Nesne

7.2: Değişmeli ve İlişkili Özellikler (Bölüm 1)


Geliştirilecek Beceriler

  • Değişmeli ve birleştirici özellikleri kullanın
  • Değişmeli ve ilişkisel özellikleri kullanarak ifadeleri değerlendirin
  • Değişmeli ve ilişkisel özellikleri kullanarak ifadeleri basitleştirin

hazır ol!

Başlamadan önce, bu hazırlık testini yapın.

  1. Basitleştirin: 7y + 2 + y + 13. Bu sorunu gözden kaçırdıysanız, Örnek 2.3.10'u inceleyin.
  2. Çarpma: (dfrac{2}{3} cdot 18). Bu sorunu kaçırdıysanız, Örnek 4.3.10'u inceleyin.
  3. 15'in tersini bulun. Bu sorunu kaçırdıysanız, Örnek 3.1.3'ü inceleyin.

Sonraki birkaç bölümde, gerçek sayıların özelliklerine bir göz atacağız. Bu özelliklerin birçoğu zaten bildiğiniz şeyleri tanımlayacaktır, ancak bu özelliklere isim vermenize ve onları resmi olarak tanımlamanıza yardımcı olacaktır. Bu şekilde onlara başvurabileceğiz ve bir sonraki bölümde denklemleri çözerken bunları kullanabileceğiz.

Değişmeli ve İlişkili Özellikleri Kullanın

5 ve 3 gibi iki sayı eklemeyi düşünün.

[egin{split} 5 &+ 3 qquad 3 + 5 &; 8 qquad qquad 8 end{split}]

Sonuçlar aynı. 5 + 3 = 3 + 5

Dikkat edin, eklediğimiz sıra önemli değil. Aynı şey 5 ve 3'ü çarparken de geçerlidir.

[egin{split} 5 &cdot 3 qquad ; 3 cdot 5 & 15 qquad quad 15 end{split}]

Yine, sonuçlar aynı! 5 • 3 = 3 • 5. Çarpma sırası önemli değil. Bu örnekler, toplama ve çarpmanın değişmeli özelliklerini göstermektedir.

Tanım: Değişmeli Özellikler

Toplamanın Değişmeli Özelliği: a ve b reel sayılar ise a + b = b + a

Çarpmanın Değişmeli Özelliği: a ve b reel sayılarsa, o zaman a • b = b • a

Değişmeli özellikler sıra ile ilgilidir. Toplama veya çarpma sırasında sayıların sırasını değiştirirseniz sonuç aynıdır.

Örnek (PageIndex{1}):

Aşağıdaki ifadeleri yeniden yazmak için değişmeli özellikleri kullanın: (a) −1 + 3 = _____ (b) 4 • 9 = _____

Çözüm

(a) -1 + 3 = _____

Sırayı değiştirmek için toplamanın değişmeli özelliğini kullanın.−1 + 3 = 3 + (−1)

(b) 4 • 9 = _____

Sırayı değiştirmek için çarpmanın değişmeli özelliğini kullanın.4 • 9 = 9 • 4

Alıştırma (PageIndex{1}):

Aşağıdaki ifadeleri yeniden yazmak için değişmeli özellikleri kullanın: (a) -4 + 7 = _____ (b) 6 • 12 = _____

cevap ver

(-4+7=7+(-4))

Cevap b

(6 cdot 12=12 cdot 6)

Alıştırma (PageIndex{2}):

Aşağıdaki ifadeleri yeniden yazmak için değişmeli özellikleri kullanın: (a) 14 + (-2) = _____ (b) 3(-5) = _____

cevap ver

(14+(-2)=-2+14)

Cevap b

(3(-5)=(-5) 3)

Peki ya çıkarma? Sayıları çıkardığımızda sıra önemli mi? 7 − 3, 3 − 7 ile aynı sonucu mu veriyor?

[egin{split} 7 &- 3 qquad 3 - 7 &; 4 qquad quad -4 & quad 4 eq -4 end{split}]

Sonuçlar aynı değil. 7 − 3 ≠ 3 − 7

Çıkarma işleminin sırasını değiştirmek aynı sonucu vermediğine göre, çıkarmanın değişmeli olmadığını söyleyebiliriz. İki sayıyı böldüğümüzde ne olacağını görelim. Bölme değişmeli midir?

[egin{split} 12 &div 4 qquad 4 div 12 & dfrac{12}{4} qquad quad dfrac{4}{12} &; 3 qquad qquad dfrac{1}{3} &quad ; 3 eq dfrac{1}{3} end{split}]

Sonuçlar aynı değil. Yani 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12

Bölme sırasını değiştirmek aynı sonucu vermediğinden bölme değişmeli değildir.

Toplama ve çarpma değişmeli. Çıkarma ve bölme değişmeli değildir.

Bu ifadeyi basitleştirmeniz istendiğini varsayalım.

[7 + 8 + 2]

Nasıl yapardınız ve cevabınız ne olurdu?

Bazı insanlar 7 + 8'in 15 olduğunu ve sonra 15 + 2'nin 17 olduğunu düşünür. Diğerleri 8 + 2 ile başlayıp 10 eder ve sonra 7 + 10 17 eder.

Her iki yol da Şekil (PageIndex{1})'de gösterildiği gibi aynı sonucu verir. (Parantezlerin, önce hangi işlemlerin yapılması gerektiğini belirten sembolleri gruplandırdığını unutmayın.)

Şekil (PageIndex{1})

Üç sayı eklerken, sayıların gruplandırılması sonucu değiştirmez. Bu, Toplamanın İlişkisel Özelliği olarak bilinir.

Aynı ilke çarpma için de geçerlidir. Aşağıdaki ifadenin değerini bulmak istediğimizi varsayalım:

[5 cdot dfrac{1}{3} cdot 3]

Sayıların gruplandırılmasını değiştirmek, Şekil (PageIndex{2}'de gösterilenle aynı sonucu verir).

Şekil (PageIndex{2})

Üç sayı çarpılırken sayıların gruplandırılması sonucu değiştirmez. Bu, Çarpmanın Birleştirici Özelliği olarak bilinir.

Üç sayıyı çarparsak, gruplamayı değiştirmek ürünü etkilemez. Muhtemelen bunu biliyorsunuzdur, ancak terminoloji sizin için yeni olabilir. Bu örnekler şunu göstermektedir: İlişkili Özellikler.

