Nesne

5.1: Trigonometrik Fonksiyonların Grafiklendirilmesi - Matematik


Grafiği oluşturacağımız ilk fonksiyon sinüs fonksiyonudur. kullanarak grafiği oluşturmanın geometrik bir yolunu tanımlayacağız. birim çember. Bu, (x^2 + y^2 = 1 ) denklemini sağlayan tüm ((x,y) ) noktalarından oluşan (xy)-düzlemindeki (1 ) yarıçaplı dairedir. .

Şekil 5.1.1'de birim çember üzerindeki herhangi bir noktanın ((x,y)=(cos; heta,sin; heta) ) koordinatlarına sahip olduğunu görüyoruz, burada ( heta ) doğru parçasının noktadan aldığı açı
((x,y) ) orijini pozitif (x)-ekseni ile yapar (sinüs ve kosinüs tanımına göre). Böylece ((x,y) ) noktası dairenin etrafında dönerken, (y)-koordinatı (sin; heta ) olur.

Böylece birim çember üzerindeki noktaların (y)-koordinatları ile birim çemberden yatay çizgilerle gösterildiği gibi (f( heta)=sin; heta ) değerleri arasında bir uygunluk elde ederiz. açılar için Şekil 5.1.2'deki (f( heta)=sin; heta ) grafiğine ( heta = 0 ), ( frac{pi}{6} ) , ( frac{pi}{3} ), ( frac{pi}{2} ).

Yukarıdaki resmi, Şekil 5.1.3'teki gibi (0 ) ile (2pi ) radyan arasındaki açıları içerecek şekilde genişletebiliriz. Bu, bazen sinüs fonksiyonunun birim çember tanımı.

Trigonometrik fonksiyonlar her (2pi ) radyanı ((360^circ)) tekrarladığından, örneğin, (y=sin;x ) fonksiyonunun için aşağıdaki grafiğini elde ederiz. (x ) ([-2pi , 2pi] aralığında):

Kosinüs fonksiyonunun grafiğini çizmek için tekrar birim çember fikrini kullanabiliriz (daire etrafında hareket eden bir noktanın (x)-koordinatını kullanarak), ancak daha kolay bir yol var. Bölüm 1.5'ten tüm (x ) için (cos;x = sin;(x+90^circ) ) olduğunu hatırlayın. Yani (cos;0^circ ), (sin;90^circ ile aynı değere sahiptir), (cos;90^circ ), ( ile aynı değere sahiptir sin;180^circ ), (cos;180^circ ), (sin;270^circ ) ile aynı değere sahiptir, vb. Başka bir deyişle, kosinüs fonksiyonunun grafiği, sadece cisme kaydırılan sinüs fonksiyonunun grafiğidir. ayrıldı Şekil 5.1.5'teki gibi (90^circ = pi/2 ) radyan ile:

Tanjant fonksiyonunun grafiğini oluşturmak için, aşağıdaki grafiği elde etmek için ( an;x = frac{sin;x}{cos;x} ) kullanın:



Şekil 5.1.6 (y = an x) grafiği

Tanjantın QI ve QIII'deki açılar için pozitif olduğunu ve QII ve QIV'de negatif olduğunu hatırlayın ve aslında Şekil 5.1.6'daki grafik bunu gösteriyor. ( an;x ) öğesinin (cos;x = 0 ), yani (frac{pi}{2})'nin tek katlarında tanımlanmadığını biliyoruz: (x =pm,frac{pi}{2} ), (pm,frac{3pi}{2} ), (pm,frac{5pi}{ 2} ), vb. Ne olduğunu anlayabiliriz yakın bu açıları sinüs ve kosinüs fonksiyonlarına bakarak bulabilirsiniz. Örneğin, QI'de (frac{pi}{2} ), (sin;x ) ve (cos;x ) yakınındaki (x ) için, her ikisi de pozitiftir; (sin;x ) (1 )'e çok yakın ve (cos;x ) (0 'a çok yakın), yani bölüm ( an;x = frac{ sin;x}{cos;x} ) çok büyük bir pozitif sayıdır. Ve (x ) (frac{pi}{2} 'ye ne kadar yakınsa, ( an;x ) o kadar büyür. Böylece (x=frac{pi}{2} ) bir dikey asimptot (y= an;x ) grafiğinin.

Benzer şekilde, QII'deki (x ) için (frac{pi}{2} 'ye çok yakın), (sin;x ) (1 ) ve (cos'a çok yakındır. ;x) negatiftir ve (0 'a çok yakındır), dolayısıyla ( an;x = frac{sin;x}{cos;x} ) bölümü negatif bir sayıdır bu çok büyüktür ve (x ) (frac{pi}{2} ) konumuna yaklaştıkça negatif yönde büyür. Grafik bunu gösteriyor. Benzer şekilde, (x=-frac{pi}{2} ), (x=frac{3pi}{2} ) ve (x=-frac{'da dikey asimptotlar elde ederiz. 3pi}{2} ), Şekil 5.1.6'daki gibi. Tanjant fonksiyonunun grafiğinin her (pi ) radyanı, yani sinüs ve kosinüs yineleme grafiklerinden iki kat daha hızlı tekrar ettiğine dikkat edin.

Kalan trigonometrik fonksiyonların grafikleri, karşılıklı fonksiyonlarının grafiklerine bakılarak belirlenebilir. Örneğin, (csc;x = frac{1}{sin;x} ) kullanarak sadece (y=sin;x ) grafiğine bakabilir ve değerleri tersine çevirebiliriz. (sin;x=0 ), yani (pi): (x=0 ), (pm,pi ), ( pm,2pi ), vb. Şekil 5.1.7 (y=csc;x ) grafiğini (y=sin;x ) (kesik çizgili) ile birlikte gösterir. eğri) referans için.

