Nesne

3.1: Çok Değişkenli Fonksiyonlara Giriş - Matematik


Türev Uygulamalarına Giriş bölümünde, kapalı bir aralıkta bir değişkenli bir fonksiyonun maksimum ve minimumunun nasıl belirleneceğini inceledik. Bu örneklerin her birinde, işlevin bir bağımsız değişkeni vardır.

Bununla birlikte, birden fazla değişkene bağlı bir niceliğimiz olduğunu varsayalım. Örneğin, sıcaklık, konuma ve günün saatine bağlı olabilir veya bir şirketin kar modeli, satılan birim sayısına ve reklama harcanan para miktarına bağlı olabilir. Bu bölümde golf topu üreten bir firmayı inceleyeceğiz. Bir kar modeli geliştiriyoruz ve çeşitli kısıtlamalar altında, optimum düzeyde üretim ve harcanan reklam dolarının mümkün olan maksimum karı belirlediğini buluyoruz. Kısıtlamaların niteliğine bağlı olarak hem çözüm yöntemi hem de çözümün kendisi değişir.

Birden fazla bağımsız değişkenli bir fonksiyonla uğraşırken, doğal olarak birkaç soru ortaya çıkar. Örneğin, birden fazla değişkenli fonksiyonların limitlerini nasıl hesaplarız? Daha önce kullandığımız türev tanımı bir limit içeriyordu. Türevin yeni tanımı limitleri de içeriyor mu? Farklılaşma kuralları bu bağlamda geçerli mi? Türevleri kullanarak fonksiyonların göreli uç noktalarını bulabilir miyiz? Tüm bu soruların cevapları bu bölümde.


Matematik İçgörüsü

$f: R o R$ (kafanız karıştı mı?) fonksiyonunun türevlenebilir olup olamayacağını tek değişkenli hesapta öğrendiniz. Aslında, bir fonksiyon bazı yerlerde türevlenebilirken diğerlerinde farklı olabilir.

Bir nöronun girdisinin $i$'ın bir fonksiyonu olarak çıktı oranını $r$ veren $r(i)$ fonksiyonunu düşünün. Bir nöron, diğer nöronlara çıkış darbeleri (veya &ldquospikes&rdquo) göndererek diğer nöronlarla iletişim kurar. Basit olması için, bu artışların yalnızca $r(i)$ oranını takip ediyoruz. Negatif bir oran anlamlı olmadığı için $r(i) ge 0$ olduğunu biliyoruz.

Bu idealleştirilmiş nöron modeli için, nöron çok az girdiye sahip olduğunda, yani $i$ girdisi küçük olduğunda, o zaman $r(i)=0$ oranında tamamen sessizdir. Yalnızca girdi, $I_0$ eşiğini aştığında, nöron çıktı artışları yaymaya başlar. Bu $r(i)$ grafiğinde gösterildiği gibi, $i$ arttıkça çıktı oranı artar. (Eğri, $i$ gibi yüksek değerler için düzleşir, çünkü nöronun çıkış artışlarını ne kadar hızlı yayabileceği konusunda bir sınır vardır. Örneğin, sınır saniyede 200 artış olabilir.)

Fonksiyon, $i = I_0$ noktası dışında her yerde türevlenebilir. Türevlenebilir ile, $r(i)$ grafiğini (dikey olmayan) bir teğet çizgiye sığdırabileceğimizi kastediyoruz. Herhangi bir girdi seviyesi verildiğinde, örneğin $i=a$, $r(i)$'a $a$ civarında, $a e I_0$ kadar yakın olan bir çizgi bulabiliriz.

$r(i)$ işlevi $i = I_0$'da türevlenemez çünkü $i=I_0$'da teğet doğru yoktur. $r$ grafiğinde bir bükülme var, bu nedenle hangi satırı seçersek seçelim, $I_0$'ın solundaki veya sağındaki grafikle eşleşmeyecektir.

$(a,r(a))$ (şekilde siyah nokta olarak gösterilmiştir) noktasından geçen bir doğrunun denklemi egin L(i) = r(a) + m(i-a), end burada $m$ doğrunun eğimidir. &ldquo$r(i)$'ın $i=ardquo'da türevlenebilir olduğu gerçeğini, $r(i)$'ın $a$ civarında $i$ için neredeyse doğrusal olduğu anlamına geldiğini düşünebiliriz. $i$ $a$'a yakın olduğunda $L(i)$ doğrusu $r(i)$ için çok iyi bir yaklaşım olacak şekilde $m$ eğiminin belirli bir değerini bulabiliriz. $m$'ın bu özel değeri için, $L(i)$ satırına, $a$ civarında $r(i)$'a doğrusal yaklaşım denir. Bu çizgi, elbette, $r$'a teğet çizgidir.

$L(i)$'ın teğet çizgi veya doğrusal yaklaşım haline geldiği özel eğim, $m=r'(a)$ türevidir. Bir fonksiyonun türevinin diğer tanımlarını öğrendiniz, ancak onu bu doğrusal yaklaşımın eğimi olarak da tanımlayabilirsiniz. Aslında bu, türevi daha yüksek boyutlarda nasıl tanımlayacağımızdır.

İki boyutta farklılaştırılabilirlik

Tek değişkenli türevlenebilirliğin uzun soluklu incelemesinin amacı, türevi çok değişkenli türevlenebilirlik için kullanacağımız dile dönüştürmekti.

