 derece olan ve dolayısıyla hepsi birbiriyle uyumlu olan dört dik açı oluşur.

18. Bir dik üçgenin kenar uzunluklarını hangi sayı kümesi temsil edebilir?

(4) <8, 15, 17>tek Pisagor Üçlü listelenmiş. Bunu sadece görerek bilmelisin. Eğer bilmiyorsanız, her birini kullanarak kontrol etmek zorundaydınız. Pisagor teoremi, ancak <7, 7, 12>'nin doğru olamayacağını anlamanız gerekirdi çünkü bunun hipotenüsü ikizkenar üçgen olması lazım 7(kök 2).

19. ABCD dörtgeninde köşegenler açılarını ikiye böler. köşegenler ise değil eş, dörtgen ABCD olmalıdır

(3) Bu bir eşkenar dörtgen ama kare değil. Sanırım bunu daha önce bir kez yazmıştım.

20. Aşağıdaki grafikte m doğrusu ve P noktası gösterilmiştir. [ŞEMA, IV. DÖNEMDE POZİTİF EĞİM VE ALTINDA AP İLE DÜZ DOĞRU İLE KOORDİNAT DÜZLEMİ GÖSTERİR.]
P'den geçen ve m doğrusuna paralel olan doğruyu hangi denklem temsil eder?

(2) Doğrunun eğimi 2'dir, dolayısıyla paralel doğrunun eğimi de 2'dir. Denklem nokta-eğim biçiminde verilmiştir: y - y0 = m(x - x0).

21. Hangi bileşik ifade doğrudur?

(1) Bir ayırmanın (VEYA) doğru olması için yalnızca bir parçaya ihtiyacı vardır. Bir karenin dört kenarı vardır.

22. CAT üçgeninde, m<C = 65, m<A = 40 ve B, CA tarafında bir noktadır, öyle ki TB CA'ya diktir. Hangi doğru parçası en kısadır?

(2) Herhangi bir üçgende, en küçük açının karşısındaki kenar en küçük kenardır, ancak burada bir karışıklık var. Üçgen iki küçük üçgene bölünür ve CAT olduğu için DEĞİL bir dik üçgen (65-40-75), uygulayamıyoruz Sağ Üçgen Yükseklik Teoremi, bu biraz işe yaramış olsa bile. TB bir yükseklik olduğundan, iki dik açı oluşturur, böylece T'nin kesildiği daha küçük açıların boyutunu bulabiliriz, 50 ve 25. 25 derecelik açının karşısındaki kenar, dördünün en küçüğü olacak. listelenen segmentler.

23. Aşağıdaki ABC üçgeninin diyagramında DE || BC, AD = 3, DB = 2 ve DE = 6.

(2) Doğrular paralel olduğu için üçgenler benzer ve kenarlar orantılıdır. 3: 6 :: (3 + 2) : x veya 3x = 30. Yani x = 10.

24. ABC üçgeninde C'deki bir dış açı 50 derecedir. m<A > 30 ise, hangi eşitsizlik doğru olmalıdır?

(1) 20'den az olmalıdır, çünkü Dış Açı Teoremi.

25. (x - 1) 2 + y 2 = 4 denkleminin grafiğini hangi grafik temsil eder?

(2) Üçüncü kez bir dairenin denklemini soruyorlar.

26. k, p ve m doğrularının denklemleri aşağıda verilmiştir:
k: x + 2y = 6
p: 6x + 3y = 12
m: -x + 2y = 10
Hangi ifade doğrudur?

(1) p ve m doğruları dik eğimlere sahiptir (-2 ve 1/2).

27. Şeftali Sokağı ve Kiraz Sokağı paraleldir. Apple Street, aşağıdaki şemada gösterildiği gibi kesişir:

(4) İki açı tamamlayıcıdır, yani 2x + 36 + 7x - 9 = 180. (Uyumlu DEĞİLDİR, birbirine eşittir.)
Bu nedenle 9x + 27 = 180, 9x = 153 ve x = 17. Yine, yani DEĞİL cevap.
x yerine 17 koyun: 2(17) + 36 = 34 + 36 = 70 derece.

28. Normal bir piramidin yüksekliği 12 cm ve tabanı karedir. Piramidin hacmi 256 cm3 olduğuna göre tabanının bir kenarı kaç cm'dir?

(1) 256 * 3 = 768. 768 / 12 = 64. 64'ün karekökü 8'dir.

Çoktan seçmeli için bu kadar. Umarım iyi yapmışsındır.

Her zaman olduğu gibi, yukarıda herhangi bir yazım hatası varsa, lütfen en kısa zamanda bana seslen, böylece bazı şeyleri düzeltebilirim.


13: Geometri, Bölüm 1 - Matematik

Geometri dersi, öğrencilerin geometrik ilişkileri görme ve bu geometrik ilişkilerin genellikle önceki yılda çalıştıkları ilişkilerin alternatif temsilleri olduğunu görme yeteneklerini genişleterek Cebir 1 üzerine kuruludur. Öğrenciler, geometrik ilişkileri analiz etmek ve akıl yürütmelerini mantıklı ve kesin bir şekilde açıklamak için bir yaklaşım geliştirirler ve sonunda ispata (resmi ve resmi olmayan) yol açarlar.