Benzer şekilde, Şekil 5.1.8, referans için (y=cos;x ) (kesikli eğri) grafiğiyle (y=sec;x ) grafiğini gösterir. (x=pm,frac{pi}{2} ), (pm,frac{3pi}{2} ) konumundaki dikey asimptotları not edin. Ayrıca grafiğin yalnızca (frac{pi}{2} ) radyan tarafından sola kaydırılan kosekant fonksiyonunun grafiği olduğuna dikkat edin.

(y=cot;x ) grafiği, (cot;x = frac{1}{ an;x} ) kullanılarak da belirlenebilir. Alternatif olarak, Bölüm 1.5'teki (cot;x = - an;(x+90^circ) ) ilişkisini kullanabiliriz, böylece kotanjant fonksiyonun grafiği sadece tanjant fonksiyonun grafiği olur (frac{pi}{2}) radyan kadar sola kaydırılır ve ardından Şekil 5.1.9'daki gibi (x) ekseni etrafında yansıtılır:

Örnek (PageIndex{1})

(0 le x le 2pi ) için (y=-sin;x ) grafiğini çizin.

Çözüm:

Bir fonksiyonu (-1 ) ile çarpmak sadece grafiğini (x)-ekseni etrafında yansıtır. Böylece (y=sin;x ) grafiğini (x) ekseni etrafında yansıtmak bize (y=-sin;x) grafiğini verir:

oindent Bu grafiğin (y=sin;(x pm pi) ) ve (y=cos;(x+frac{pi}{2}) grafikleriyle aynı olduğuna dikkat edin. ) ).

Özellikle sinüs, kosinüs ve tanjant için altı trigonometrik fonksiyonun grafiklerinin genel şekillerini hatırlamakta fayda var. Özellikle sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının grafiklerine denir. sinüsoidal eğriler. Doğadaki pek çok olay sinüzoidal davranış sergiler, bu nedenle genel şekli tanımak önemlidir.

Örnek (PageIndex{2})

(0 le x le 2pi ) için (y=1+cos;x ) grafiğini çizin.

Çözüm

Bir fonksiyona bir sabit eklemek, sabitin sırasıyla pozitif veya negatif olmasına bağlı olarak grafiğini bu miktarda yukarı veya aşağı hareket ettirir. Böylece, (1 ) öğesini (cos;x )'ye eklemek, (y=cos;x ) grafiğini (1 kadar yukarı hareket ettirir) ve bize (y=1'in grafiğini verir) +cos;x):


Trigonometrik Fonksiyonların Grafiklenmesi

Temel trig grafiklerini zaten öğrendiniz. Ama tıpkı temel kuadratik yapabileceğiniz gibi, y = x 2 , daha karmaşık, örneğin y = &ndash(x + 5) 2 &ndash 3 , böylece trig grafikleri de daha karmaşık hale getirilebilir. Tıpkı cebirdeki diğer fonksiyonları dönüştürdüğünüz ve çevirdiğiniz gibi, trig fonksiyonlarını da dönüştürebilir ve çevirebiliriz.

Temel sinüs fonksiyonuyla başlayalım, f (t) = günah(t) . Bu fonksiyonun genliği 1'dir, çünkü grafik, grafiğin orta hattından bir birim yukarı ve bir birim aşağı gider. Bu fonksiyonun periyodu 2&pi'dir çünkü sinüs dalgası her 2&pi biriminde tekrar eder.


Haversin() işlevi, bir kürenin yüzeyindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için kullanılabilir (her biri enlem ve boylamlarına göre verilir). Bu örnekte, Almanya'daki Berlin (enlem 52.5, boylam 13.4) ile California'daki San Mateo (enlem 37.5, boylam -122.3) arasındaki küresel mesafe (km olarak), 6371 km'lik bir ortalama dünya yarıçapı kullanılarak hesaplanır.

arasındaki tahmini mesafe 'Berlin' ve 'San Mateo' Iade edildi.

Satırlar: 1
Oluşturulan düğümler: 2
Özellikler seti: 4
Eklenen etiketler: 2


5.1: Trigonometrik Fonksiyonların Grafiklendirilmesi - Matematik

Bölüm # ile Khan Academy Bağlantıları

Bölümlerin içeriğini tekrar görmek için aşağıdaki linklerdeki videoları izleyiniz. Bir bölümün üzerinden geçtiğimizde yoksanız, her bölüme ait videoları izlemek isteyeceksiniz. Bu videoların neredeyse tamamı 10 dakikadan kısa.