Örneklemek için, nöron örneğimizi değiştirelim. Sonuç olarak, birçok nöronun içinde nikotine yanıt veren "alıcılar" vardır. Bu nöronlar için nikotin varlığı davranışlarını değiştirir. (Söylemeye gerek yok, tıp camiasındaki pek çok kişi nikotin reseptörleriyle ilgileniyor, çünkü nikotin yaygın bir bağımlılık ilacıdır.) Nikotinin etkilerini yeni bir $r : R^2 o R$ işlevi tanımlayarak modelleyebiliriz. bu, hem $i$ girdisinin hem de $s$ nikotin seviyesinin bir fonksiyonu olarak nöral yanıtı verir. ($s$ harfinin seçimi &ldquosmoke'dan gelir.&rdquo)

Nikotinin etkisinin $I_0$ eşiğini daha küçük değerlere kaydırmak ve bir nöronun girdiye tepkisini düzleştirmek olduğunu varsayalım. $i$ ve nikotin $s$ girişine bir nöronun cevabını $r(i,s)$ olarak yazarız. $s=0$ olduğu duruma bakarsak, girilecek nöral çıktı oranının $r(i,0)$ orijinal eğrisine sahibiz. Nikotini belirli bir düzeyde eklersek, diyelim ki $s=2$ (bazı keyfi birimlerde), o zaman eğri, orijinal eğrinin kaydırılmış ve düzleştirilmiş bir versiyonu olan $r(i,2)$ olur. Nikotini $s=4$'a daha da artırmak, daha fazla kaydırılmış ve düzleştirilmiş eğri $r(i,4)$ verir.

Tam bir resim elde etmek için, $r(i,s)$ tam fonksiyonunu çizebiliriz. Burada, daha iyi görüntülemek için döndürebileceğiniz $r(i,s)$'ı gösteren bir uygulama bulunmaktadır.

Uygulama yükleniyor

Girdi ve nikotin seviyelerine yanıt olarak nöron ateşleme hızı. $i$ girdisine ve $s$ nikotin düzeyine yanıt olarak bir nöronun ateşleme hızının $r(i,s)$ hayali bir temsili. Ateşleme hızı $i$ girişiyle artar, ancak $s$ arttıkça daha yavaş artar. Ateşleme hızı, $s$ ile azalan bir eşik girişinin altında sıfırdır. Bu, yüzeyde $r(i,s)$ fonksiyonunu tanımlayan bir kıvrıma yol açar.

Fark edebileceğiniz ilk şeylerden biri, $r(i,s)$ yüzeyinin bir çizgi boyunca katlanma veya katlanma dışında pürüzsüz olmasıdır. Bu kıvrım, belirli bir nikotin seviyesi $s$ için, $i$ girdisini artırdıkça $r(i,s)$'ın aniden sıfır olmadığı noktalardan oluşur. Kat, yukarıdaki orijinal eğride gördüğümüz $I_0$'daki bükülmeye benzer.

Çok değişkenli fonksiyonumuz $r(i,s)$ için bir türevlenebilirlik kavramı tanımlamak istiyoruz. Tek değişkenli durumda olduğu gibi, $r(i,s)$ işlevi bazı noktalarda türevlenebilirken diğerlerinde olmayabilir. Farklılaştırılabilirlik tanımımız, yüzeydeki kıvrımı, yüzeyin pürüzsüz kısımlarından ayırt etmelidir. Tek değişkenli durumla tutarlı olması için, $r(i,s)$ işlevinin katlama boyunca türevlenebilir olmaması gerekir.

Örneğin, aşağıdaki grafik $r(i,s)$'ın $(i,s)=(3,3)$ noktasında (yeşil nokta ile gösterilmiştir) türevlenebilir olduğunu, çünkü bu noktada bir teğet düzlem olduğunu göstermektedir. nokta. Öte yandan, yüzeyin katlandığı bir noktaya (örneğin kırmızı nokta ile gösterilen noktaya) bir düzlem sığdırmaya çalışırsak asla başarılı olamayız. Düzlem, kıvrımın bir tarafında veya diğer tarafında grafiği eşleştirmede başarısız olacaktır. Dolayısıyla $r(i,s)$ işlevi kıvrım boyunca herhangi bir noktada türevlenebilir değildir.

Uygulama yükleniyor

Teğet düzlemli nöron ateşleme hızı işlevi. $i$ girdisine ve $s$ nikotin düzeyine yanıt olarak bir nöronun ateşleme hızının $r(i,s)$ hayali bir temsili. Fonksiyonun grafiği, yeşil noktanın bulunduğu yerde teğet bir düzleme sahiptir, dolayısıyla fonksiyon burada türevlenebilir. Grafiği döndürerek, teğet düzlemin o noktada yüzeye nasıl temas ettiğini görebilirsiniz. Yeşil noktayı, grafiğin kıvrımı boyunca olmadığı sürece (kırmızı noktanın sınırlandığı yerde) yüzeyde herhangi bir yere taşıyabilirsiniz, fonksiyonun türevlenebilir olduğunu gösteren teğet düzlemi görebilirsiniz. Grafiğin kıvrımı boyunca herhangi bir noktada grafiğe teğet düzlem yoktur (kırmızı noktayı bu kıvrım boyunca herhangi bir noktaya taşıyabilirsiniz). $r(i,s)$ işlevi, katlama boyunca herhangi bir noktada türevlenebilir değildir. Bu farklılaştırılamazlığın bir başka kanıtı olarak, yeşil noktayı kıvrım boyunca hareket ettirdiğinizde teğet düzlem farklı bir açıya atlar.

$(a_1,a_2,r(a_1,a_2))$ noktasından geçen bir düzlem için bir denklem (örneğin uygulamadaki yeşil nokta gibi) egin ile verilir. L(i,s) = r(a_1,a_2) + m(i-a_1) + n(s-a_2). son Bu durumda iki eğimimiz var: $i$'ın arttığı yönde $m$ eğimi ve $s$'ın arttığı yönde $n$ eğimi. $r(i,s)$ $(a_1,a_2)$'da türevlenebilirse, bu, $(a_1,a_2)$ yakınında $(i,s)$ için $r$'ın neredeyse doğrusal olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, $m$ ve $n$ eğimlerini bulabiliriz, böylece $f(i,s)$ $(i,s)$ için $(i,s)$ için $(a_1) için gerçekten iyi bir yaklaşım olur ,a_2)$. $m$ ve $n$'ın bu özel değerleri için, $L(i,s)$, $r(i,s)$'a doğrusal yaklaşım olarak adlandırılır, yani, $L(i,s)$ teğet düzlemdir .