Tanım: İlişkili Özellikler

Toplamanın İlişkisel Özelliği: a, b ve c reel sayılar ise (a + b) + c = a + (b + c)

Çarpmanın İlişkisel Özelliği: a, b ve c reel sayılar ise, o zaman (a • b) • c = a • (b • c)

Örnek (PageIndex{2}):

Aşağıdakileri yeniden yazmak için ilişkisel özellikleri kullanın: (a) (3 + 0.6) + 0.4 = __________ (b) (left(−4 cdot dfrac{2}{5} ight) cdot 15) = __________

Çözüm

(a) (3 + 0,6) + 0,4 = __________

Gruplamayı değiştirin.(3 + 0.6) + 0.4 = 3 + (0.6 + 0.4)

0,6 + 0,4'ün 1 olduğuna dikkat edin, bu nedenle sağda gösterildiği gibi gruplandırırsak toplama daha kolay olacaktır.

(b) (sol(−4 cdot dfrac{2}{5}sağ) cdot 15) = __________

Gruplamayı değiştirin.(3 + 0.6) + 0.4 = 3 + (0.6 + 0.4)

(dfrac{2}{5} cdot 15)'in 6 olduğuna dikkat edin. Sağda gösterildiği gibi gruplandırırsak çarpma işlemi daha kolay olacaktır.

Alıştırma (PageIndex{3}):

Aşağıdakileri yeniden yazmak için ilişkisel özellikleri kullanın: (a) (1 + 0.7) + 0.3 = __________ (b) (−9 • 8) • (dfrac{3}{4}) = __________

cevap ver

((1+0.7)+0.3=1+(0.7+0.3))

Cevap b

((-9 cdot 8) cdot frac{3}{4}=-9sol(8 cdot frac{3}{4}sağ))

Alıştırma (PageIndex{4}):

Aşağıdakileri yeniden yazmak için ilişkisel özellikleri kullanın: (a) (4 + 0,6) + 0,4 = __________ (b) (−2 • 12) • (dfrac{5}{6}) = __________

cevap ver

((4+0.6)+0.4=4+(0.6+0.4))

Cevap b

((-2 cdot 12) cdot frac{5}{6}=-2sol(12 cdot frac{5}{6}sağ))

İlişkisel özellikleri hesaplamaları kolaylaştırmak için kullanmanın yanı sıra, bunu genellikle değişkenlerle ifadeleri basitleştirmek için kullanacağız.

Örnek (PageIndex{3}):

Basitleştirmek için Çarpmanın İlişkisel Özelliğini kullanın: 6(3x).

Çözüm

Gruplamayı değiştirin.(6 • 3)x
Parantez içinde çarpın.18x

6 • 3'ü çarpabileceğimize, ancak x için bir değer olmadan 3 • x'i çarpamayacağımıza dikkat edin.

Alıştırma (PageIndex{5}):

Verilen ifadeyi sadeleştirmek için Çarpmanın İlişkisel Özelliğini kullanın: 8(4x).

Cevap

(32x)

Alıştırma (PageIndex{6}):

Verilen ifadeyi basitleştirmek için Çarpmanın İlişkisel Özelliğini kullanın: -9(7y).

Cevap

(-63y)

Değişmeli ve İlişkili Özellikleri Kullanarak İfadeleri Değerlendirin

Değişmeli ve birleştirici özellikler, bazı cebirsel ifadeleri değerlendirmeyi kolaylaştırabilir. Üç veya daha fazla terim eklerken veya çarparken sıra önemli olmadığından, sonraki birkaç örnekte gösterildiği gibi, işimizi kolaylaştırmak için terimleri yeniden düzenleyebilir ve yeniden gruplayabiliriz.

Örnek (PageIndex{4}):

x = (dfrac{7}{8}) olduğunda her ifadeyi değerlendirin. (a) x + 0,37 + (− x) (b) x + (− x) + 0,37

Çözüm

(a) x + 0.37 + (− x)

x yerine (dfrac{7}{8}) yazın.$$ extcolor{red}{dfrac{7}{8}} + 0,37 + left(- extcolor{red}{dfrac{7}{8}}sağ)$$
Kesirleri ondalık sayılara dönüştürün.0.875 + 0.37 + (-0.875)
Soldan sağa ekleyin.1.245 - 0.875
Çıkart.0.37

(b) x + (− x) + 0.37

x yerine (dfrac{7}{8}) yazın.$$ extcolor{red}{dfrac{7}{8}} + left(- extcolor{red}{dfrac{7}{8}}sağ) + 0,37$$
Önce karşıtları ekleyin.0.37

(a) bölümü ile (b) bölümü arasındaki fark neydi? Sadece sipariş değişti. Toplamanın Değişmeli Özelliği ile, x + 0.37 + (− x) = x + (− x) + 0.37. Ama (b) kısmı çok daha kolay değil miydi?

Alıştırma (PageIndex{7}):

y = (dfrac{3}{8}): (a) y + 0,84 + (− y) (b) y + (− y) + 0,84 olduğunda her ifadeyi değerlendirin.

cevap ver

(0.84)

Cevap b

(0.84)

Alıştırma (PageIndex{8}):

f = (dfrac{17}{20}): (a) f + 0.975 + (− f) (b) f + (− f) + 0.975 olduğunda her ifadeyi değerlendirin.

cevap ver

(0.975)

Cevap b

(0.975)

Bu sefer çarpma ile bir tane daha yapalım.

Örnek (PageIndex{5}):

n = 17 olduğunda her ifadeyi değerlendirin. (a) (dfrac{4}{3} left(dfrac{3}{4} n ight)) (b) (left(dfrac{4) }{3} cdot dfrac{3}{4}sağ) n)

Çözüm

(a) (dfrac{4}{3} left(dfrac{3}{4} nsağ))

17 yerine n.$$dfrac{4}{3} left(dfrac{3}{4} cdot extcolor{red}{17} sağ)$$
Önce parantez içinde çarpın.$$dfrac{4}{3} sol(dfrac{51}{4}sağ)$$
Tekrar çarpın.$$17$$

(b) (sol(dfrac{4}{3} cdot dfrac{3}{4}sağ) n)

17 yerine n.$$left(dfrac{4}{3} cdot dfrac{3}{4}sağ) extcolor{red}{cdot 17}$$
Çarpmak. Karşılıklıların ürünü 1'dir.$$(1) cdot 17$$
Tekrar çarpın.$$17$$

Buradaki (a) kısmı ile (b) kısmı arasındaki fark neydi? Sadece gruplama değişti. Çarpmanın İlişkisel Özelliği ile, (dfrac{4}{3} left(dfrac{3}{4} n ight) = left(dfrac{4}{3} cdot dfrac{3) }{4}sağ) n). Faktörleri nasıl gruplayacağımızı dikkatlice seçerek işi kolaylaştırabiliriz.