5.1 İşlev Ekleme 5.1 Çıkarma Fonksiyonları 5.1 Fonksiyonları Çarpma
5.1 Bölme Fonksiyonları 5.1 Fonksiyonlu İşlemler
Khan Academy değil
Bu bölümün tamamı!
5.2 Giriş. Fonksiyon Kompozisyonuna
5.2 Fonksiyonların Bileşimini Değerlendirmek 5.2 Grafikleri Kullanarak Fonksiyonların Bileşimini Değerlendirmek 5.2 Bileşik Fonksiyonları Bulma
5.2 Fonksiyonların Bileşimi
Khan Academy değil
Bu bölümün tamamı!
5.1 ve 5.2 Fonksiyon İşlemleri
Khan Academy değil
Bu, 5.1 ve 5.2'yi gözden geçirir
5.3 Giriş. Ters Fonksiyonlara
5.3 Terslerin Girdileri ve Çıktıları 5.3 Doğrusal Bir Fonksiyonun Tersini Grafikleme 5.3 Lineer Bir Fonksiyonun Ters Fonksiyonunu Bulma
5.3 İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Tersini Bulma 5.3 İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Tersini Bulma 2 5.3 Radikal Bir Fonksiyonun Tersini Bulma
5.3 Kompozisyon kullanarak 2 Fonksiyonun Ters olup olmadığını doğrulama5.3 Ters İlişkiler ve Fonksiyonlar
Khan Academy değil
5.3 Ters Fonksiyonlar ve İlişkiler
Khan Academy değil
Bu bölümün tamamı!
5.4 Radikal Bir Denklemin Tanım Alanı 5.4 Kare-Kök Fonksiyonunun Grafiğinin Dönüştürülmesi 5.4 Karekök Fonksiyonlarının Grafiklenmesi
Khan Academy değil
Bu bölümün tamamı!
5.4 ve 5.5 Karekök ve Küp Kök Grafiklerini Dönüştürme 5.5 Radikal Fonksiyonların Grafikleri
Video değil
5.4 ve 5.5 Karekök ve Diğer Radikal Fonksiyonların Grafiklenmesi
Khan Academy değil
5.5 Küp Kök Fonksiyonlarının Grafiklenmesi
Khan Academy değil
Bu bölümün tamamı!
5.6 Kareköklü Denklemleri Çözme 5.6 Kareköklü Denklemleri Konu Dışı Çözümlerle Çözme
5.6 Tek Çözümlü Kareköklü Denklem 5.6 2 Çözümlü Kareköklü Denklem 5.6 Çözümü Olmayan Kareköklü Denklem
5.6 Çözümü Olmayan Kareköklü Denklem 5.6 Küp-Kök Denklemini Çözme 5.6 Karekök ve Diğer Radikal Denklemleri Çözme
Khan Academy değil
5.6 Radikal Denklemleri Çözme Bölüm 1
Khan Academy değil
Bu, tüm bölümün 1/2'si!
5.6 Radikal Denklemleri Çözme Bölüm 2
Khan Academy değil
Bu, tüm bölümün 1/2'si!
5.6 Radikal Denklemleri Çözme - Daha Fazla Örnek Bölüm 1
Khan Academy değil
5.6 Radikal Denklemleri Çözme - Daha Fazla Örnek Kısım 2
Khan Academy değil
5.6 Radikal Denklemleri Çözme - Daha Fazla Örnek Bölüm 3
Khan Academy değil
5.6 Radikal Denklemleri Çözme - Daha Fazla Örnek Bölüm 4
Khan Academy değil
5.6 Radikal Denklemleri Çözme - Daha Fazla Örnek Bölüm 5
Khan Academy değil





EKSTRA: Kökler ve Radikaller
Khan Academy değil
EKSTRA: Radikal İfadeleri Çarpma ve Bölme
Khan Academy değil
EKSTRA: Binom Radikal İfadeler
Khan Academy değil
EKSTRA: Giriş. Rasyonel Üslere EKSTRA: Radikalleri Rasyonel Üslerle Yeniden Yazma EKSTRA: Rasyonel Üsler
Khan Academy değil



Çalışma Sayfalarının Kopyaları

Not verilmesi gerekiyorsa, çalışma sayfasının bir kopyasını sınıfta vereceğim. Kopyanızı kaybederseniz veya devamsızlık yaparsanız ve geride kalmak istemiyorsanız buradan ulaşabilir ve bir kopyasını yazdırabilirsiniz. Bu çalışma sayfalarının çoğu atanmayacak veya notlandırılmayacak, ancak ekstra pratik yapmak istiyorsanız burada sizin için seçenekler var.


Güncellenmiş Gizlilik Politikası

Görevimyardım özellikleri:

En iyi kalite garantisi : Tüm uzmanlarımız, talimatlara göre mükemmel atama sağlayan alanlarında uzmandır.

En iyi fiyat garantisi : Kaliteli işi çok rekabetçi bir fiyata teslim ediyoruz, Biliyoruz, öğrencilere ucuza yardımcı oluyoruz.

Daima açık : Destek ekibimiz ve uzmanlarımız size yardımcı olmak için 7 gün 24 saat hizmetinizdedir.

intihal ücretsiz : Tüm çalışmalarımız, intihal içermeyen ödev almanızı sağlamak için Turnitin gibi bir intihal kontrol yazılımı tarafından kontrol edilir. Tüm çalışmalarımız özgün ve benzersizdir.

Garantili son tarih : Myassignmenthelp, herhangi bir sorgunun zamanında çözülebilmesi için işi her zaman son teslim tarihinden önce teslim eder. Hepsini gör




Kosinüs fonksiyonu

Sinüs fonksiyonunu yaptığımız gibi kosinüs fonksiyonunu da gözlemleyebiliriz. Bir değer tablosu oluşturabilir ve grafiği çizmemize yardımcı olması için birkaç nokta kullanabiliriz. Aşağıdaki tablo, birim çemberde bulunabilecek bazı kosinüs fonksiyon değerlerini listeler:

Tablodaki noktaların çizilmesi ve devam edilmesi x -axis kosinüs fonksiyonunun şeklini verir:


Bölüm 3

Hayır, çünkü yatay çizgi testini geçmiyor.