$m$ ve $n$'ın bu özel değerleri nelerdir? Bunlar $r(i,s)$ grafiğinin $i$ ve $s$ yönündeki eğimleridir, bunlar $r$'ın $vc=(a_1,a_2)$'daki kısmi türevleridir: egin m = pdif(a_1,a_2) n = pdiff(a_1,a_2). son

Bu şekilde, iki değişkenli türevlenebilirlik, tek değişkenli türevlenebilirliğe benzerdir ve türevlenebilirlik, doğrusal yaklaşımın varlığı anlamına gelir. Doğrusal yaklaşım biraz daha karmaşıktır: tek eğimli teğet doğrunun yerini iki eğimli teğet düzlem alır. Tek değişkenli durumda, tek eğim türevdi. İki değişkenli durumda, iki eğimi birlikte gruplandırırız. kısmi türev matrisi: aşla Dr(a_1,a_2) = sol[pdiff(a_1,a_2) ,, ,, pdiff(a_1,a_2)sağ]. son Eğer teğet düzlem $vc=(a_1,a_2)$'da mevcutsa, $Dr(vc)$ satır matrisini $vc$ noktasında $r$'ın türevi olarak düşünebiliriz.

Sadece yüzeyi çizdik

Farklılaştırılabilirliğe bu kadar kısa bir girişte, birçok önemli ayrıntıyı halının altına gizlemek zorunda kaldık. Fonksiyona "gerçekten iyi" bir yaklaşım gibi ifadeler kullandığımızdan, türevlenebilirlik koşulunu doğrusal bir yaklaşıma sahip olarak tanımlarken dilde biraz gevşek davrandığımızı fark etmişsinizdir.

Bu sayfada sunulan temel türevlenebilirlik fikri konusunda kendinizi rahat hissettiğinizde, türevlenebilirliğin gerçekte ne anlama geldiğini anlamak için bir sonraki adımı atmanızı öneririz. Bir öneri, doğrusal yaklaşımın fonksiyona "gerçekten iyi" olması gerektiğini söylediğimizde ne demek istediğimizi öğrenmek için türevlenebilirliğin gerçek tanımını kontrol etmektir. (Farklılık hakkında ilk kez okuyorsanız, devam etmeden önce dışarı çıkıp biraz temiz hava almak isteyebilirsiniz.)

Yüksek boyutlarda türevlenebilirlik, bir boyuttan daha zordur çünkü iki veya daha fazla boyutta, bir fonksiyon, yukarıdaki örnekte gösterdiğimiz basit katlamadan daha ince yollarla türevlenebilir olmayabilir. Aslında, kısmi türevlerin matrisi, fonksiyon o noktada türevlenebilir olmadan bir noktada var olabilir. Bu doğru, tüm kısmi türevlerin varlığı türevlenebilirliği garanti etmek için yeterli değildir. Farklılaştırılabilirliği gerçekten anlamak için, yüksek boyutlardaki bu farklılaştırılabilirliğin bazı incelikleriyle boğuşmanız gerekir.

Daha yüksek boyutlarda türevi hesaplamanın bazı örneklerini görmek ister misiniz?


Fonksiyonlar Birimi

Yorumlar

Cebir Çalışmalarınızda Daha Fazla Yardıma mı ihtiyacınız var?

Aboneliğinizle ilgili yüzlerce video örneğine ve alıştırma sorunlarına erişin! 

Uygun fiyatlı abonelik seçeneklerimiz hakkında daha fazla bilgi için buraya tıklayın.

Abone olmaya hazır değil misiniz?  ÜCRETSİZ Cebir Öncesi Tazeleme kursumuza kaydolun.

CEBİR SINIFI E-KURS ÜYELERİ

Cebir Sınıfı e-kurslarımız hakkında daha fazla bilgi için buraya tıklayın.


PLASM Dili

PLASM, (Katı Modelleme için Programlama Dili) bir tasarım diliCAD Grubu tarafından Roma Üniversitelerinde geliştirildi La Sapienza ve Roma Tre [PS92, PPV95]. Dil, FL'den güçlü bir şekilde etkilenir. Birkaç sintaktik farkla, bir FL alt kümesinin geometrik bir uzantısı olarak düşünülebilir. PLASM'nin güçlü noktaları arasında şunları sayıyoruz:

Sayılar ve fonksiyonlarla olduğu kadar geometrilerle de hesaplamaya izin veren fonksiyonel yaklaşım ve

geometrik veri yapılarının ve algoritmaların boyuttan bağımsız uygulanması.

İlk özellik, parametrik geometriye çok doğal ve güçlü bir yaklaşımla sonuçlanır. FL dilinin "kombinatoryal motoru" ile birleştirilen ikincisi, geometri ile hesaplama yaparken inanılmaz bir tanımlayıcı güç verir.


RBF Çekirdeği – Neden Bu Kadar Popüler ?

Bu bölümde esnek gösterimi olan ve daha çok pratik kernel metotlarında kullanılan RBF (Radial Basis Function) kernelini görüyoruz.

RBF çekirdeği yalnızca normuna bağlı olan bir çekirdektir.
Özellikle, çekirdeğin aşağıdaki formuna denir. Gauss çekirdeği.

Not : Eğer bir kernel fonksiyonu ise, bunun geçerli bir kernel fonksiyonu olduğu bilinmektedir.
Gauss çekirdeği sonsuz boyutludur.