Geometri dersi için belirlenen başlıca kavramlar; uygunluk, benzerlik, dik üçgenler, trigonometri, basit geometrik teoremleri cebirsel olarak ispatlamak için koordinatları kullanma ve modelleme durumlarında geometrik kavramları uygulamadır. Bu ilişkiler ve temsiller etrafında iletişim kurmak için kullanılan şekiller, nokta ve çizgi kavramlarından çokgenler ve dairelere dönüşür.

Ses ve kesin akıl yürütme süreci, geometri kursu boyunca işlenir. Bu nedenle, muhakeme ve anlamlandırma, resmi kanıt yazımı olsun veya olmasın, öğretimin düzenli bir parçası olmalıdır. Matematiksel Uygulama için Ortak Temel Standartların entegrasyonu, öğrencilerin Geometriye nasıl yaklaşacaklarını anlamaları için kritik olacaktır. Akıl yürütme "pratiği" yoluyla öğrenciler, geçerli argümanlar oluşturarak, başkalarının akıl yürütmelerini eleştirerek ve matematiksel ifadeler yaparken kesinliğe dikkat ederek kurs düzeyinde uygun geometrik düşünceyi ifade etmeye doğru ilerleyeceklerdir.

İşte Geometri kursunu destekleyen birkaç faydalı kaynak. Daha fazlasını bulmak için lütfen kaynak arama sayfasını ziyaret edin!

Quiz Banker, 2500'den fazla eyalet sınav sorusundan oluşan bir öğe bankasına dayalı olarak öğrencilerin hazır, düzenlenebilir sınav ve yanıt belgeleri oluşturur.

Quiz Banker, New York Eyaleti orta öğretim öğretmenlerini geçmiş Regents sınav öğelerine dayalı testler oluşturma konusunda destekler. Bu Quiz Banker, Google Dokümanlar'daki bir dizi öğeden yararlanarak öğretmenlere, öğrencilerin öğrenme ihtiyaçlarını belirleme ve analiz etme ve duyarlı günlük dersleri planlama gibi kritik görevler için daha fazla zaman tanır. Öğretmenler, Ortak Çekirdek standartlarının ne anlama geldiğini anlamayı kolaylaştırmak için Ortak Çekirdek alanına, kümeye ve standarda göre soruları sıralayabilir ve filtreleyebilir. Her soru aynı zamanda New Visions'ın ücretsiz ve açık kaynak müfredatıyla uyumludur ve öğretmenlerin öğrenme kanıtlarına yanıt olarak plan yapmasını daha da kolaylaştırır. Şu anda araç akımında 3 New York Eyaleti ortaöğretim matematik dersi ve 2 New York Eyaleti ortaöğretim fen dersi için öğeler bulunmaktadır.

Lütfen bu kaynağı öğrencilerle kullanma deneyiminize ilişkin sorular, geri bildirimler, öneriler veya açıklamalarla aşağıya yorum yapın.

Bu, öğrencilerin Geometride sahip oldukları ortak anlayışların ve yanlış anlamaların bir açıklamasıdır. Bu, bir ünite planlamadan önce Geometri öğretmenleri için faydalı bir okuma olabilir.

Lütfen bu kaynağı öğrencilerle kullanma deneyiminize ilişkin sorular, geri bildirimler, öneriler veya açıklamalarla aşağıya yorum yapın.


ACT'deki Tipik Katı Geometri Soruları

Katı geometri ile başa çıkmanız gereken formülleri gözden geçirmeden önce, ACT'nin size katılar hakkında soracağı soru türlerine aşina olmanız önemlidir. ACT katı geometri soruları iki biçimde görünecektir: size bir diyagram verilen sorular ve kelime problemi soruları.

Biçimi ne olursa olsun, bir şeklin hacmini ve/veya yüzey alanını anladığınızı test etmek için her tür ACT katı geometri sorusu vardır. Bir şeklin hacmini veya yüzey alanını nasıl bulacağınız sorulacak veya bir şeklin boyutlarının nasıl değişip değişeceğini belirlemeniz istenecek.

Diyagram Sorunları

Bir katı geometri diyagramı problemi size geometrik bir katının çizimini sağlayacak ve resmin eksik bir elemanını bulmanızı isteyecektir. Bazen sizden şeklin hacmini, şeklin yüzey alanını veya şekil üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulmanızı isteyeceklerdir. Ayrıca birkaç farklı şeklin hacimlerini, yüzey alanlarını veya mesafelerini karşılaştırmanızı da isteyebilirler.

Kelime Problemleri

Katı geometri kelime problemleri genellikle sizden iki şeklin yüzey alanlarını veya hacimlerini karşılaştırmanızı ister. Genellikle size bir cismin boyutlarını verirler ve daha sonra hacmini veya yüzey alanını farklı boyutlardaki bir cisimle karşılaştırmanızı söylerler.