3.2 Etki Alanı ve Aralık

  1. ⓐ –2'ye eşit veya daha küçük değerler veya –1'e eşit veya daha büyük ve 3'ten küçük değerler
  2. ⓑ < x | x ≤ − 2 veya − 1 ≤ x < 3 >
  3. ⓒ ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ − 1 , 3 ) ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ − 1 , 3 )

alan =[1950.2002] aralık = [47.000.000,89.000.000]

3.3 Grafiklerin Değişim Oranları ve Davranışı

3.4 Fonksiyonların Bileşimi

( fg ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( x - 1 ) ( x 2 - 1 ) = x 3 - x 2 - x + 1 ( f - g ) ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = ( x − 1 ) − ( x 2 − 1 ) = x − x 2 ( fg ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( x − 1 ) ( x 2 − 1 ) = x 3 - x 2 - x + 1 ( f - g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = ( x - 1 ) - ( x 2 - 1 ) = x - x 2

Hayır, fonksiyonlar aynı değil.

g ( x ) = 4 + x 2 h ( x ) = 4 3 − x f = h ∘ g g ( x ) = 4 + x 2 h ( x ) = 4 3 − x f = h ∘ g

3.5 Fonksiyonların Dönüşümü

3.6 Mutlak Değer Fonksiyonları

3.7 Ters Fonksiyonlar

f − 1 ( x ) = ( 2 - x ) f'nin 2 alanı : [ 0 , ∞ ) f alanı − 1 : ( − ∞ , 2 ] f − 1 ( x ) = ( 2 - x ) f'nin 2 alanı : [ 0 , ∞ ) f − 1 : ( − ∞ , 2 ]

3.1 Bölüm Alıştırmaları

Bir ilişki, sıralı çiftler kümesidir. Bir fonksiyon, hiçbir iki sıralı çiftin aynı ilk koordinata sahip olmadığı özel bir ilişki türüdür.

Dikey bir çizgi, bir ilişkinin grafiğini birden fazla kez kestiğinde, bu, o girdi için birden fazla çıktı olduğunu gösterir. Herhangi bir belirli girdi değerinde, eğer ilişki bir fonksiyon olacaksa, yalnızca bir çıktı olabilir.

Yatay bir çizgi, bir fonksiyonun grafiğini birden fazla kez kestiğinde, bu, o çıktı için birden fazla girdi olduğunu gösterir. Her çıkış yalnızca bir girişe karşılık geliyorsa, bir işlev bire birdir.

g ( x ) - g ( bir ) x - bir = x + bir + 2 , x ≠ bir g ( x ) - g ( bir ) x - bir = x + bir + 2 , x ≠ bir

bir işlev değil, bu yüzden bire bir işlev de değil

işlev, ancak bire bir değil

f ( - 2 ) = 14 f ( - 1 ) = 11 f ( 0 ) = 8 f ​​( 1 ) = 5 f ( 2 ) = 2 f ( - 2 ) = 14 f ( - 1 ) = 11 f ( 0 ) = 8 f ​​( 1 ) = 5 f ( 2 ) = 2

f ( - 2 ) = 4 f ( - 1 ) = 4.414 f ( 0 ) = 4.732 f ( 1 ) = 5 f ( 2 ) = 5.236 f ( - 2 ) = 4 f ( - 1 ) = 4.414 f ( 0 ) = 4.732 f ( 1 ) = 5 f ( 2 ) = 5.236

f ( - 2 ) = 1 9 f ( - 1 ) = 1 3 f ( 0 ) = 1 f ( 1 ) = 3 f ( 2 ) = 9 f ( - 2 ) = 1 9 f ( - 1 ) = 1 3 f ( 0 ) = 1 f ( 1 ) = 3 f ( 2 ) = 9

  1. ⓐ Bir roketin 1 saniye sonra yerden yüksekliği 200 ft.
  2. ⓑ Bir roketin 2 saniye sonra yerden yüksekliği 350 ft.

3.2 Bölüm Alıştırmaları

Bir fonksiyonun etki alanı, bağımsız değişkenin hangi değerlerinin fonksiyonu tanımsız veya sanal yaptığına bağlıdır.

f ( − 3 ) = 1 f ( − 2 ) = 0 f ( − 1 ) = 0 f ( 0 ) = 0 f ( − 3 ) = 1 f ( − 2 ) = 0 f ( − 1 ) = 0 f ( 0 ) = 0

f ( − 1 ) = − 4 f ( 0 ) = 6 f ( 2 ) = 20 f ( 4 ) = 34 f ( − 1 ) = -4 f ( 0 ) = 6 f ( 2 ) = 20 f ( 4 ) = 34

f ( − 1 ) = − 5 f ( 0 ) = 3 f ( 2 ) = 3 f ( 4 ) = 16 f ( − 1 ) = − 5 f ( 0 ) = 3 f ( 2 ) = 3 f ( 4 ) = 16

Birçok cevap. Bir fonksiyon f ( x ) = 1 x - 2'dir. f ( x ) = 1 x - 2 .

  1. ⓐ Sabit ücret 500 TL'dir.
  2. ⓑ 25 adet ürün yapmanın maliyeti 750$'dır.
  3. ⓒ Etki alanı [0, 100] ve aralık [500, 1500]'dir.

3.3 Bölüm Alıştırmaları

Evet, tüm lineer fonksiyonların ortalama değişim hızı sabittir.