Bu bölümde, gerçek verilere nasıl uyduğunu göstereceğim ve bu çekirdeğin (Parzen tahmini) neden bu kadar popüler olduğunu anlamanızı sağlayacağım.
Basit olması için, ilk başta önceki doğrusal regresyonu kullanmayı tartışıyoruz.

Şimdi, işleri basitleştirmek için, 2 boyutlu vektörün aşağıdaki ikili sınıflandırmasını varsayalım ve hata olasılığını düşünelim.

Kolayca tahmin edebileceğiniz gibi, hata değerlerini sınıra yakın olduğunda büyük olasılıkla, sınırdan uzak olduğunda daha az olası bir şekilde göreceksiniz. Aşağıda görebileceğiniz gibi, hata olasılığı sınırdan uzaklığa (Öklid normu) bağlı olarak 2 boyutlu normal dağılımı (Gauss dağılımı) izleyecektir.

Not : Basit olması için, burada birbirinden bağımsız iki değişkenin kovaryanslarının sıfıra eşit olduğunu varsayıyoruz. Ayrıca ve her ikisi için de standart sapmayı varsayıyoruz.
(yani Gauss dağılımındaki kovaryans matrisi izotropiktir.)

Aksine, aşağıdaki noktanın hata olasılığını ele alalım.
Aşağıda gördüğünüz gibi bu hem üst kenar sınırından hem de alt kenar sınırından etkilenecek ve her iki olasılığın toplamı olacaktır.

Not : Bu olasılıkları basitçe eklerseniz (üst taraf ve alt taraf için), toplam olasılıklar 1'i aşacaktır. Bu nedenle, açıkça söylemek gerekirse, bu olasılıkların toplamını normalleştirmelisiniz.

Sonunda hata olasılığı, gözlemlenen her noktadaki normal dağılımların kombinasyonu (toplam ve normalizasyon) ile olasılık yoğunluk dağılımı olarak tanımlanacaktır.

Bunu kısa örnekte görmek için, aşağıdaki 1 boyutlu sinüs eğrisini varsayalım ve bu eğri üzerinde tam olarak aşağıdaki 6 gözlemlenen noktamız var.

Daha sonra aşağıdaki adımları uygulayarak bu 6 nokta ile orijinal sinüs eğrisini tahmin edebiliriz.

  1. Gözlenen her 6 nokta için normal dağılımlar (Gauss dağılımları) varsayın.
  2. Her dağıtım için ağırlıklı oranı alın.
    Örneğin, yukarıdaki resimde varsayıyoruz (çoklu Gauss dağılımları). Ardından, üzerindeki her öğe için ağırlıklı değer:
    ,
    ,
    ,
    .
    Aşağıdaki resim her dağılımın ağırlıklı grafiğini göstermektedir.
  3. Gözlenen her değerle çarpın.
    Örneğin, ilk gözlenen noktanın t değeri 5 ise (yukarıdaki sinüs eğrisi resmine bakın), bu ilk değerin (siyah renkli çizgi) üzerindeki etkisi 'ye eşit olacaktır. (Aşağıdaki resme bakın.)
  4. Son olarak, x ekseninin her noktasında 6 eleman için tüm bu değerleri (yani bu etkileri) toplayın.

Lütfen, temel işlevli doğrusal regresyon ile öngörücü işlevin, hedef değerler (t) ve çekirdek işlevleri arasındaki doğrusal kombinasyon olarak yazılabileceğini unutmayın. (Önceki bölüme bakın.)
Sonuç olarak, verilen gözlenen verileri aşağıdaki gibi kullanarak Gauss çekirdeği ile orijinal eğriyi kolayca tahmin edebilirsiniz.
Gauss çekirdeği zengin bir temsile sahiptir ve çeşitli formüllere uyabilir.

Not : Burada 1 boyutlu basit bir sinüs eğrisi kullanarak kısa bir örnek gösterdim, ancak Nadaraya-Watson regresyonunun genel adımları için “Pattern Recognition and Machine Learning” (Christopher M. Bishop, Microsoft) bölümündeki 6.3.1 bölümüne bakın. (çekirdek pürüzsüz).

Gauss cinsinden deneysel olarak belirlenir.
Daha büyük olduğunda, model daha pürüzsüz hale gelecektir. Aksine, daha küçük olduğunda, modele yerel olarak yakındaki gözlenen değerler hakimdir.

Standart sapmanın () değeri büyük

Standart sapmanın () değeri küçüktür

Not : Her noktada aşırı derecede farklı olduğunda, parametrik olmayan yaklaşımda kNN (K en yakın komşu) yöntemi ile tahmin kullanabilirsiniz.
Parametrik yaklaşımın aksine, bu parametrik olmayanlar yalnızca gözlemlenen verilerin yakınına sığacaktır. (Parametrik regresyonlar için “Regresyonun temellerini anlayın” başlıklı ilk gönderime bakın.)

Şimdi (6) ve (7) numaralı denkleme geri dönelim.

Bu denklemlerde formülü bilinmiyor, ancak bunların da Gauss çekirdeği tarafından tahmin edilmesini bekleyebiliriz ve bu varsayımlar altında optimal Lagrange çarpanlarını elde edebiliriz.
Yukarıda gördüğünüz gibi, Gauss çekirdeğinde daha küçük olduğunda, hiperdüzlem de uzaktakilere göre yakındaki gözlemlenen veriler tarafından giderek daha fazla domine edilecektir.

Not : Genel olarak, eğitim seti ve hedef değerler tarafından çekirdeğin doğrusal bir kombinasyonunu oluşturan bir regresyon fonksiyonuna, denir. lineer pürüzsüz.
Burada bu formu sezgisel düşünerek elde ettik, ancak doğrusal bir temel fonksiyon için Bayes çıkarımı (cebirsel hesaplama) ile eşdeğer regresyon sonucunu elde edebilirsiniz.