Alıştırma (PageIndex{9}):

p = 24 olduğunda her ifadeyi değerlendirin. (a) (dfrac{5}{9} left(dfrac{9}{5} p ight)) (b) (left(dfrac{5) }{9} cdot dfrac{9}{5}sağ) p)

cevap ver

(24)

Cevap b

(24)

Alıştırma (PageIndex{10}):

q = 15 olduğunda her ifadeyi değerlendirin. (a) (dfrac{7}{11} left(dfrac{11}{7} q ight)) (b) (left(dfrac{7) }{11} cdot dfrac{11}{7}sağ) q)

cevap ver

(15)

Cevap b

(15)


Kayan nokta ekleme mutlaka birleştirici değildir. Bir şeyleri eklediğiniz sırayı değiştirirseniz, bu, sonucu değiştirebilir.

Konuyla ilgili standart makale, Her Bilgisayar Bilimcisinin Kayan Nokta Aritmetiği Hakkında Bilmesi Gerekenler'dir. Aşağıdaki örneği verir:

Diğer bir gri alan ise parantezlerin yorumlanmasıyla ilgilidir. Yuvarlama hataları nedeniyle, cebirin birleştirici yasaları, kayan noktalı sayılar için mutlaka geçerli değildir. Örneğin, (x+y)+z ifadesi, x = 1e30, y = -1e30 ve z = 1 olduğunda x+(y+z)'den tamamen farklı bir cevaba sahiptir (önceki durumda 1, ikinci durumda 0'dır). ).

Şu anda popüler olan makineler ve yazılımlarla ilgili muhtemel olan şudur:

Derleyici, .7'yi 0x1.6666666666666p-1 (bu, 1.6666666666666'nın 2 ile -1'in kuvvetiyle çarpımı olan onaltılık sayıdır), .2'yi 0x1.999999999999ap-3 ve .1'i 0x1.999999999999ap-4 olarak kodladı. Bunların her biri, yazdığınız ondalık sayıya en yakın kayan nokta ile gösterilebilen sayıdır.

Bu onaltılık kayan nokta sabitlerinin her birinin anlamlısında tam olarak 53 bit olduğuna dikkat edin ("kesir" kısmı, genellikle yanlış bir şekilde mantis olarak adlandırılır). Anlamlı için onaltılık sayı bir "1" ve on üç tane daha onaltılık basamağa sahiptir (her biri dört bit, toplam 52, "1" dahil 53), 64-bit ikili kayan için IEEE-754 standardının sağladığı budur. nokta numaraları.

.7 ve .2 için sayıları ekleyelim: 0x1.6666666666666p-1 ve 0x1.9999999999999ap-3. İlk olarak, ikinci sayının üssünü birinciyle eşleşecek şekilde ölçeklendirin. Bunu yapmak için, üssü 4 ile çarpacağız ("p-3"ü "p-1" olarak değiştirerek) ve anlamlıyı 1/4 ile çarparak 0x0.6666666666668p-1 vereceğiz. Ardından 0x1.6666666666666p-1 ve 0x0.6666666666668p-1 ekleyerek 0x1.ccccccccccccc8p-1'i ekleyin. Bu sayının anlamlı olarak 53 bitten fazla olduğuna dikkat edin: "8", noktadan sonraki 14. basamaktır. Kayan nokta, bu kadar bitli bir sonuç döndüremez, bu nedenle en yakın temsil edilebilir sayıya yuvarlanması gerekir. Bu durumda, eşit derecede yakın iki sayı vardır, 0x1.cccccccccccccp-1 ve 0x1.ccccccccccccdp-1. Bir bağ olduğunda, anlamlının en düşük bitinde sıfır olan sayı kullanılır. "c" çifttir ve "d" tektir, bu nedenle "c" kullanılır. Eklemenin nihai sonucu 0x1.ccccccccccccccp-1'dir.

Ardından, buna .1 (0x1.999999999999ap-4) sayısını ekleyin. Yine, üsleri eşleştirmek için ölçeklendiririz, böylece 0x1.9999999999999ap-4, 0x.33333333333334p-1 olur. Ardından bunu 0x1.cccccccccccccp-1'e ekleyerek 0x1.ffffffffffffff4p-1'i verin. Bunu 53 bite yuvarlamak, 0x1.ffffffffffffffp-1'i verir ve bu, .7+.2+.1'in nihai sonucudur.

Şimdi .7+.1+.2'yi düşünün. .7+.1 için 0x1.6666666666666p-1 ve 0x1.9999999999999ap-4 ekleyin. İkincisinin 0x.33333333333334p-1 olarak ölçeklendiğini hatırlayın. O zaman tam toplam 0x1.999999999999994p-1'dir. Bunu 53 bite yuvarlamak 0x1.9999999999999p-1 verir.

Ardından 0x0.6666666666668p-1 olarak ölçeklendirilen .2 (0x1.999999999999ap-3) için sayıyı ekleyin. Kesin toplam 0x2.00000000000008p-1'dir. Kayan nokta anlamlıları her zaman 1 ile başlayacak şekilde ölçeklendirilir (özel durumlar dışında: sıfır, sonsuz ve temsil edilebilir aralığın altındaki çok küçük sayılar), bu nedenle bunu 0x1.00000000004p0 olarak ayarlıyoruz. Son olarak, 0x1.00000000000000p0 vererek 53 bite yuvarlarız.

Bu nedenle, yuvarlama sırasında oluşan hatalar nedeniyle, .7+.2+.1, 0x1.ffffffffffffffp-1 (1'den çok az az) ve .7+.1+.2, 0x1.000000000000p0 (tam olarak 1) döndürür.