Diğer kelime problemleri, bir şekli diğerinin içinde tutmanızı isteyebilir. Bu, bir şeklin hacmi ve onu ölçmenin yolları hakkında düşünmenizi sağlamanın başka bir yoludur.

Yarıçapı 3 inç olan bir küre çizebilecek bir küpün inç küp cinsinden mümkün olan minimum hacmi nedir?

Bu tipik bir yazma katı kelime problemidir. Bunu nasıl çözeceğimizi kılavuzda daha sonra ele alacağız.

Katı geometri kelime problemleri birçok insan için kafa karıştırıcı olabilir, çünkü soruyu resim olmadan görselleştirmek zor olabilir.

Şekilleri veya açıları tanımlayan kelime problemlerinde her zaman olduğu gibi, çizimi kendiniz yapın! Basitçe bir sorunun neyi tanımladığını görebilmek, soruyu netleştirmeye yardımcı olmak için harikalar yaratabilir.

Genel

ACT'deki her katı geometri sorusu, bir şeklin hacmi veya yüzey alanı veya bir şekildeki iki nokta arasındaki mesafe ile ilgilidir. Bazen yüzey alanı ve hacmi birleştirmeniz gerekecek, bazen iki katıyı birbiriyle karşılaştırmanız gerekecek. Ancak nihayetinde tüm katı geometri soruları bu kavramlara indirgenir.

Şimdi, tüm farklı geometrik katıların hacimlerini, yüzey alanlarını ve mesafelerini nasıl bulacağımıza dair ACT matematik ipuçlarımızı inceleyelim.

Vahşi doğada geometrik katıların mükemmel bir örneği


Giriş

Öklid Elementler insanlık tarihinin en güzel ve etkili bilim eserlerinden birini oluşturur. Güzelliği, geometrinin ve matematiğin diğer dallarının mantıksal gelişiminde yatmaktadır. Tüm bilim dallarını etkilemiştir, ancak hiçbiri matematik ve kesin bilimler kadar etkili olmamıştır. Elementler Tabii ki orijinal Yunanca, daha sonra Arapça, Latince ve birçok modern dilde başlayan birçok dilde 24 yüzyıl boyunca incelenmiştir.

Euclid'in bu versiyonunu oluşturuyorum Elementler birkaç nedenden dolayı. Ana şey, konuya olan ilgiyi yeniden alevlendirmektir. Elementler, ve web bunu yapmanın harika bir yoludur. Diğer bir neden de Java uygulamalarının geometriyi göstermek için nasıl kullanılabileceğini göstermektir. Bu da getirmek için yardımcı olur Elementler canlı.

13 Kitabın tamamının metni tamamlanmıştır ve tüm şekiller Geometri Uygulaması kullanılarak gösterilmiştir, hatta katı geometri üzerine son üç kitaptakiler bile üç boyutludur. Rehber bölümlerine daha yazacak çok şeyim var ve bu beni bir süre meşgul edecek.

Euclid&rsquos'un bu baskısı Elementler diyagramları göstermek için Geometri Uygulaması adlı bir Java uygulamasını kullanır. Tarayıcınızda Java'yı etkinleştirirseniz, diyagramları dinamik olarak değiştirebilirsiniz. Nasıl olduğunu görmek için lütfen İçindekiler bölümüne geçmeden önce Geometri Uygulamasını Kullanma bölümünü okuyun.

Burada, Birleşik Devletler liselerinde geometrinin artık iyi öğretilmediğini sık sık duyuyorum. (Bazı liselerde hiç öğretilmediğini de anlıyorum.) Bu büyük bir sorun çünkü tümdengelim mantığı neredeyse sadece geometride öğreniliyor. Mantığı anlamadan öğrenciler, üniversiteye devam ederlerse günlük yaşamlarında ve üniversitede zorluk yaşayacaklardır.

Modern matematik ve bilim, anlamanın birincil aracı olarak tümdengelimli mantığı kullanır. Özellikle matematikte hiçbir şey ispatlanmadan bilinemez.

Amerika Birleşik Devletleri'nde geometri eğitiminin çöküşüne katkıda bulunan bir faktör, belki de en büyük katkıda bulunan faktör, ders kitaplarında sunulma şeklidir. Eğer ders kitaplarında mantık sunulmuyorsa öğretmenin onu sınıfa sokması çok zor.

Yakın tarihli bir ders kitabı, Prentice-Hall's Geometri: değişen bir dünya için araçlar bugün geometri eğitiminin ne kadar zayıf olduğunu gösteriyor. Ayrıntılar için kitap incelememe bakın.

Amerika Birleşik Devletleri'ndeki matematik eğitiminin daha geniş bir eleştirisi için Mathematically Correct sitesine bakın. -->


Geometriye Giriş

Eski ABD Matematik Olimpiyatları galibi Richard Rusczyk'ten geometrinin temellerini öğrenin. Kitapta işlenen konular arasında benzer üçgenler, eş üçgenler, dörtgenler, çokgenler, daireler, korkak alanlar, bir noktanın gücü, üç boyutlu geometri, dönüşümler ve çok daha fazlası yer almaktadır.