Bu zyBook'ta Neler Bulacaksınız:

Daha az metinle daha fazla eylem.

  • Dizi işlemlerine güçlü vurgu
  • 700'den fazla katılım ve meydan okuma etkinliği: Sorular, animasyonlar, araçlar
  • Tamamen gömülü MATLAB® ev ödevi sistemi
  • Kendi hızınızda bağımsız öğrenme ve geleneksel bir sınıf için ideal
  • Test bankaları ile

zyBooks, MATLAB®'ı bulutta sunan ve bir ders kitabına entegre olan ilk ortaktır. MATLAB® ve L-şekilli membran logosu® The MathWorks, Inc.'in tescilli ticari markalarıdır.

Eğitmenler: Bu zyBook'u sınıfınız için değerlendirmek mi istiyorsunuz? Ücretsiz Deneme için kaydolun ve bugün herhangi bir zyBook'un ilk bölümüne göz atın!


Giriş 9
Bölüm 1. KARMAŞIK DEĞİŞKEN VE KARMAŞIK BİR DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI 11

1.1. Karmaşık Sayılar ve Karmaşık Sayılarda İşlemler 11
bir. Karmaşık sayı 11 kavramı
b. Karmaşık sayılar 11 üzerinde işlemler
c. Karmaşık sayıların geometrik yorumu 13
d. 15 karmaşık sayısının kökünü çıkarma

1.2. Karmaşık Sayılar Dizisinin Sınırı 17
bir. Yakınsak bir dizinin tanımı 17
b. Cauchy'nin testi 19
c. sonsuzlukta nokta 19

1.3. Karmaşık Değişkenli Fonksiyon Kavramı. Süreklilik 20
bir. Temel tanımlar 20
b. Süreklilik 23
c. Örnekler 26

1.4. Karmaşık Bir Değişkenin İşlevini Farklılaştırma 30
bir. Tanım. Cauchy-Riemann koşulları 30
b. Analitik fonksiyonların özellikleri 33
c. Karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunun türevinin geometrik anlamı 35
d. Örnekler 37

1.5. Karmaşık Bir Değişkene Göre Bir İntegral 38
bir. Temel özellikler 38
b. Cauchy Teoremi 41
c. Belirsiz İntegral 44
1.6. Cauchy İntegrali 47
bir. Cauchy formülünün 47 türetilmesi
b. Cauchy formülü 50'nin doğal sonuçları
c. Bir analitik fonksiyonun maksimum modül ilkesi 51

1.7. Bir Parametreye Bağlı İntegraller 53
bir. Bir parametreye analitik bağımlılık 53
b. Bir analitik fonksiyon ve tüm mertebelerin türevlerinin varlığı 55
Bölüm 2. ANALİTİK FONKSİYON SERİSİ 58

2.1. Bir Karmaşık Değişkenin Düzgün Yakınsak Fonksiyon Serileri 58
bir. Numara serisi 58
b. Fonksiyonel seri. Düzgün yakınsama 59
c. Düzgün yakınsak serilerin özellikleri. Weierstrass teoremleri 62
d. 66 parametresine bağlı uygun olmayan integraller

2.2. Güç serisi. Taylor'ın Serisi 67
bir. Abel teoremi 67
b. Taylor'ın serisi 72
c. Örnekler 74
2.3. Bir Analitik Fonksiyonun Tanımının Benzersizliği 76
bir. Bir analitik fonksiyonun sıfırları 76
b. Teklik teoremi 77

Bölüm 3. ANALİTİK DEVAM. KARMAŞIK BİR DEĞİŞKENİN TEMEL FONKSİYONLARI 80

3.1. Karmaşık Bir Değişkenin Temel Fonksiyonları. devam
Gerçek Eksen 80'den
bir. Gerçek eksenden devam 80
b. ilişkilerin devamı 84
c. Temel fonksiyonların özellikleri 87
d. Temel fonksiyonların eşlenmesi 91
3.2. Analitik Devam. Riemann Yüzey 95
bir. Temel prensipler. Riemann yüzeyi konsepti 95
b. Bir sınır boyunca analitik devamlılık 98
c. Analitik devamlılık oluşturma örnekleri. Bir sınır boyunca devam etme 100
d. Analitik devamlılık oluşturma örnekleri. Güç serisi 105 ile devam
e. Bir analitik fonksiyonun düzgün ve tekil noktaları 108
f. Eksiksiz bir analitik fonksiyon kavramı 111
Bölüm 4. LAURENT SERİSİ VE İZOLE TEKLİ NOKTALAR 113

4.1. Laurent Serisi 113
bir. Laurent serisinin yakınsama alanı 113
b. Laurent serisi 115'te bir analitik fonksiyonun genişletilmesi

4.2. Tek Değerli Analitik Fonksiyonun İzole Tekil Noktalarının Sınıflandırılması 118
Bölüm 5. KALINTILAR VE UYGULAMALARI 125

5.1. Yalıtılmış Tekillikte Bir Analitik Fonksiyonun Kalıntısı 125
bir. Bir kalıntının tanımı. Kalıntıları değerlendirmek için formüller 125
b. kalıntı teoremi 127

5.2. Belirli İntegrallerin !leans of Residues 130 ile Değerlendirilmesi
bir. $int^<2 pi>_<0>R (cos heta sin heta ) d heta$ 131 formunun integralleri
b. $int^_ f(x)dx$ 132 formunun integralleri
c. $int^_ exp(iax)f(x)dx$ formunun integralleri. Jordan'ın lemması 135
d. Çok değerli işlevler durumu 141