Mutlak maksimum ve minimum, grafiğin tamamıyla ilgiliyken, yerel ekstremum yalnızca açık bir aralığın etrafındaki belirli bir bölgeyle ilgilidir.

günde yaklaşık –0.6 miligram

3.4 Bölüm Alıştırmaları

f ( g ( x ) ) = x 2 + 3 + 2, g ( f ( x ) ) = x + 4 x + 7 f ( g ( x ) ) = x 2 + 3 + 2 , g ( f ( x ) ) = x + 4 x + 7

f ( g ( x ) ) = x + 1 x 3 3 = x + 1 3 x, g ( f ( x ) ) = x 3 + 1 xf ( g ( x ) ) = x + 1 x 3 3 = x + 1 3 x , g ( f ( x ) ) = x 3 + 1 x

( f ∘ g ) ( x ) = 1 2 x + 4 − 4 = x 2 , ( g ∘ f ) ( x ) = 2 x − 4 ( f ∘ g ) ( x ) = 1 2 x + 4 − 4 = x 2 , ( g ∘ f ) ( x ) = 2 x − 4

f ( g ( h ( x ) ) ) = ( 1 x + 3 ) 2 + 1 f ( g ( h ( x ) ) ) = ( 1 x + 3 ) 2 + 1

örnek: f ( x ) = x 3 g ( x ) = x − 5 f ( x ) = x 3 g ( x ) = x − 5

örnek: f ( x ) = 4 x g ( x ) = ( x + 2 ) 2 f ( x ) = 4 x g ( x ) = ( x + 2 ) 2

örnek: f ( x ) = x 3 g ( x ) = 1 2 x − 3 f ( x ) = x 3 g ( x ) = 1 2 x − 3

örnek: f ( x ) = x 4 g ( x ) = 3 x − 2 x + 5 f ( x ) = x 4 g ( x ) = 3 x − 2 x + 5

örnek: f ( x ) = x g ( x ) = 2 x + 6 f ( x ) = x g ( x ) = 2 x + 6

örnek: f ( x ) = x 3 g ( x ) = ( x − 1 ) f ( x ) = x 3 g ( x ) = ( x − 1 )

örnek: f ( x ) = x 3 g ( x ) = 1 x − 2 f ( x ) = x 3 g ( x ) = 1 x − 2

örnek: f ( x ) = x g ( x ) = 2 x − 1 3 x + 4 f ( x ) = x g ( x ) = 2 x − 1 3 x + 4

f ( g ( 0 ) ) = 27 , g ( f ( 0 ) ) = - 94 f ( g ( 0 ) ) = 27 , g ( f ( 0 ) ) = - 94

f ( g ( 0 ) ) = 1 5 , g ( f ( 0 ) ) = 5 f ( g ( 0 ) ) = 1 5 , g ( f ( 0 ) ) = 5

( f ∘ g ) ( 11 ) = 11 , ( g ∘ f ) ( 11 ) = 11 ( f ∘ g ) ( 11 ) = 11 , ( g ∘ f ) ( 11 ) = 11

3.5 Bölüm Alıştırmaları

Girişe bir sabit eklendiğinde veya girişten bir sabit çıkarıldığında yatay bir kayma meydana gelir. Çıktıya bir sabit eklendiğinde veya çıktıdan çıkarıldığında dikey kaymalar oluşur.

1'den büyük bir sabit girişle çarpıldığında yatay sıkıştırma oluşur. 0 ile 1 arasında bir sabit çıktı ile çarpıldığında dikey sıkıştırma ortaya çıkar.

g ( x ) = f ( x - 1 ) , h ( x ) = f ( x ) + 1 g ( x ) = f ( x - 1 ) , h ( x ) = f ( x ) + 1

Fonksiyonun grafiği yatay olarak 3 kat uzatılır ve ardından dikey olarak 3 birim aşağı kaydırılır.

3.6 Bölüm Alıştırmaları

x ile 8 arasındaki mesafe, mutlak değer ifadesi kullanılarak temsil edilebilir: ∣ x − 8 ∣ = 4.

3.7 Bölüm Alıştırmaları

Bir fonksiyonun bire bir olabilmesi için bir fonksiyonun her bir çıktısının tam olarak bir çıktısının olması gerekir. Herhangi bir yatay çizgi, bir fonksiyonun grafiğini bir kereden fazla keserse, bu, y y değerlerinin tekrarlandığı ve fonksiyonun bire bir olmadığı anlamına gelir. Fonksiyonun grafiğini birden fazla yatay çizgi geçmezse, o zaman hiçbir y y -değeri tekrarlanmaz ve fonksiyon bire birdir.

Evet. Örneğin, f ( x ) = 1 x f ( x ) = 1 x, kendi tersidir.

f ( x ) 'in alanı : [ - 7 , ∞ ) f - 1 ( x ) = x - 7 f ( x ) : [ - 7 , ∞ ) f - 1 ( x ) = x - 7

f ( x ) alanı : [ 0 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 5 f ( x ) : [ 0 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 5

f ( g ( x ) ) = x , g ( f ( x ) ) = x f ( g ( x ) ) = x , g ( f ( x ) ) = x

Alıştırmaları İncele

− 64 + 80 a − 16 a 2 − 1 + a = − 16 a + 64 − 64 + 80 a − 16 a 2 − 1 + a = − 16 a + 64

( f ∘ g ) ( x ) = 17 − 18 x ( g ∘ f ) ( x ) = − 7 − 18 x ( f ∘ g ) ( x ) = 17 − 18 x ( g ∘ f ) ( x ) = − 7 − 18 x

( f ∘ g ) ( x ) = 1 x + 2 ( g ∘ f ) ( x ) = 1 x + 2 ( f ∘ g ) ( x ) = 1 x + 2 ( g ∘ f ) ( x ) = 1 x + 2

( f ∘ g ) ( x ) = 1 + x 1 + 4 x , x ≠ 0 , x ≠ − 1 4 ( f ∘ g ) ( x ) = 1 + x 1 + 4 x , x ≠ 0 , x ≠ − 1 4

örnek: g ( x ) = 2 x − 1 3 x + 4 f ( x ) = x g ( x ) = 2 x − 1 3 x + 4 f ( x ) = x

Deneme testi

İlişki bir fonksiyondur.