Metin, okuyucuya yeni fikirler keşfetmesi ve geliştirmesi için ilham verecek şekilde yapılandırılmıştır. Her bölüm problemlerle başlar, böylece öğrenci ilerlemeden önce bunları yardım almadan çözme şansına sahip olur. Metin daha sonra geometrik tekniklerin öğretildiği bu problemlerin çözümlerini içerir. Metin boyunca önemli gerçekler ve güçlü problem çözme yaklaşımları vurgulanmıştır. Öğretim materyaline ek olarak, kitap 900'den fazla problem içermektedir. Çözüm kılavuzu, yalnızca yanıtları değil, tüm sorunların tam çözümlerini içerir.

Bu kitap tam bir geometri dersi olarak hizmet edebilir ve lineer denklemleri çözmek gibi temel cebirde uzmanlaşan öğrenciler için idealdir. MATHCOUNTS'a hazırlanan ortaokul öğrencileri, AMC'ye hazırlanan lise öğrencileri ve geometrinin temellerini öğrenmek isteyen diğer öğrenciler bu kitabı matematik kütüphanelerinin araçsal bir parçası olarak bulacaklar.


İki noktadan geçen tam olarak 1 doğru vardır. E ve F'den geçen tek doğru t doğrusudur.

varsayım 1.1

İki doğru tam olarak 1 noktada buluşabilir veya kesişebilir. Aşağıdaki şekilde kesişme noktası A olarak adlandırılmaktadır.

varsayım 1.2

İki düzlem tam olarak 1 doğruda kesişebilir. Aşağıdaki şekil 2 düzleme sahiptir. Sarı renkli ZXY düzlemi ve mavi renkli PXY düzlemi, kırmızı ile gösterilen XY çizgisinde kesişmektedir.

Aynı doğru üzerinde olmayan herhangi üç noktadan geçen tam olarak bir düzlem vardır. Bir düzlemi tanımlamak için 4 noktaya ihtiyacımız olmadığına dikkat edin. Bu, sadece 3 ayaklı bir sandalye devrilmeyeceği için mantıklıdır.

varsayım 1.4

3 siyah nokta tam olarak 1 düzlemi belirler. 3 kırmızı nokta tam olarak 1 düzlemi belirler.

Postüla 1.5 veya cetvel postülası

Bir doğru üzerindeki her noktaya gerçek bir sayı atanabilir. Herhangi 2 nokta arasındaki uzaklık, karşılık gelen sayıların farkının mutlak değeridir.

A, B ve C eşdoğrusal ise,   ve B, A ve C arasındadır, AB + BC = AC

Cetvel varsayımının daha kapsamlı bir kapsamı için yukarıdaki bağlantıyı kontrol edin.

Varsayım 1.7 veya iletki varsayımı

AB doğrusunun orta noktası O olsun.  Rays OA, OB ve AB çizgisinin bir tarafına çizilebilen O uç noktalarına sahip tüm ışınlar, OA 0 derece ile ve OB 180 derece ile eşleştirilecek şekilde 0'dan 180'e kadar gerçek sayılarla eşleştirilebilir. .#xa0


1.8 varsayımı veya açı ekleme varsayımı

∠ AOB bir doğru açıysa, o zaman m ∠ AOC + m ∠ COB = 180

İki şekil eş ise alanları eşittir. Örneğin, genişlik = 2 ve yükseklik = 5 olan bir dikdörtgen, genişlik = 5 ve yükseklik = 2 olan bir dikdörtgenle uyumludur.

Bir şeklin alanı, örtüşmeyen parçalarının alanlarının toplamıdır.


Matematik Bölüm II 9. Sınıf Matematik Çözümleri Bölüm 1 - Geometride Temel Kavramlar

Matematik Bölüm II Çözümler 9. Sınıf Matematik için Çözümler Bölüm 1 Geometrideki Temel Kavramlar burada adım adım basit açıklamalarla sağlanır. Geometride Temel Kavramlar için bu çözümler 9. Sınıf öğrencileri arasında son derece popülerdir. Geometride Temel Kavramlar için Çözümler, ödevlerinizi hızlı bir şekilde tamamlamak ve sınavlara hazırlanmak için kullanışlıdır. 9. Sınıf Matematik Bölüm 1 Matematik Kısım II Çözümler Kitabı'ndaki tüm soru ve cevaplar burada sizin için ücretsiz olarak sağlanmaktadır. Ayrıca Meritnation'ın Matematik Bölüm II Çözüm Çözümlerinde reklamsız deneyimi seveceksiniz. 9. Sınıf Matematik için tüm Matematik Bölüm II Çözümleri Çözümler uzmanlar tarafından hazırlanmıştır ve %100 doğrudur.

Sayfa No 5:

Soru 1:

Aşağıda verilen sayı doğrusu yardımıyla uzaklıkları bulunuz.

Cevap:

İki nokta arasındaki uzaklığın büyük koordinattan küçük koordinat çıkarılarak elde edildiği bilinmektedir.