5.3. Logaritmik Kalıntı 147
bir. Logaritmik kalıntı kavramı 147
b. Bir analitik fonksiyonun sıfır sayısını sayma 149

Bölüm 6. KONFORMAL HARİTALAMA 153

6.1. Genel Özellikler 153
bir. Uyumlu eşlemenin tanımı 153
b. Temel örnekler 157
c. Temel ilkeler 160
d. Riemann teoremi 166

6.2. Lineer-Kesirli Fonksiyon 169

6.3. Zhukovski'nin İşlevi 179

6.4. Schwartz-Christoffel İntegrali. Çokgenlerin Dönüşümü 181

Bölüm 7. SINIR-DEĞER SORUNLARININ ÇÖZÜMÜNDE ANALİTİK FONKSİYONLAR 191

7. 1. Genellikler 191
bir. Analitik ve harmonik fonksiyonların ilişkisi 191
b. Uygun bir eşlemede Laplace operatörünün korunması 192
c. Dirichlet'in sorunu 194
d. Kaynak işlevi oluşturma 197

7.2. Mekanik ve Fizikteki Problemlere Uygulamalar 199
bir. Bir akışkanın iki boyutlu kararlı hal akışı 199
b. İki boyutlu bir elektrostatik alan 211

Bölüm 8. İŞLEMSEL HESAPLARIN TEMELLERİ 221

8.1. Laplace Dönüşümünün Temel Özellikleri 221
bir. Tanım 221
b. Temel fonksiyonların dönüşümleri 225
c. Bir dönüşümün özellikleri 227
d. Dönüşümlerin özellikleri tablosu 236
e. Dönüşümler tablosu 236
8.2. Dönüşümden Orijinal Fonksiyonu Belirleme 238
bir. Mellin'in formülü 238
h. Orijinal işlevin varlık koşulları 241
c. Mellin integralini hesaplama 245
d. Sonsuzda düzgün bir fonksiyonun durumu 249
8.3. İşlemsel Yöntemle Lineer Diferansiyel Denklemler İçin Problem Çözme 252
bir. Adi diferansiyel denklemler 252
b. Isı iletim denklemi 257
c. Kısmi diferansiyel denklem 259 için sınır değer problemi
Ek I. EYER NOKTASI YÖNTEMİ 261
I.1. Giriş Açıklamaları 261

I.2. Laplace Yöntemi 264
I.3. Eyer Noktası Yöntemi 271
Ek II. WIENER-HOPF YÖNTEMİ 280

II.1. Giriş Açıklamaları 280
11.2. Fourier Dönüşümünün Analitik Özellikleri 284
11.3. Fark Çekirdeği ile İntegral Denklemler 287
II.4. Wiener-Hopf Yönteminin Genel Şeması 292
II.5. Farkıyla İntegral Denklemlere Azalan Problemler
çekirdek 297
bir. Milne denkleminin 297 türetilmesi
b. Milne denkleminin 301 çözümünün araştırılması
c. Düz ekranda kırınım 305
II.6. Kısmi Diferansiyel Denklemler için Sınır Değer Problemlerini Wiener-Hopf Metodu ile Çözme 306

Ek III. BİRÇOK KARMAŞIK DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI 310

III.1. Temel Tanımlar 310
III.2. Birçok Karmaşık Değişkenin Analitik Fonksiyonu Kavramı 311
III.3. Cauchy'nin Formülü 312
III.4. Güç Serisi 314
III.5. Taylor'ın Serisi 316
III.6. Analitik Devam 317

Ek IV. WATSON'UN YÖNTEMİ 320
Referanslar 328
İsim Dizini 329
Konu Dizini 330


3.1: Çok Değişkenli Fonksiyonlara Giriş - Matematik

Bir matris, satır ve sütun sırasına göre düzenlenmiş bir sayı koleksiyonunu temsil eder. Bir matrisin öğelerini parantez veya parantez içine almak gerekir.
9 elemanlı bir matris aşağıda gösterilmiştir.


Bu Matrix [M] 3 satıra ve 3 sütuna sahiptir. [M] matrisinin her bir elemanı, satır ve sütun numarası ile ifade edilebilir. Örneğin, bir23=6

Bir Matrisin Sırası:
Bir matrisin sırası, satır ve sütun sayısına göre tanımlanır.
Bir matrisin sırası = Satır sayısı ×No. sütunların
Bu nedenle Matris [M], 3 × 3 mertebesinde bir matristir.

Bir Matrisin Transpoze Edilmesi:
Bir m x n matrisinin [M] devrik [M] T'si, [M]'nin satır ve sütunlarının yer değiştirmesiyle elde edilen n x m matrisidir.
eğer A= [aij] mxn , ardından AT = [bij] nxm nerede bij = birji

Bir matrisin devrik özellikleri:

Tekil ve Tekil Olmayan Matris:

  1. Tekil Matris: Bir kare matrisin determinantı sıfır ise, yani |A|=0 ise tekil matris olduğu söylenir.
  2. Tekil Olmayan Matris: Bir kare matrisin determinantı sıfır değilse tekil olmayan matris olduğu söylenir.

Matris toplama ve çarpmanın özellikleri:

  1. A+B = B+A (Değişmeli)
  2. (A+B)+C = A+ (B+C) (İlişkili)
  3. AB? BA (Değişmeli değil)
  4. (AB) C = A (BC) (İlişkili)
  5. A (B+C) = AB+AC (Dağıtıcı)

Kare matris: Bir kare matrisin sütun sayısı kadar satırı vardır. yani satır yok = sütun yok.
Simetrik matris: Orijinal matrisin devri, orijinal matrisine eşitse, bir kare matrisin simetrik olduğu söylenir. yani (AT ) = A.
Skew-simetrik: Bir çarpık simetrik (veya antisimetrik veya antimetrik[1]) matris, devrik değeri negatifine eşit olan bir kare matristir. (AT ) = -A.