Grafik bir paraboldür ve grafik yatay çizgi testinde başarısız olur.

f(x) = < | x | if x ≤ 2 3 if x > 2 f ( x ) = < | x | eğer x ≤ 2 3 ise x > 2

Bir Amazon İş Ortağı olarak, uygun satın alımlardan kazanıyoruz.

Bu kitabı alıntılamak, paylaşmak veya değiştirmek mi istiyorsunuz? Bu kitap Creative Commons Atıf Lisansı 4.0'dır ve OpenStax'ı atfetmeniz gerekir.

    Bu kitabın tamamını veya bir kısmını basılı formatta yeniden dağıtıyorsanız, her fiziksel sayfaya aşağıdaki atıfları eklemelisiniz:

  • Bir alıntı oluşturmak için aşağıdaki bilgileri kullanın. Bunun gibi bir alıntı aracı kullanmanızı öneririz.
    • Yazarlar: Jay Abramson
    • Yayıncı/web sitesi: OpenStax
    • Kitabın adı: Cebir ve Trigonometri
    • Yayın tarihi: 13 Şubat 2015
    • Yer: Houston, Teksas
    • Kitap URL'si: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/1-introduction-to-preconditions
    • Bölüm URL'si: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/chapter-3

    © 19 Nisan 2021 OpenStax. OpenStax tarafından üretilen ders kitabı içeriği, Creative Commons Atıf Lisansı 4.0 lisansı altında lisanslanmıştır. OpenStax adı, OpenStax logosu, OpenStax kitap kapakları, OpenStax CNX adı ve OpenStax CNX logosu Creative Commons lisansına tabi değildir ve Rice University'nin önceden ve açık yazılı izni olmadan çoğaltılamaz.


    Sinüzoidal Uygulamalar

    Uh oh – daha fazla kelime problemi! Bunları bir kez kavradığınızda, bunlar çok da kötü değil. Ve şimdi nasıl yapılacağını bildiğine göre dönüştürmek günah ve çünkü fonksiyonlar, gerçekten burada yaptığımız tek şey bu.

    bir sinüsoidal fonksiyonveya sinüsoid için süslü bir isimdir günah (veya çünkü) birlikte çalıştığımız dalgalar. Sinüzoidler oldukça faydalıdır birçok bilimsel alan sinüs dalgaları her yerde!

    Sinüzoidal uygulamalarda, genellikle bir günah grafiği veya bir cos grafiği. Bazen hatırlamaya yardımcı olur günah grafikler grafiğin ortasından başlar ve çünkü grafikler grafiğin en üstünden başlar. Ayrıca, bazen grafikler "ters" olur, bu da şu anlama gelir: günah veya çünkü (negatif bir katsayı kullanarak).

    Bir örnekle başlayalım ve adımları görelim:

    Roller Coaster Problemi:

    Bir roller coaster'ın izinin bir kısmı bir şekle sahiptir. sinüsoidal fonksiyon.

    en yüksek ve en düşük roller coaster üzerindeki noktalar yatay olarak 150 metre ve dikey olarak 100 feet aralıklı. Roller coaster'ın en alçak noktası aslında inşa edildi yerin 10 metre altında.

    Yolun yüksekliği (y=) olsun (zemin olarak (y=0) ile) ve en yüksekte (x=0) olacak şekilde yatay olarak (x=) ayak sayısı olsun. parkurun noktası.

    (a) sinüsoidal denklem roller coaster pistinin bu bölümünün.

    (b) Hız treninin en yüksek noktası ne kadar yüksek? (x=) noktasındaki bardak altlığı ne kadar yüksek 15 ayak? 100 ayak?

    (c) Pist kapalıyken hız treni (yatay olarak) ne kadardır? 75 ayak yerden yüksek mi? 15 ayak yerden yüksek mi?

    1. Fonksiyonun grafiğini çizin yüksek puanlar ve düşük puanlarve bildiklerimize göre bu noktaların koordinatlarını bulun. Parça olduğundan 100 fit uzunluğunda ve en düşük nokta (y=-10'da), en yüksek noktanın ((0,100-10)=(0,90)) olduğunu biliyoruz (çünkü en yüksek nokta (x olduğunda) =0)). En yüksek nokta ile en alçak nokta arasındaki yatay uzaklık 150 , en düşük nokta ((150,-10)'dadır). İşte grafiğini çizebileceklerimiz:
    2. kullanacağız cos grafiği, grafiğin en yüksek noktası (y) ekseni üzerinde olduğundan: (y=acos bleft( x-c ​​sağ)+d).
    3. Genliği veya (a) elde etmek için en düşük (y) noktasını en yüksekten çıkaracağız ve sonra 2 . Yani (a=90-sol( -10 sağ)=100div 2=50). Şimdi elimizde (y=50cos bsol( x-c ​​sağ)+d) var.
    4. Fonksiyonun ortasını veya dikey kaydırmayı ((d)) elde etmek için genliği en düşük (y) değerine ekleriz: (-10+50=40). (Ayrıca sadece ortalamasını alabilirdik 90 ve –10 ). Şimdi elimizde (y=50cos bsol( x-c ​​sağ)+40) var.
    5. Grafiğin periyodunu elde etmek için biliyoruz ki, yatay mesafe en yüksek nokta ile en düşük nokta arasında bir dönemin yarısı. Yani grafiğin periyodu (left( 2 ight)left( <150> ight)=300) fit'tir. Şimdi (b) elde etmek için, elimizde (displaystyle b=frac<2pi >< ext var)>=frac<2pi ><300>=frac<150>). Şimdi elimizde (displaystyle y=50cos frac<150>left( x-c ​​ ight)+40) var.
    6. En yüksek nokta (y)-ekseni ((x=0)) üzerinde olduğundan, yatay faz kayması yoktur. Böylece sinüzoidal fonksiyon (displaystyle y=50cos frac<150>x+40) olur. Kontrol etmek için bir grafik hesap makinesine koyabiliriz.