(i) B ve E noktalarının koordinatları sırasıyla 2 ve 5'tir. 5 & ​​gt 2 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(B, E) = 5 &eksi 2 = 3

(ii) J ve A noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi2 ve 1'dir. 1 > &minus2 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(J, A) = 1 &eksi (&eksi2) = 1 + 2 = 3

(iii) P ve C noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi4 ve 3'tür. 3 > &minus4 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(P, C) = 3 &eksi (&eksi4) = 3 + 4 = 7

(iv) J ve H noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi2 ve &eksi1'dir. &minus1 > &minus2 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(J, H) = &minus1 &minus (&minus2) = &minus1 + 2 = 1

(v) K ve O noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi3 ve 0'dır. 0 > &minus3 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(K, O) = 0 &eksi (&eksi3) = 0 + 3 = 3

(vi) O ve E noktalarının koordinatları sırasıyla 0 ve 5'tir. 5 > 0 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(O, E) = 5 &eksi 0 = 5

(vii) P ve J noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi4 ve &eksi2'dir. &minus2 > &minus4 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(P, J) = &minus2 &minus (&minus4) = &minus2 + 4 = 2

(viii) Q ve B noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi5 ve 2'dir. 2 > &eksi5 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(Q, B) = 2 &eksi (&eksi5) = 2 + 5 = 7

Sayfa No 5:

Soru 2:

Cevap:


İki nokta arasındaki uzaklığın büyük koordinattan küçük koordinat çıkarılarak elde edildiği bilinmektedir.

(i) A ve B'nin koordinatları x ve y sırasıyla. Sahibiz, x = 1 ve y = 7. 7 > 1 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(A, B) = y &eksi x = 7 &eksi 1 = 6

(ii) A ve B'nin koordinatları x ve y sırasıyla. Sahibiz, x = 6 ve y = &eksi2. 6 > &minus2 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(A, B) = x &eksi y = 6 &eksi (&eksi2) = 6 + 2 = 8

(iii) A ve B'nin koordinatları x ve y sırasıyla. Sahibiz, x = &eksi3 ve y = 7. 7 > &minus3 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(A, B) = y &eksi x = 7 &eksi (&eksi3) = 7 + 3 = 10

(vi) A ve B'nin koordinatları x ve y sırasıyla. Sahibiz, x = 4 ve y = &eksi8. 4 > &minus8 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(A, B) = x &eksi y = 4 &eksi (&eksi8) = 4 + 8 = 12

Sayfa No 5:

Soru 3:

Cevap:


(i) Biz, d(P, R) = 7 d(P, Q) = 10 d(Q, R) = 3
şimdi, d(P, R) + d(Q, R) = 7 + 3
Veya, d(P, R) + d(R, Q) = 10
&orada4 d(P, Q) = d(P, R) + d(S, R)
Bu nedenle, P, R ve Q noktaları eşdoğrusaldır.
R noktası, P ve Q arasındadır, yani P-R-Q.

(ii) Biz, d(R, S) = 8 d(S, T) = 6 d(R, T) = 4
Şimdi, 8 + 6 = 14, yani 8 + 6 &ne 4 6 + 4 = 10, yani 6 + 4 &ne 8 ve 8 + 4 = 12, yani 8 + 4 ​&ne 6
İki nokta çifti arasındaki uzaklıkların toplamı üçüncü nokta çifti arasındaki uzaklığa eşit olmadığından, verilen R, S ve T noktaları doğrusal değildir.

(iii) Sahip olduğumuz, d(A, B) = 16 d(C, A) = 9 d(B, C) = 7
şimdi, d(C, A) + d(B, C) = 9 + 7
Veya, d(A, C) + d(C, B) = 16
&orada4 d(A, B) = d(A, C) + d(C, B)
Dolayısıyla A, C ve B noktaları doğrusaldır.
C noktası A ve B arasındadır, yani A-C-B.

(iv) Biz, d(L, E) = 11 d(M, N) = 12 d(N, L) = 8
Şimdi, 11 + 12 = 23, yani 11 + 12 &ne 8 12 + 8 = 20, yani 12 + 8 &ne 11 ve 11 + 8 = 19, yani 11 + 8 ​&ne 12
İki nokta çifti arasındaki uzaklıkların toplamı üçüncü nokta çifti arasındaki uzaklığa eşit olmadığından, verilen L, M ve N noktaları doğrusal değildir.

(v) Biz, d(X, Y) = 15 d(Y, Z) = 7 d(X, Z) = 8
şimdi, d(X, Z) + d(Y, Z) = 7 + 8
Veya, d(X, Z) + d(Z, Y) = 15
&orada4 d(X, Y) = d(X, Z) + d(Z, Y)
Dolayısıyla X, Z ve Y noktaları doğrusaldır.
Z noktası X ve Y arasındadır, yani X-Z-Y.

(vi) Biz, d(D, E) = 5, d(E, F) = 8, d(D, F) = 6
Şimdi, 5 + 8 = 13, yani 5 + 8 &ne 6 8 + 6 = 14, yani 8 + 6 &ne 5 ve 5 + 6 = 11, yani 5 + 6 ​&ne 8
İki nokta çifti arasındaki uzaklıkların toplamı üçüncü nokta çifti arasındaki uzaklığa eşit olmadığından, verilen D, E ve F noktaları doğrusal değildir.