Diyagonal matris:Köşegen matris, ana köşegenin dışındaki girişlerin hepsinin sıfır olduğu bir matristir. Terim genellikle kare matrislere atıfta bulunur.
Kimlik Matrisi:Asal köşegenin tüm öğelerinin bir ve diğer tüm öğelerinin sıfır olduğu bir kare matris. Özdeşlik matrisi I olarak gösterilir.
Ortogonal Matris: AA T = A T A = I ise bir matrisin ortogonal olduğu söylenir.
Idempotent Matrisi: A 2 = A ise bir matrisin idempotent olduğu söylenir.
İstemsiz Matris: A 2 = I ise bir matrisin istemsiz olduğu söylenir.

Not: Her Kare Matris, simetrik matris ve çarpık simetrik matrisin toplamı olarak benzersiz bir şekilde ifade edilebilir. A = 1/2 (AT + A) + 1/2 (A – AT).

Bir kare matrisin eki: A matrisinin eki, A matrisinin kofaktör matrisinin devrik halidir.



Eşleşmenin Özellikleri:

  1. A(Adj A) = (Adj A) A = |A| benn
  2. Adj(AB) = (Adj B).(Adj A)
  3. |Adj A|= |A| n-1
  4. Adj(kA) = k n-1 Adj(A)
  5. |adj(sıf(A))|= |A|^(n-1)^2
  6. adj(adj(A))=|A|^(n-2) * A
  7. A = [L,M,N] ise adj(A) = [MN, LN, LM]
  8. adj(I) = ben

Burada, “n = satır sayısı = sütun sayısı”

Bir kare matrisin tersi:


Burada |A| sıfıra eşit olmamalıdır, yani A matrisi tekil olmamalıdır.

Ters özellikleri:

1. (A -1 ) -1 = A
2. (AB) -1 = B -1 A -1
3. sadece tekil olmayan bir kare matrisin tersi olabilir.

Ters matrisi nerede kullanmalıyız?

Bir dizi eşzamanlı denkleminiz varsa:

7x + 2y + z = 21
3y – z = 5
-3x + 4y – 2x = -1

AX = B, sonra X = A -1 B olduğunda bildiğimiz gibi, A'nın tersini hesaplıyoruz ve onu B ile çarparak x, y ve z değerlerini elde edebiliyoruz.

Bir matrisin izi: Bir matrisin izi, yalnızca kare matris için kullanılan ve matrisin köşegen elemanlarının toplamına eşit olan tr(A) olarak gösterilir. Bir matrisin izinin de matrisin öz değerinin toplamına eşit olduğunu unutmayın. Örneğin:


Bu makale katkıda bulunan Nitika Bansal. GeeksforGeeks'i seviyorsanız ve katkıda bulunmak istiyorsanız, write.geeksforgeeks.org'u kullanarak bir makale yazabilir veya makalenizi [email protected] adresine postalayabilirsiniz. GeeksforGeeks ana sayfasında görünen makalenize bakın ve diğer Geeklere yardım edin.

Yanlış bir şey bulursanız veya yukarıda tartışılan konu hakkında daha fazla bilgi paylaşmak istiyorsanız lütfen yorum yazın.

Dikkat okuyucu! Don's şimdi öğrenmeyi bırak. Hepsini öğren Ücretsiz Canlı Derslerle GATE CS konseptleri youtube kanalımızda.


3.1: Çok Değişkenli Fonksiyonlara Giriş - Matematik

Matematik, fonksiyonların incelenmesidir.

Üç değişkenli fonksiyonlar birçok yönden iki değişkenli fonksiyonlara benzer. Bununla birlikte, birincil bir fark, ikiden fazla değişkenli fonksiyonların grafiklerinin, boyutları üçten büyük olduğu için doğrudan görselleştirilememeleridir. Ancak yine de bu yüksek boyutlu fonksiyonları incelemek için dilim eğrilerini, dilim yüzeylerini, konturları ve seviye kümelerini kullanabiliriz.

En basit fonksiyonlar sabit fonksiyonlar ve lineer fonksiyonlardır.


Bir hiperdüzlemi f(x,y,z) = px + qy + rz + k doğrusal fonksiyonunun grafiği olarak tanımladığımızda, orijine özel bir rol vermiş oluyoruz. Genellikle belirli bir noktadan geçen uçakları düşünmek daha uygundur (x0,y0,z0,w0) uzayda ve x-eğim p, y-eğim q ve z-eğim r olan böyle bir düzlemi w-w koşuluyla tanımlayabiliriz.0 = p(x-x0) + q(y-y0) + r(z-z0). p, q ve r eğimlerinin farklı değerlerini seçerek, tüm dikey olmayan hiperdüzlemleri (x) ile elde ederiz.0,y0,z0,w0).

Hepsinin en basit işlevi, sıfır fonksiyon, tarafından tanımlanan f(x,y,z) = 0 hepsi için x, y, z. Bu işlev herhangi bir etki alanı için tanımlanabilir ve aralık her zaman tek nokta olacaktır. .

Bir sonraki en basit fonksiyon sınıfı, sabit fonksiyonlar tarafından tanımlanan f(x,y,z) = k hepsi için x, y, z. Herhangi bir etki alanı için sabit bir işlev tanımlanabilir ve aralık her zaman tek nokta olacaktır. .

Doğrusal işlevler, aşağıdaki tarafından tanımlanan en basit işlev sınıfıdır: L(x,y,z) = px + qy + rz + k sabitler için p, q, r, ve k. Sayılar p, q ve r denir x-eğim, y-eğim, ve z-eğim lineer fonksiyonun ve k onun denir w-tutmak. Doğrusal fonksiyonun doğal alanı L hepsi üçlü (x,y,z) gerçek sayılardan. Eğer p ≠ 0 veya q ≠ 0 veya r ≠ 0, daha sonra aralığı L hepsi gerçek sayılardır.