    (b) En yüksek noktada, hız treni 90 fit yerin üstünde ((displaystyle y=50cos left( frac<150>*0 sağ)+40=90)). (x=15) fitte, hız treni (displaystyle y=50cos left( frac<150>*15 ight)+40) veya 87. 55 fit uzun boylu. (x=100) fitte, hız treni (displaystyle y=50cos left( frac<150>*100 ight)+40) veya 15 fit uzun boylu. (y=50cos frac<<150>>x+40) işlevini grafik hesap makinesine koymak ve 2. İZ (CALC) değeri Bu değerleri elde etme işlevi (bkz. PENCERE aşağıdan kullanabilirsiniz).

    (c) Pist ne zaman 75 fit yerden, (y=75). Bu noktada (x) elde etmenin en kolay yolu, kesişme grafik hesap makinesindeki özellik: (2. İz (Hesap), 5, GİRİŞ, GİRİŞ, GİRİŞ). Böylece, parkur ne zaman 75 ayak yerin üstünde, roller coaster yaklaşık 37.98 fit (x=0) noktasındaki en yüksek noktadan itibaren. Hız treninin grafiğini eşleştirmek için kullandığım pencereye dikkat edin.

    Roller coaster pistinin ne zaman olduğunu görmek için aynı adımları kullanabilirsiniz. 15 fit yerin üstünde, roller coaster 100 adım başlangıç ​​noktasından.

    Sıçrayan Yay Problemi:

    Uzun bir yay üzerindeki ağırlık zamanla sinüzoidal olarak yukarı ve aşağı sıçrar. Bir saatin ikinci eline bakıyorsunuz ve saatin okuduğunda .2 saniye, ağırlık önce yüksek bir noktaya ulaşır, yani 50 santimetre (cm) yerden yüksekte. Bir sonraki düşük nokta 30 cm yerin üstünde ve bu 1.5 saniye.

    (a) Bu durumu temsil eden grafiği çiziniz ve yerden uzaklığı geçen saniye sayısı cinsinden ifade eden sinüzoidal denklemi yazınız.

    (b) Saat okunduğunda yerden yaklaşık uzaklığı ne olur? 18 saniye?

    (c) Saat (t=) konumundayken yerden yaklaşık uzaklığı nedir? 0 saniye?

    (d) Ağırlığın yüklendiği andaki ilk pozitif değer ne olur? 45 cm yer üstünde?

    1. Fonksiyonun grafiğini çizin yüksek puanlar ve düşük puanlarve bildiklerimize göre bu noktaların koordinatlarını bulun. En yüksek nokta olduğu için 50 cm de .2 saniye, en yüksek noktanın ((.2,50)) olduğunu biliyoruz. Düşük noktanın ((1.5,30)) olduğunu da biliyoruz. İşte grafiğini çizebileceklerimiz:kullanacağız cos grafiği yine, grafiğin en yüksek noktası (y)-ekseni üzerinde olduğundan: (y=acos bleft( x-c ​​sağ)+d).
    2. Genliği veya (a) elde etmek için en düşük (y) noktasını en yüksekten çıkaracağız ve ardından 2 . Yani, (50-left( <30> ight)=20div 2=10).
    3. Şimdi elimizde (y=10cos bsol( x-c ​​sağ)+d) var.
    4. Fonksiyonun ortasını veya dikey kaydırmayı ((d)) elde etmek için genliği en düşük (y) değerine ekleriz: (30+10=40). (Ayrıca ortalamasını da alabiliriz. 30 ve 50 ). Şimdi elimizde (y=10cos bsol( x-c ​​sağ)+40) var.
    5. Grafiğin periyodunu elde etmek için biliyoruz ki, yatay mesafe en yüksek nokta ile en düşük nokta arasında bir dönemin yarısı. Yani grafiğin periyodu ((1.5-2)(2)=2.6) santimetre. Şimdi (b) elde etmek için, elimizde (displaystyle b=frac<2pi >< ext var)>=frac<2pi ><2.6>=frac<10pi ><13>). Şimdi elimizde (displaystyle y=10cos frac<10pi ><13>left( x-c ​​ ight)+40) var.
    6. En yüksek nokta (x=.2'de olduğundan) yatay faz kayması .2 sağa. Böylece (c=.2). O zaman sinüsoidal fonksiyon (displaystyle y=10cos frac<10pi ><13>left( x-.2 ight)+40) olur. Kontrol etmek için bir grafik hesap makinesine koyabiliriz.

    (b) Saat okuduğunda 18 saniye, takabiliriz 18 (x) için (y) (yerden uzaklık) almak için: (displaystyle y=10cos frac<10pi ><13>left( 18-.2 ight) +40), yaklaşık 45,68 cm. Bu, fonksiyonun grafiğini çizip (x) penceresini büyütüp büyütmediğinizi görebileceğiniz gibi, birçok sekmeden sonradır.

    (c) Saat (t=0) saniyedeyken yerden yaklaşık uzaklık (displaystyle y=10cos frac<10pi ><13>left( 0-.2 sağ)+40=48.85) santimetre.