Sayfa No 5:

Soru 4:

Sayı doğrusunda A, B ve C noktaları şu şekildedir: d(A,C) = 10, d(C,B) = 8 . Bul d(A, B) tüm olasılıkları göz önünde bulundurarak.

Cevap:

Sadece iki olasılık var.
Durum 1: C noktası A ve B noktaları arasında olduğunda.

Sahibiz, d(A, C) = 10 d(C, B) = 8
şimdi, d(A, B) = d(A, C) + d(C, B) = 10 + 8
&orada4 d(A, B) = 18
Durum 2: B noktası A ve C noktaları arasında olduğunda.

Sayfa No 5:

Soru 5:

X, Y, Z noktaları öyle doğrusaldır ki d(X,Y) = 17, d(Y,Z) = 8, bul d(X,Z) .

Cevap:


X, Y ve Z noktalarının eşdoğrusal olduğu verilmiştir.
Sahibiz d(X,Y) = 17 d(Y,Z) = 8.
şimdi, d(X,Z) = d(X,Y) + d(Y,Z) = 17 + 8
&orada4 d(X,Z) = 25

Sayfa No 5:

Soru 6:

Cevap:

Sayfa No 5:

7. soru:

Doğrusal olmayan üç noktadan hangi şekil oluşur?

Cevap:

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç parçadan bir üçgen oluşur.

A, B ve C doğrusal olmayan üç noktadır. A, B ve C birleştirildiğinde, bir ∆ABC elde ederiz.

Sayfa No 7:

Soru 1:

Cevap:

(i) D ve E noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi7 ve 9'dur. 9 > &eksi7 olduğunu biliyoruz.
&orada4 ben(DE) = 9 &eksi (&eksi7) = 9 + 7 = 16
A ve B noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi3 ve 5'tir. 5 > &minus3 olduğunu biliyoruz.
&orada4 ben(AB) = 5 &eksi (&eksi3) = 5 + 3 = 8
Dan beri, ben(DE) &ne ben(AB), yani DE ≇ AB ayır.

(ii) B ve C noktalarının koordinatları sırasıyla 5 ve 2'dir. 5 & ​​gt 2 olduğunu biliyoruz.
&orada4 ben(BC) = 5 &eksi 2 = 3
A ve D noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi3 ve &eksi7'dir. &minus3 > &minus7 olduğunu biliyoruz.
&orada4 ben(AD) = &minus3 &eksi (&minus7) = &minus3 + 7 = 4
Dan beri, ben(BC) & ne ben(AD), yani bölüm BC ≇ bölüm AD.

(iii) B ve E noktalarının koordinatları sırasıyla 5 ve 9'dur. 9 & gt 5 olduğunu biliyoruz.
&orada4 ben(BE) = 9 &eksi 5 = 4
A ve D noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi3 ve &eksi7'dir. &minus3 > &minus7 olduğunu biliyoruz.
&orada4 ben(AD) = &minus3 &eksi (&minus7) = &minus3 + 7 = 4
Dan beri, ben(BE) = ben(AD), yani seg BE & cong seg AD.

Sayfa No 7:

Soru 2:

M noktası, AB segmentinin orta noktasıdır. AB = 8 ise AM'nin uzunluğunu bulun.

Cevap:


Sahibiz ben(AB) = 8.
M, AB segmentinin orta noktası olduğundan,
ben(AM) = 1 2 / ben(AB)
&orada4 ben(AM) = 1 2 & çarpı 8 = 4
Yani, AM'nin uzunluğu 4'tür.

Sayfa No 7:

Soru 3:

P noktası, seg CD'nin orta noktasıdır. CP = 2.5 ise, bulun ben(CD).

Cevap:


Sahibiz ben(CP) = 2.5.
P, seg CD'nin orta noktası olduğundan,
ben(CP) = 1 2 / ben(CD)
&orada4 ben(CD) = 2 kez ben(CP) = 2 & çarpı 2,5 = 5
Yani, CD'nin uzunluğu 5'tir.

Sayfa No 7:

Soru 4:

AB = 5 cm, BP = 2 cm ve AP = 3,4 cm ise, segmentleri karşılaştırın.

Cevap:

Sayfa No 8:

Soru 5:

Cevap:

Sayfa No 8:

Soru 6:

Verilen şekil yardımıyla soruları cevaplayınız.

Cevap:


(i) B ve C noktalarının koordinatları sırasıyla 2 ve 4'tür. 4 & gt 2 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(B, C) = 4 &eksi 2 = 2
B ve A noktalarının koordinatları sırasıyla 2 ve 0'dır. 2 > 0 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(B, A) = 2 &eksi 0 = 2
Dan beri d(B, A) = d(B, C), sonra A ve C noktaları B noktasından eşit uzaklıktadır.
B ve D noktalarının koordinatları sırasıyla 2 ve 6'dır. 6 & gt 2 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(B, D) = 6 &eksi 2 = 4
B ve P noktalarının koordinatları sırasıyla 2 ve &eksi2'dir. 2 > &minus2 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(B, P) = 2 &eksi (&eksi2) = 2 + 2 = 4
Dan beri d(B, D) = d(B, P), sonra D ve P noktaları B noktasından eşit uzaklıktadır.