Çarpma Serisi: Sayı Özelliklerini Dizilerle Gösterme

Okulda resmi olarak öğretilsin veya öğretilmesin, işlemlerde sayılara uygulanan özellikler, çocuklar matematik öğrenimi sırasında karşılaşmaktadırlar. Bu özelliklerin sağlam bir şekilde anlaşılması, zihinsel hesaplama dahil olmak üzere operasyonları geliştirmek için iyi bir temel sağlar. Toplama işlemi çoğu çocuğa kolayca gelir, ancak çarpma ile çalışmak daha karmaşık düşünmeyi gerektirir ve bu nedenle genellikle daha fazla desteğe ihtiyaç duyar. Bir dizi nesne kullanarak çarpma içeren sayı özelliklerini modellemek, çocukların düşüncelerini somut materyallerle temsil etmelerine izin vermekle kalmaz, aynı zamanda çocukların hafızayı ve akıl yürütmeyi desteklemek için yararlı zihinsel resimler oluşturmasına da yardımcı olabilir.

Değişmeli özellik

Çarpmanın Ters İşlemi Olarak Bölme

Dört operasyondan bölme, genç öğrenciler için en zahmetli olanıdır. Bölünmenin tam olarak anlaşılması, diğer işlemlerin çok gerisinde kalma eğilimindedir. Birçok çocuk için kavramı somut materyallerle keşfetme fırsatları, bölme ile diğer dört işlem arasındaki ilişkileri algılamadan çok önce kısıtlanır. Böyle bir ilişki, bölme ve çarpma arasındaki ters ilişki, diziler kullanılarak etkin bir şekilde gösterilebilir.

Dizinin daha fazla araştırılması, ters ilişkileri ifade etmenin iki yolunu daha ortaya çıkarır: $5 imes3 = 15$ ve $15 div 3 = 5$ . Sözcük problemleri, bu işlemleri tanımlamak ve bir dizi tarafından modellenen dört ifade arasındaki benzerlikleri ve farklılıkları vurgulamak için uyarlanabilir.

Toplama üzerinde çarpmanın dağıtım özelliği

Bu oldukça uzun başlık sadece sayı sistemimizi yöneten temel özelliklerden birini değil, aynı zamanda birçok insanın düzenli olarak kullandığı kişisel olarak icat edilmiş bir zihinsel stratejiyi de adlandırıyor. Bu strateji genellikle, çeşitli nedenlerle hatırlaması zor olan bir avuç çarpma gerçeğinden birini hatırlamaya çalıştığımızda devreye girer. Örneğin, bu tür bir düşünce tanıdık geliyor mu?

"7 $ imes7$'ın 49$ olduğunu biliyorum.
İki tane daha 7$'a ihtiyacım var, ki bu 14$'dır.
Yani 49$ ve 14$ eklersem. bu da 63$ yapar.
Ah evet! $7 imes9=63$.'"

Sembolik olarak, bu süreç olarak temsil edilebilir.

aşla 7 imes 9 &=& 7 imes (7 + 2) &=& (7 imes 7)+(7 imes 2) &=& 49 + 14 &=& 63 end


Değişmeli Özellik Hesaplayıcı

İşlenenlerin sırasındaki değişiklik işlemin sonucunu değiştirmediğinde buna değişmeli özellik denir. Birçok matematiksel ispat bu yasaya dayanmaktadır ve birçok ikili işlemin temel özelliğidir. Aşağıda verilenler, toplama, çıkarma, çarpma ve bölmenin değişmeli işlemlerinde size yardımcı olan çevrimiçi değişmeli özellik hesaplayıcısıdır. Sadece girdileri girin, toplama hesaplayıcısının değişmeli özelliği size sonucu güncelleyecektir.

İşlenenlerin sırasındaki değişiklik işlemin sonucunu değiştirmediğinde buna değişmeli özellik denir. Birçok matematiksel ispat bu yasaya dayanmaktadır ve birçok ikili işlemin temel özelliğidir. Aşağıda verilenler, toplama, çıkarma, çarpma ve bölmenin değişmeli işlemlerinde size yardımcı olan çevrimiçi değişmeli özellik hesaplayıcısıdır. Sadece girdileri girin, toplama hesaplayıcısının değişmeli özelliği size sonucu güncelleyecektir.


İlişkili Mülkün Tanımı

Örnek 3: Cebirsel (a + b) + c = a + (b + c) &ndash Evet, cebirsel ifadeler de toplama için birleştiricidir

Örnekler Çarpma için İlişkisel Özelliğin

Örnek 4 Örnek 5

Örnek 6: Cebirsel (a &bull b) &bullc = (a &bull b) &bullc &ndash Evet, cebirsel ifadeler çarpma için de birleştiricidir

Örnek Olmayanlar İlişkili Mülkiyetin

Bölünme (İlişkili değil)

Bölünme muhtemelen sezgisel olarak bildiğiniz bir örnektir, ilişkisel değildir. Aşağıdaki örnekler, bölünmenin nasıl birleştirici olmadığını görmenize yardımcı olacaktır.


7.2: Değişmeli ve İlişkili Özellikler (Bölüm 1)

İlgili çizimleri ve görselleri incelemek isterseniz, lütfen okumaya devam edin.

Diğer tüm resimler için büyütmek ve kaydırmak için herhangi bir resme tıklayabilirsiniz.

Bir kümenin tamamlayıcısı.

Bu yeni bir örnektir - evrensel bir U=<1,2,3,4,5,6,7,8,9,10> kümemiz ve başka bir küme olan A kümemiz varsa, burada A= <1,2,3,4,5>, A’?A’ olarak adlandırılan yeni küme nedir?

U'yu bir dikdörtgen olarak çizersek ve A kümesini o dikdörtgenin içine çizersek. A'nın çevresine bir daire çizersek, A'nın tümleyenleri A' olarak adlandırılır. Bir kümenin tümleyenleri A kümesinde bulunmayan, U kümesinde de var olan öğelerdir.

Bir kümenin birleşimi ve kesişimi.

Birleşme ve kesişme konusu bilinen bir konudur. İki kümenin kesişimi, her iki kümeye ait olan tüm öğelerin kümesidir.