    (d) Ağırlık şu durumdayken ilk pozitif değeri bulmak için grafik hesaplayıcıyı kullanalım. 45 cm yer üstünde. vurduktan sonra GRAFİKkullanmak zorunda kalabilirsiniz. İZ kullanmadan önce imleci ilk kesişme noktasına yaklaştırmak için kesişmek. Bu değer yaklaşık .63 saniye:

    Gelgit Sorunu:

    Bir tane daha yapalım, nerede günah işlev:

    Bir tsunami veya gelgit dalgası, bir depremin neden olduğu bir okyanus dalgasıdır. Su önce normal seviyesinden aşağı iner ve sonra normal seviyesinin üzerine eşit bir mesafe yükselir ve bu böyle devam eder. diyelim ki genlik bu özel tsunami için 12 metre, bu dönem hakkında 20 dakika, ve Onun normal derinlik dır-dir 10 metre. Suyun derinliğinin zamanla sinüzoidal olarak değiştiğini varsayarak, bu tsunaminin sinüzoidal fonksiyonunu bulunuz.

    Çözüm: Önce suyun kendi noktasında olduğunu varsayarak bir grafik çizelim. normal derinlik (t=0) olduğunda ve sonra en düşük noktasına iner ve sonra en yüksek noktasına kadar. (Suyun teknik olarak okyanus yüzeyinin altına indiğine dikkat edin, bunun bilimsel sonuçları hakkında endişelenmeyeceğiz.)

    En düşük noktanın olduğunu biliyoruz 5 dakika, ve dönem 20 dakika, en yüksek noktanın periyodun yarısında olduğunu anlayabiliriz ( 10 dakika) bu en düşük noktadan itibaren. Aşağıdaki noktaları çizebilir ve grafiği çizebiliriz:

    Şimdi bu grafik için kullanacağız günah işlevi çünkü fonksiyonun ortası (y)-ekseni ((x=0)) üzerinden geçer. Ama grafiğin nasıl olduğuna dikkat edin ters çevrilmiş, bu yüzden kullanacağız -günah.

    Bize zaten genlik verildi ( 12 metre), dikey kayma (normal derinlik 10 metre) ve nokta ( 20 dakika), yani (displaystyle b=frac<2pi >< ext>=frac<2pi ><20>=frac<10>). Yatay faz kayması yoktur, dolayısıyla sinüzoidal fonksiyon (displaystyle y=-12sin frac<10>x+10).


    Genlik, Periyot ve Frekans

    Saniyede bir tekrar eden bir şeyin periyodu 1 s'dir. Ayrıca # 1/s# frekansına sahiptir. Saniyede bir döngüye Hertz (Hz) özel bir ad verilir. 1 Hz frekansına sahip olduğunu da söyleyebilirsiniz.

    Bir günah işlevi düzenli olarak tekrar eder. Sıklığı (ve periyodu) bu formda yazıldığında belirlenebilir:

    Cevap:

    #color(red)("Dönem" = 1 / " Frekans " veya " T = 1 / f#

    Açıklama:

    Frekans, birim zaman başına yinelenen bir olayın oluşum sayısıdır.

    Ayrıca, uzaysal frekans ve açısal frekansın karşıtlığını vurgulayan zamansal frekans olarak da adlandırılır.

    Periyot, tekrar eden bir olaydaki bir döngünün süresidir, dolayısıyla periyot frekansın tersidir.

    Periyot ve frekans arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

    Bir dalganın frekansı, belirli bir süre boyunca tamamlanan tam döngülerin sayısını tanımlar.

    Bu nedenle frekans, saniye bazında salınımların veya titreşimlerin veya döngülerin veya dalgaların oranını tanımlayan bir oran miktarıdır.

    Yaygın bir frekans birimi, Hz olarak kısaltılan Hertz'dir.

    #color(red)("Sıklık " = 1 / " Nokta"#

    f = c / λ = dalga hızı c (m/s) / dalga boyu λ (m).


    AM3 – Unit 05: Grafik Tetik Fonksiyonları

    10/23 – Sinüs ve Kosinüs Grafikleri
    Notlar: 01 Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Grafiklendirilmesi
    Ödev: Ödev 1 – Sinüs ve Kosinüs Grafiği
    (Garip Cevaplar)
    Kaynaklar: Trig Grafiği Şablonları

    10/26 – Tanjant, Kotanjant, Sekant ve Kosekant Grafikleri
    Notlar: 02 Diğer Trigonometrik Fonksiyonların Grafiklendirilmesi
    Atama: Atama 2 – Grafik Diğer Trig Fonksiyonları
    ( Garip Cevaplar )

    10/27 – Sönümlü Trig Fonksiyonlarının Grafiklenmesi ( GÖREV )( Görev Çözümleri )

    10/28 – İncelenen Sönümlü Tetik Fonksiyonları
    Ödev: Ödev 3 – Sönümlü Sinüs ve Kosinüslerin Grafiklendirilmesi

    10/29 – Test – Grafik Oluşturma Temel Trig Fonksiyonları

    10/30 – Grafik Ark Fonksiyonları (Ters Tetik Fonksiyonları)
    Atama: Atama 7 – Arcfunctions Görev ve Atama

    11/2 – Grafiklerin Denklemlerini Yazma
    Notlar: 04 Trigonometrik Grafiklerin Denklemlerini Animasyonlarla Yazma
    Ödev: Ödev 4 – Grafiklerin Denklemlerini Yazma B&W

    11/3 – Trig Fonksiyonları ile Modelleme (Uygulamalar)
    Notlar: Sinüzoidal Fonksiyonların Modellenmesi
    Ödev: Ödev 5 – Sinüzoidal Modeller

    11/4 – Rönesans Fuarı

    11/6 – Terslerle Daha Fazla
    Görev:

    11/7 – Birim Testi için İnceleme
    Ödev: Ünite 4 Çalışma Kılavuzu – Grafik Tetiği (AM3)
    ( Çalışma Kılavuzu Cevapları )


    Videoyu izle: TRİGONOMETRİ 46. PDF. PERİYOD VE TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARARC. 44 (Ekim 2021).