(ii) Q ve U noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi4 ve &eksi5'tir. &minus4 > &minus5 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(Q, U) = &minus4 &minus (&minus5) = &minus4 + 5 = 1
Q ve L noktalarının koordinatları sırasıyla &minus4 ve &minus3'tür. &minus3 > &minus4 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(Q, L) = &minus3 &minus (&minus4) = &minus3 + 4 = 1
Dan beri d(Q, U) = d(Q, L), sonra U ve L noktaları Q noktasından eşit uzaklıktadır.
Q ve R noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi4 ve &eksi6'dır. &minus4 > &minus6 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(Q, R) = &minus4 &minus (&minus6) = &minus4 + 6 = 2
Q ve P noktalarının koordinatları sırasıyla &minus4 ve &minus2'dir. &minus2 > &minus4 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(Q, P) = &minus2 &minus (&minus4) = &minus2 + 4 = 2
Dan beri d(Q, R) = d(Q, P), o zaman R ve P noktaları Q noktasından eşit uzaklıktadır.

(iii) U ve V noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi5 ve 5'tir. 5 > &eksi5 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(U, V) = 5 &eksi (&eksi5) = 5 + 5 = 10
P ve C noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi2 ve 4'tür. 4 > &minus2 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(P, C) = 4 &eksi (&eksi2) = 4 + 2 = 6
V ve B noktalarının koordinatları sırasıyla 5 ve 2'dir. 5 & ​​gt 2 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(V, B) = 5 &eksi 2 = 3
U ve L noktalarının koordinatları sırasıyla &eksi5 ve &eksi3'tür. &minus3 > &minus5 olduğunu biliyoruz.
&orada4 d(U, L) = &minus3 &minus (&minus5) = &minus3 + 5 = 2


Koordinat Geometrisi

Aşağıdaki tabloda bazı koordinat geometrisi formülleri verilmektedir. Formüller, formüllerin nasıl kullanılacağı ve alıştırma yapmak için çalışma sayfaları hakkında daha fazla açıklamaya ihtiyacınız varsa sayfayı aşağı kaydırın.

Koordinat Düzlemi veya Kartezyen Düzlemi Nedir?

Koordinat düzlemi veya Kartezyen düzlem, koordinat geometrisi için temel bir kavramdır. İki boyutlu bir düzlemi iki dik eksen cinsinden tanımlar: x ve y.

X ekseni yatay yönü gösterirken y ekseni düzlemin dikey yönünü gösterir. Koordinat düzleminde noktalar, x ve y eksenleri boyunca konumlarıyla gösterilir.

Örneğin: Aşağıdaki koordinat düzleminde L noktası, x ekseni boyunca –3 ve y ekseni boyunca 1.5 üzerinde konumlandığı için koordinatlarla (–3, 1.5) temsil edilir. Benzer şekilde, M = (2, 1.5) ve N = (–2, –3) noktalarının konumlarını da belirleyebilirsiniz.


Koordinat düzleminde noktalar nasıl çizilir ve koordinat düzlemindeki noktaların koordinatları nasıl belirlenir?
Noktaları çizmek veya çizmek için eksen adı verilen iki dikey çizgi kullanırız. Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir. Eksenlerdeki oklar pozitif yönleri gösterir.

Sıralı çifti (4, 3) düşünün. Sıralı bir çiftteki sayılara koordinatlar denir. Bu durumda ilk koordinat veya x koordinatı 4'tür ve ikinci koordinat veya y koordinatı 3'tür.

(4, 3) noktasını çizmek için orijinden başlıyoruz, yatay olarak 4 birim sağa hareket ediyoruz, dikey olarak 3 birim yukarı hareket ediyoruz ve sonra bir nokta yapıyoruz.

  1. Aşağıdaki noktaları çizin: A(-3,2), B(-1,4), C(-2,-4), D(0,-2), E(3,0)
  2. Verilen noktaların koordinatlarını bulun

Bir Doğrunun Eğimi Nasıl Bulunur?

Koordinat düzleminde bir doğrunun eğimine eğim denir. Eğim, y değerindeki değişimin x değerindeki değişime oranıdır, aynı zamanda mesafeye göre yükselme olarak da adlandırılır.

Bir doğru üzerinde herhangi iki nokta verildiğinde, bu formülü kullanarak doğrunun eğimini hesaplayabilirsiniz:


For example: Given two points, P = (0, –1) and Q = (4,1), on the line we can calculate the slope of the line.


What Is The Y-Intercept?

The y-intercept is where the line intercepts (meets) the y-axis.

For example: In the above diagram, the line intercepts the y-axis at (0,–1). Its y-intercept is equals to –1.

What Is The Equation Of A Line?