P=<1,2,3,4,5,6,7,8,9,10> olarak adlandırılan bir küme için.

Q=<2,4,6,8,9,10,12,14,16,18,20> olarak adlandırılan başka bir küme için.

İki kümenin kesişimi, 2 ve 4& 6& 8&10 olan iki kümenin ortak öğeleri anlamına gelir.

P ∩ Q, P kümesine ve Q kümesine ait nesneler, semboller n harfine yakındır. Sendika U harfine benzerken.

Birleşim tanımı, kümelerden birine veya her ikisine ait olan tüm öğelerin kümesidir. Tekrarlanmayan tüm unsurları yazacağız.
P ∪ Q,lude,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20 içerecektir.

Venn şeması nasıl kullanılır?

Venn şemasını kullanarak, her kümeyi bir daire içinde çizerek ve kesişim için ortak öğeleri inceleyin. Bu, ilişkileri bir diyagram biçiminde incelememizi sağlayacaktır.

Diğer bir örnek, elimizde P= <3,6,9,12,15,18>ve Q=<2,4,6,8,10,12> varsa. Vurgulayıcıyı iki küme arasında ortak olan öğeler için kullanırsak, değerler (6,12)'dir. Bu, P ∩ Q veya P ve Q kümelerinin kesişimi olarak ifade edilebilir. p kümesini bir daire içinde çizersek, 3,6,9,12,15,18 öğelerini içerir.

Ortak elemanları (6,12) sağ kenarda çiziyoruz. Q öğelerini başka bir daireye çiziyoruz. P'nin kavşakta yer almayan kalan elemanları nelerdir?

Öğeler 3,9,15,18'dir. Q'dan kalan elemanlar ise (2,4,8,10).

Başka bir ifade için 6, P ve Q arasındaki kesişme tarafından çevrelenen alanın bir parçasıdır. Kapalı alan 6 ve 12'yi göstermektedir.

O halde, 6'nın P ve Q'nun kesişimine ait olduğu doğru bir ifadedir. Ama 8, o kesişime ait değildir. Bu sembolde 8 b∉P ∩ Q veya P ve Q'nun kesişimi yazılır.

Bir dikdörtgen olarak çizilen evrensel U kümesi için birlik ilişkisi için ise. Dikdörtgenin içine P ve Q için iki daire çizebiliriz. Böylece hem P hem de Q'nun tüm elemanları dahil edilir.

Çözülmüş örnek#10.

R=<2,10,28>. P ve Q veya P∩ R arasındaki kesişim gereklidir

& Q∩ R ve P∩ R. P ve Q arasındaki ortak öğeler nelerdir?

Bu elemanlar (3,27). Q∩ R arasında iken bu elemanlar (2, 28,10) dir. Üç elementin toplamı. P ve R arasında iken, hiçbiri yoktur. O zaman P ve R arasındaki kesişimi ifade edebiliriz.

P∩R=Ø. veya Ø. Ayrık küme denir, yani bu kümeler bir araya getirilmez.

Bir kümenin kümülatif, birleştirici ve dağılım özellikleri.

Değişmeli, çağrışımsal ve dağıtıcı olan yeni bir özne

kümesinin özellikleri. Değişmeli bağıntı A∩ B= B∩A olarak ifade edilebilir.

Sıra A ve B arasında tersine çevrilebilir Ters çevrilebilir. ancak hem sol hem de sağ tarafın kesişim olduğunu ve ikinci durumda her ikisinin de birleşim olduğunu unutmayın.

İlişkisel bağıntı için ise A&B&C üç kümemiz varsa, bu kümeler arasında bir birlik yapılması gerekir. Bu, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B)∪ C olarak yazılabilir. A ∩ (B ∩ C)= (A ∩ B) ∩C. Dağılma özelliği karışımdır. Birleşim ve kavşak arasındaki karışım.

Dağıtıcı A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ C olarak adlandırılır. A ∩( B ∪C)=(A ∩ B )∪C olan başka bir bağıntı

Kümülatifi, ardından çağrışımsal olanı ve bu da dağıtıcıyı tartıştık.

Kimlik yasasını ayarlayın.

Belirlenen Kimlik Yasası olan yeni bir öğe var. İlk bağıntı A ∪A=A'dır. İkinci bağıntı A ∩A=A'dır. Üçüncü bağıntı A∪Ø =A'dır. Bu doğru bir ifadedir. A ∩Ø=Ø iken. A = A =<1,2,3,4> olarak ayarladıysak Kuvvet kümesi konusu. alt küme nedir?

Aşağıdaki gibi alt kümelerin kombinasyonu varsa bol vardır:
1'den 4'e kadar ilk dört sayı seçilir, Ardından <1,2>& <1,3> <1,4>ve ayrıca <1>,<2>,<3>,<4> öğesini seçin. , ardından &, aynı set sırasını seçin <1,2,3,4>, <1,2>& <1,3>&, (1,4>, diğer koleksiyon <1,2,3><1,3 ,4>, Şimdiye kadar kaç tane seçim yaptık, toplam 10 tane seçimimiz var.

2, <2,3>,<2,4> ile başlayarak. 3, <3,4> ile başlayarak, ardından Ø öğesini seçin. Toplam seçim sayısı =5+5+6=16. Sonunda, eğer bir setimiz varsa.

Oluşturulabilecek toplam altküme sayısı = 2 veya 4'ün kuvvetine yükseltilmiş bir dizi öğe sayısıࡪ=16. Kuvvet 2 yap, bu yüzden 4^2=16 olduğundan kuvvet kümesi ifadesi kullanılır.

Örneğin bir kümenin üç elemanı varsa, alt küme sayısı=3^2=9 olur.

Sipariş edilen çiftler.

Kartezyen koordinatı x ve y için sıralı çift olan yeni öğe, önce x eksenini sonra y eksenini çizeriz. Koordinat (5,2) olan bir A noktamız varsa.
Sıralı çift, 5 boşluk sağa gittiğimiz, ardından 2 boşluk geldiğimiz eksen dizilimidir. Burada sıra önemlidir.

Buna sıralı çift denir. Çift, iki demektir. (5,2)'yi seçersek,

A noktası değil başka bir nokta verin. Elemanları olan A kümesi , set B, elemanlarla a=c ve b=d ise eşit kabul edilecektir.