Üç Değişkenli Hesap, üç gerçek değişkenin fonksiyonlarını dikkate alır.

alan adı üç değişkenli bir fonksiyonun bir koordinat 3 uzayının bir alt kümesidir < (x,y,z) | x, y, z ∈ >.

Aralık gerçek değerli bir fonksiyonun f tüm gerçek sayıların toplamıdır f(x,y,z) nerede (x,y,z) etki alanında f.

Bir fonksiyonun en basit örneği, sabit fonksiyon gerçek sayıyı atayan k herkese (x,y,z) etki alanında. Bu fonksiyonun aralığı settir. içeren bir nokta. Bir sonraki en basit örnek, bir doğrusal formül tarafından tanımlanan fonksiyon f(x,y,z) = px + qy + rz + k nerede p, q, ve r bunlar kısmi eğimler lineer fonksiyonun ve k onun anlamına gelir w-tutmak.. Bu fonksiyonun aralığı, eğer varsa, tüm gerçek sayılardır. p, q, ve r hepsi sıfır değil ve sadece değer Eğer p = 0, q = 0, ve r = 0.

Daha önce belirtildiği gibi, 3 değişkenli bir fonksiyonun grafiği, 4 uzayda uzanan 3 boyutlu bir hiperdüzlemdir. Bu nedenle grafik doğrudan görselleştirilemez, alanın kendisi zaten üç boyutludur.


Her nokta için (x0,y0,z0) bir f fonksiyonunun alanında, f grafiğinin x = x düşey düzlemiyle kesişimi0, y = y0 olacak (x0,y0)-dilim eğrisi (x0,y0,z,f(x0,y0,z)). x'in etki alanı0-dilim eğrisi, (x) için z kümesidir.0,y0,z) f'nin etki alanındadır.

Benzer şekilde (y'yi tanımlarız)0,z0)-dilim eğrisi (x,y olacak)0,z0,f(x,y0,z0)) tüm x için öyle ki (x,y0,z0) f'nin etki alanındadır ve (x'i tanımlarız)0,z0)-dilim eğrisi (x) olacak0,y,z0,f(x0,y,z0)) tüm y için öyle ki (x,y0,z0) f'nin etki alanındadır.


Her nokta için (x0,y0,z0) bir f fonksiyonunun alanında, f grafiğinin dikey hiperdüzlem z = z ile kesişimi0, z olacak0-slice surface (x,y,z0,f(x,y,z0)). The domain of the z0-slice surface is the set of (x, y) for which (x,y,z0) is in the domain of f.

Similarly we define the y0-slice surface to be (x,y0,z,f(x,y0,z)) for all (x, z) such that (x,y0,z) is in the domain of f, and we define the x0-slice surface to be (x0,y,z,f(x0,y,z)) for all (y, z) such that (x0,y,z) is in the domain of f.



The collection of all points (x,y,z) in the domain of a function f for which f (x,y,z) = k is called the level set of f at level k.

The set of points (x,y,z,f(x,y,z)) in the graph of f in four-dimensional space for which f(x,y,z) = k is called the contour of f at height k.

A curve (x(t),y(t),z(t)) in the domain of f such that f(x(t),y(t),z(t)) = k is called a level curve of f at level k. A surface (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) such that f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) = k is called a level surface of f at level k.


We can also construct a color graph of the function f by assigning to each point (x,y,z) in the domain a color that corresponds to the value f(x,y,z).


One of the most important properties of functions of two real variables is continuity . The basic intuition for continuity is that the range of a function f(x,y,z) will lie in an arbitrarily small interval centered at f(x0,y0,z0) if (x,y,z) is restricted to lie in a sufficiently small ball centered at (x0,y0,z0). Geometrically, this means that the graph of f(x,y,z) will lie between a pair of parallel hyperplanes z = f(x0,y0,z0) + ε and z = f(x0,y0,z0) – ε if (x,y,z) is required to lie in the ball of radius δ centered at f(x0,y0,z0) i.e. √((x – x0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 ) < δ.

According to the epsilon-delta definition, a function f of three real variables is said to be continuous at (x0,y0,z0) if for any ε > 0 there exists a δ such that | f(x,y,z) - f(x0,y0,z0) | < ε whenever | (x,y,z) - (x0,y0,z0) | < δ.

A function f of three real variables is said to be continuous if it is continuous at all points (x0,y0,z0) in its domain.


3.1: Introduction to Functions of Multiple Variables - Mathematics

Propositional logic and first-order logic, with an emphasis on the relationship between the semantic and syntactic approaches these ideas are summarized in Godel's Completeness Theorems. Hilbert's Program and the work of Godel [Incompleteness Theorems], Church, Turing, and Tarski on undecidability and indefinability.

We will cover in considerable detail 1.1-1.6, 2.1-2.2 and 3.1-3.4 from Hodel's book. We will cover in considerable detail nearly all of Chapters 2 and 3 from Mendelson's book. All of this material will be supplemented with my own notes

We will introduce some concepts from computer science to clarify some of the material in the beginning as well as to allow some calculations to be done by the computer.

Grading

There will be weekly assignments which will be graded this will count for 50% of your grade. There will be two in class tests on the terminology these will each count 10% of your grade. There will be a final assignment which will count the remaining 20% of your grade.

Here are the definitions from which the first test will be taken: PDF

This supplants what was in the course synopsis (although it really isn't that different, is it?) I may change this slightly later on.

It may be possible to do some sort of project on a topic related to logic which interests you. We'll see.

Students with excused absences will be given a make-up exam. No quizzes or homework will be made up for credit, but it's important to make it up for your own benefit. Late homework will not be accepted.


Videoyu izle: Yönelim ve Stokes Teoremi Matematik Çok Değişkenli Kalkülüs #kalkülüs (Ekim 2021).