In coordinate geometry, the equation of a line can be written in the form, y = mx + b, where m is the slope and b is the y-intercept. (mnemonic for this formula

For example: The equation of the line in the above diagram is:
y = ½ x - 1

How To Find The Slope Given 2 Points?

Example: Find the slope of the two points (-6,3) and (4,-3)

How To Write A Slope Intercept Equation For A Line On A Graph?

What Is A Negative Slope?

Let&rsquos look at a line that has a negative slope.

For example: Consider the two points, R(0, 2) and S(6, –2) on the line. What would be the slope of the line? What would be the equation of the line?

How To Determine The Slope Of A Line Given The Graph Of A Line With A Negative Slope?

How To Find The Slopes Of Parallel Lines?

In coordinate geometry, two lines are parallel if their slopes (m) are equal.

For example: The line y = ½ x - 1 is parallel to the line y = ½ x + 1 because their slopes are both the same.

How to find the equation of a line parallel to a given line and passing through a given point?
Example: Write the equation of a line that is parallel to the line 2x - 4y = 8 and goes through the point (3, 0).

How To Find The Slopes Of Perpendicular Lines?

In the coordinate plane, two lines are perpendicular if the product of their slopes (m) is –1.

For example: The line y = ½ x - 1 is perpendicular to the line y = –2x – 1. The product of the two slopes is ½ × (-2) = -1.

How to find the slope of a line that is perpendicular to a given line?
Example: Find the slope of the line that is perpendicular to the line 3x + 2y = 6.

What Is The Midpoint Formula?

Some coordinate geometry questions may require you to find the midpoint of line segments in the coordinate plane. To find a point that is halfway between two given points, get the average of the x-values and the average of the y-values.

For example: The midpoint of the points A(1,4) and B(5,6) is

How to derive and use the midpoint formula?
This video gives the formula for finding the midpoint of two points and one example to find the midpoint.

What Is The Distance Formula

In the coordinate plane, you can use the Pythagorean Theorem to find the distance between any two points.

For example: To find the distance between A(1,1) and B(3,4), we form a right angled triangle with A̅B̅ as the hypotenuse. The length of A̅C̅ = 3 – 1 = 2. The length of B̅C̅ = 4 – 1 = 3.

Applying Pythagorean Theorem:
A̅B̅ 2 = 2 2 + 3 2
A̅B̅ = 13
A̅B̅ = √13

How to derive and use the distance formula?
This video shows how the distance formula comes from the Pythagorean Theorem, and one example of finding the distance between two points.

Çeşitli matematik konularını uygulamak için aşağıdaki ücretsiz Mathway hesap makinesini ve problem çözücüyü deneyin. Verilen örnekleri deneyin veya kendi probleminizi yazın ve adım adım açıklamalarla cevabınızı kontrol edin.

Bu site veya sayfayla ilgili geri bildirimlerinizi, yorumlarınızı ve sorularınızı bekliyoruz. Lütfen geri bildiriminizi veya sorularınızı Geri Bildirim sayfamız aracılığıyla gönderin.


Right Triangle Trigonometry

Prove theorems involving similarity. Prove theorems about triangles. Theorems include: a line parallel to one side of a triangle divides the other two proportionally, and conversely the Pythagorean Theorem proved using triangle similarity. Clarification: Theorems include but are not limited to the listed theorems. Example: the length of the altitude drawn from the vertex of the right angle of a right triangle to its hypotenuse is the geometric mean between the lengths of the two segments of the hypotenuse.

Prove theorems involving similarity. Use congruence and similarity criteria for triangles to solve problems and to prove relationships in geometric figures. Clarification: ASA, SAS, SSS, AAS, and Hypotenuse-Leg theorem are valid criteria for triangle congruence. AA, SAS, and SSS are valid criteria for triangle similarity.

Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles. Understand that by similarity, side ratios in right triangles are properties of the angles in the triangle, leading to definitions of trigonometric ratios for acute angles.

Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles. Explain and use the relationship between the sine and cosine of complementary angles.

Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles. Use trigonometric ratios and the Pythagorean Theorem to solve right triangles in applied problems. ★

Explain volume formulas and use them to solve problems. Give an informal argument for the formulas for the circumference of a circle, area of a circle, volume of a cylinder, pyramid, and cone. (e.g. Use dissection arguments, Cavalieri’s principle, and informal limit arguments.)

Explain volume formulas and use them to solve problems. Use volume formulas for cylinders, pyramids, cones, and spheres to solve problems. ★

Unit four is about right triangles and the relationships that exist between its sides and angles. Students apply their understanding of similarity, from unit three, to prove the Pythagorean Theorem. Trigonometric functions, which are properties of angles and depend on angle measure, are also explained using similarity relationships. Students determine when to use trigonometric ratios, Pythagorean Theorem, and/or properties of right triangles to model problems and solve them. Throughout the unit, students should be applying similarity and using inductive and deductive reasoning as they justify and prove these right triangle relationships.


Videoyu izle: Kursa Gitmiyorum Evde Çalışıyorum, Temelim Zayıf Diyorsan Kesin İzle! (Ekim 2021).