Sıralı çift, verilen örnek için denklemleri çözmek için kullanılabilir. Verilen bir (x-3,y-2) için verilen=küme <4,5>.

İki kümenin kartezyen çarpımı.

İki kümenin Kartezyen çarpımı. İki kümeyi birbirimizle çarparsak A çarpı B şeklinde yazılır.

x,y koordinatları ile x A'nın bir parçası ve y B'nin bir parçası olacak şekilde yeni bir çift oluşturulur. <2,4,6>. AxB'yi bulmak gerekiyor. İşlem sırasına göre,(7,2),(7,4),(7,6)& (8,2),(8,4),(8,6) yazabiliriz. AXB'nin sonucudur. Sonunda, 6 sipariş çiftimiz var.

A kümesi iki elemandan oluşur. B kümesi üç elemandan oluşur. Sonra AXB=2ࡩ=6.

AxB'nin çapraz çarpımını yapmak için bir tablo kullanabiliriz, ilk sütunda A'nın elemanını ayarlayarak, b'nin elemanlarını ikinci, üçüncü ve dördüncü sütun olarak yazarken, örneğimizde B kümesi için üç eleman vardır.

2 ile başlayarak, ilk altküme b'nin ikinci sütun değeriyle 2 olacak, daha sonra aynı 2, b'nin üçüncü sütunuyla olacak ve son olarak 2, b öğesinin son sütunuyla olacak.

sonra 3'e sahip olduğumuz ikinci sıraya geçin, ardından 2 ile tekrar 4 ile birleştirin ve en son 2 ile 6 birleştirilecektir. Son cevap bir sonraki slayt görüntüsünde gösterilir.

İki Kümenin Kartezyen Çarpımı için başka bir örnek.

Başka bir örnekte, sıralı parçanın bir kısmı verilmiştir ve verilen sıralı çift, üç alt küme açısından A x B elde edilmesi gerekmektedir. A ve B iki küme ise

AxB 6 elemandan oluşur, yani kümelerden biri 3 elemanlı, diğeri ise iki elemanlıdır. 2ࡩ=6'dan beri.

AxB ürününün sadece üç elemanı verilmiştir. AxB ve AxA'nın tüm öğelerini almak gerekir. Verilen elemanlardan bu elemanları (a1,b1) ,(a2,b2) ve (a3,b3) olarak adlandırırız.

İlk üç terim a’s terimdir, dolayısıyla A kümesi A=<2,3,4> şeklinde yazılabilir. O halde b sadece iki elemanlı olmalıdır, AxB=6 olduğundan bu elemanlar B=<5,7> şeklinde yazılabilir, b üç eleman olamaz, 7 tekrarlanır.

O zaman AxB =<(2,5)(2,7), (3,5)(3,7), (4,3),(4,7) >, sıralı her çift diğer çiftlerden farklıdır.

Yine AxB'nin çapraz çarpımının tahminini kolaylaştırmak için tablo kullanımı.

AxA'nın çapraz çarpımının tahminini kolaylaştırmak için tablonun kullanılması.

N demet.

N-tuples, üç koordinatımız olduğunda x,y,z. Uzayda bir nokta göstermek istiyoruz, bu yüzden üç koordinata ihtiyacımız var.

(a1,a2a3) koordinatına sahip uzaydaki nokta için, x ekseni yönünde a1 ile başladığımız sırayı izleyecektir, o zaman kullanılan mesafe y yönünde a2 ve son olarak z'de a3 olacaktır. yön.3 demet.

Bu, orijinden noktaya işaret eden bir vektör ile temsil edilebilir.

R3 bir lineer cebir konusudur. Rn, n uzayındadır. R3, gerçek sayıların sıralı tüm üçlülerinin kümesidir.

R1, x yönünde bir vektördür, 1 uzayındaki tüm gerçek sayıların kümesi olarak da tanımlanabilir.

R2, 2 uzayında (x&y) bir vektördür, R'nin karesi olarak yazılır. Tüm sıralı çiftler kümesi olarak tanımı, tanımı tüm reel sayıların kümesi olan R1'in ilk tanımından biraz farklıdır. R2 pozitif veya negatif sayılar olabilir, R2 birçok seçenekle temsil edilebilir.

Vektör (x,y) yönünde olacaktır. R3 grafiklerle gösterilinceye kadar R4 olan yeni bir terim sunulmuştur.

Sonraki görüntü, Prof. Ron larson el kitabından alıntılanan Rn'deki vektörlerin tanımını göstermektedir.

Vektör uzayının tanımı.

R4'ün tanımı, gerçek sayıların sıralı tüm dörtlü kümesi. Sayılar, R4'teki nokta (a1,a2,a3,a4) şeklinde yazılabilir.

Rn veya uzayda vektör için, nokta (a1,a2,a3,…. an) ile temsil edilebilir ve n-tuples olarak adlandırılır. R4 dörtlü için gerçekleştirilebilecek işlemlerin sayısı: Temel lineer cebir kitabından göreceğimiz gibi 10 işlem

İlk işlem toplama altında kapatma, ikinci işlem değişmeli özellik u+v=v+u, üçüncü işlem u(v+w)=u+(v+w), U+Ø=U, toplamsal özdeşliktir.

u+(-U)=0, toplamsal ters.Cu V'dedir, burada c bir sabittir. Dağılma özelliği olarak C(u+v)=Cu+Cv.

(C+d)U=cu+du. Dağılım özelliği, C(du)=Cdu.1*(u)=u. operasyonlar bunlar

R4'te çözülen sorun.

R4 için örneğimiz. Noktaların detayları verilmiş, (0,4,6,2) verecek olan U+v+w işlemini yapacağız.


POLİNOMİALLER

gibi faktörlerin herhangi bir tek koleksiyonu

denir dönem. Terim değişken içermiyorsa, örneğin

o zaman terim denir sabit.

bir polinom değişkenler üzerindeki üslerin doğal sayılar olduğu terimlerin toplamı veya farkıdır. Örneğin,

polinomlardır. Bir polinomun herhangi bir sayıda terime sahip olabileceğine dikkat edin (poli, Yunanca "çok" ön ekidir).

Bir polinomun yalnızca bir terimi varsa, buna monomial deriz (mono, Yunanca "bir" ön ekidir).

Bir polinomun tam olarak iki terimi varsa, buna binom denir (bi, Yunanca "iki" ön ekidir).

Bir polinomun tam olarak üç terimi varsa, buna trinom denir (tri, Yunancada "üç"ün ön ekidir).

Bir değişkendeki polinomlar genellikle değişkenin azalan güçlerinde yazılır.

Bir terimdeki herhangi bir faktör koleksiyonuna denir. katsayı vadede kalan faktörlerden. Örneğin, 3xy'de 3, xy'nin katsayısıdır, x, 3y'nin katsayısıdır, y, 3x'in katsayısıdır ve 3x, y'nin katsayısıdır. 3xy'de 3 sayısı denir sayısal katsayı. xy veya x2 gibi bir terimde sayısal katsayı 1 olarak anlaşılır.

3x 2'nin sayısal katsayısı 3'tür
2xy 2'nin sayısal katsayısı 2'dir
x 4'ün sayısal katsayısı 1'dir.

Yalnızca bir değişken içeren bir terimde, değişkenin üssüne denir. derece terimin. Sabit terimin derecesi 0 olarak kabul edilir.

Örnek 3 3x 2 ikinci derecedendir
2y 3 üçüncü dereceden
4z birinci derecedendir (z üzerindeki üs 1 olarak anlaşılır)
1 derece 0'a sahiptir.

Bir değişkendeki polinomun derecesi, en yüksek dereceli terimin derecesidir.

2x + 1 birinci derecedendir
3y 2 - 2y + 4 ikinci derecedendir
y 5 - 3y 2 + y beşinci derecedendir.


Rasyonel sayıların özelliklerini her birine 1 örnek vererek tanımlayınız.​

x ve y gibi iki rasyonel sayı için toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonuçları bir rasyonel sayı verir. Rasyonel sayıların toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine kapalı olduğunu söyleyebiliriz. Örneğin:

Rasyonel sayılar için toplama ve çarpma işlemleri değişmelidir.

Değişmeli toplama yasası: a+b = b+a

Değişmeli çarpma yasası: a×b = b×a

Rasyonel sayılar toplama ve çarpma için birleştirici özelliği takip eder.

x, y ve z'nin rasyonel olduğunu varsayalım, sonra toplama için: x+(y+z)=(x+y)+z

Çarpma için: x(yz)=(xy)z.

Örnek: 1/2 + (1/4 + 2/3) = (1/2 + 1/4) + 2/3

Ve çarpma durumunda

1/2 x (1/4 x 2/3) = (1/2 x 1/4) x 2/3

Dağılma özelliği, eğer a, b ve c üç rasyonel sayı ise, o zaman

Örnek: 1/2 x (1/2 + 1/4) = (1/2 x 1/2) + (1/2 x 1/4)

RHS = (1/2 x 1/2) + (1/2 x 1/4) = 3/8

Rasyonel sayıların özelliklerini her birine 1 örnek vererek tanımlayınız.

Rasyonel sayıların önemli özellikleri nelerdir?

Başlıca özellikler şunlardır: Değişmeli, İlişkisel, Dağıtıcı ve Kapatma özelliği.

Ne dır-dir KomütatYa sahibim pervaneerler ?

Matematikte, işlenenlerin sırasını değiştirmek sonucu değiştirmiyorsa, ikili bir işlem değişmelidir. Birçok ikili işlemin temel bir özelliğidir ve birçok matematiksel kanıt buna bağlıdır.

Formülü Şekil 1'de verilmiştir.

Ne dır-dir ilişkisel pervaneerler ?

Matematikte, ilişkisel özellik, bazı ikili işlemlerin bir özelliğidir; bu, bir ifadede parantezlerin yeniden düzenlenmesinin sonucu değiştirmeyeceği anlamına gelir. Önerme mantığında çağrışım, mantıksal ispatlardaki ifadeler için geçerli bir ikame kuralıdır.

Formülü Şekil 2'de verilmiştir.

Ne dır-dir dağıtılmış mülkies ?

“Dağıtmak”, bir şeyi bölmek veya bir şeyin payını veya bir kısmını vermek anlamına gelir. Dağılma özelliğine göre, iki veya daha fazla toplamanın toplamını bir sayı ile çarpmak, her bir toplamayı tek tek sayıyla çarpmak ve sonra ürünleri toplamakla aynı sonucu verecektir.

Kuralı Şekil 3'te verilmiştir.

Kapatma özellikleri nedir?

Bir işlem veya işlemler topluluğu altında kapalı olan bir kümenin, bir kapatma özelliğini sağladığı söylenir. Genellikle bir kapatma özelliği, daha sonra genellikle kapanma aksiyomu olarak adlandırılan bir aksiyom olarak sunulur. Örneğin, çift tamsayılar kümesi toplama işleminde kapalıdır, ancak tek tamsayılar kümesi kapalı değildir.

Kuralı Şekil 4'te verilmiştir.

Eğer o dır-dir faydalı için sen sonra lütfen takip et ben mi ve işaret ben mi gibi beyin listesi.

40 Teşekkürler 40 Teşekkürler

10 Teşekkürler 15 Teşekkürler


Gerçek Sayılar: Cebir Temelleri

Çoğu zaman matematiğin bilimin dili olduğu söylenir. Eğer bu doğruysa, matematik dilinin önemli bir parçası sayılardır. Sayıların ilk kullanımı 100 yüzyıl önce Orta Doğu'da öğeleri saymak veya numaralandırmak için gerçekleşti. Farmers, cattlemen, and tradesmen used tokens, stones, or markers to signify a single quantity—a sheaf of grain, a head of livestock, or a fixed length of cloth, for example. Doing so made commerce possible, leading to improved communications and the spread of civilization.

Three to four thousand years ago, Egyptians introduced fractions. They first used them to show reciprocals. Later, they used them to represent the amount when a quantity was divided into equal parts.

But what if there were no cattle to trade or an entire crop of grain was lost in a flood? How could someone indicate the existence of nothing? From earliest times, people had thought of a “base state” while counting and used various symbols to represent this null condition. However, it was not until about the fifth century A.D. in India that zero was added to the number system and used as a numeral in calculations.

Clearly, there was also a need for numbers to represent loss or debt. In India, in the seventh century A.D., negative numbers were used as solutions to mathematical equations and commercial debts. The opposites of the counting numbers expanded the number system even further.

Because of the evolution of the number system, we can now perform complex calculations using these and other categories of real numbers. In this section, we will explore sets of numbers, calculations with different kinds of numbers, and the use of numbers in expressions.

Classifying a Real Number

The numbers we use for counting, or enumerating items, are the natural numbers: 1, 2, 3, 4, 5, and so on. We describe them in set notation as

where the ellipsis (…) indicates that the numbers continue to infinity. The natural numbers are, of course, also called the counting numbers. Any time we enumerate the members of a team, count the coins in a collection, or tally the trees in a grove, we are using the set of natural numbers. The set of whole numbers is the set of natural numbers plus zero: < 0 , 1 , 2 , 3 , . >.

The set of integers adds the opposites of the natural numbers to the set of whole numbers: < . , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . >.

It is useful to note that the set of integers is made up of three distinct subsets: negative integers, zero, and positive integers. In this sense, the positive integers are just the natural numbers. Another way to think about it is that the natural numbers are a subset of the integers.

The set of rational numbers is written as < m n | m and n are integers and n ≠ 0 >.

Notice from the definition that rational numbers are fractions (or quotients) containing integers in both the numerator and the denominator, and the denominator is never 0. We can also see that every natural number, whole number, and integer is a rational number with a denominator of 1.

Because they are fractions, any rational number can also be expressed in decimal form. Any rational number can be represented as either:

    a terminating decimal: 15 8 = 1.875 ,

We use a line drawn over the repeating block of numbers instead of writing the group multiple times.

Write each of the following as a rational number.

Write a fraction with the integer in the numerator and 1 in the denominator.

Write each of the following as a rational number.

Write each of the following rational numbers as either a terminating or repeating decimal.

Write each fraction as a decimal by dividing the numerator by the denominator.

(or 3.0), a terminating decimal

Write each of the following rational numbers as either a terminating or repeating decimal.

Irrational Numbers

At some point in the ancient past, someone discovered that not all numbers are rational numbers. A builder, for instance, may have found that the diagonal of a square with unit sides was not 2 or even 3 2 ,

but was something else. Or a garment maker might have observed that the ratio of the circumference to the diameter of a roll of cloth was a little bit more than 3, but still not a rational number. Such numbers are said to be irrational because they cannot be written as fractions. These numbers make up the set of irrational numbers. Irrational numbers cannot be expressed as a fraction of two integers. It is impossible to describe this set of numbers by a single rule except to say that a number is irrational if it is not rational. So we write this as shown.

Determine whether each of the following numbers is rational or irrational. If it is rational, determine whether it is a terminating or repeating decimal.

This can be simplified as

is a rational number. Next, simplify and divide.

is rational and a repeating decimal.

This cannot be simplified any further. Bu nedenle,

is a rational number. Simplify and divide.

is rational and a terminating decimal.

is not a terminating decimal. Also note that there is no repeating pattern because the group of 3s increases each time. Therefore it is neither a terminating nor a repeating decimal and, hence, not a rational number. It is an irrational number.

Determine whether each of the following numbers is rational or irrational. If it is rational, determine whether it is a terminating or repeating decimal.

  1. rational and repeating
  2. rational and terminating
  3. irrational
  4. rational and repeating
  5. irrational

Real Numbers

Given any number n, we know that n is either rational or irrational. It cannot be both. The sets of rational and irrational numbers together make up the set of real numbers. As we saw with integers, the real numbers can be divided into three subsets: negative real numbers, zero, and positive real numbers. Each subset includes fractions, decimals, and irrational numbers according to their algebraic sign (+ or –). Zero is considered neither positive nor negative.

The real numbers can be visualized on a horizontal number line with an arbitrary point chosen as 0, with negative numbers to the left of 0 and positive numbers to the right of 0. A fixed unit distance is then used to mark off each integer (or other basic value) on either side of 0. Any real number corresponds to a unique position on the number line.The converse is also true: Each location on the number line corresponds to exactly one real number. This is known as a one-to-one correspondence. We refer to this as the real number line as shown in [link].

Classify each number as either positive or negative and as either rational or irrational. Does the number lie to the left or the right of 0 on the number line?

is negative and rational. It lies to the left of 0 on the number line.

is positive and irrational. It lies to the right of 0.

is negative and rational. It lies to the left of 0.

is negative and irrational. It lies to the left of 0.

is a repeating decimal so it is rational and positive. It lies to the right of 0.

Classify each number as either positive or negative and as either rational or irrational. Does the number lie to the left or the right of 0 on the number line?

  1. positive, irrational right
  2. negative, rational left
  3. positive, rational right
  4. negative, irrational left
  5. positive, rational right

Sets of Numbers as Subsets

Beginning with the natural numbers, we have expanded each set to form a larger set, meaning that there is a subset relationship between the sets of numbers we have encountered so far. These relationships become more obvious when seen as a diagram, such as [link].

The set of natural numbers includes the numbers used for counting: < 1 , 2 , 3 , . >.

The set of whole numbers is the set of natural numbers plus zero: < 0 , 1 , 2 , 3 , . >.

The set of integers adds the negative natural numbers to the set of whole numbers: < . , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . >.

The set of rational numbers includes fractions written as < m n | m and n are integers and n ≠ 0 >.

The set of irrational numbers is the set of numbers that are not rational, are nonrepeating, and are nonterminating: < h | h is not a rational number >.

Classify each number as being a natural number (N), whole number (W), integer (ben), rational number (S), and/or irrational number (Q′).

Classify each number as being a natural number (N), whole number (W), integer (ben), rational number (S), and/or irrational number (Q′).

Performing Calculations Using the Order of Operations

When we multiply a number by itself, we square it or raise it to a power of 2. For example, 4 2 = 4 ⋅ 4 = 16.

We can raise any number to any power. In general, the exponential notation a n

means that the number or variable a

is read as the nth power of a ,

is called the baz and n

is called the exponent. A term in exponential notation may be part of a mathematical expression, which is a combination of numbers and operations. For example, 24 + 6 ⋅ 2 3 − 4 2

is a mathematical expression.

To evaluate a mathematical expression, we perform the various operations. However, we do not perform them in any random order. We use the order of operations. This is a sequence of rules for evaluating such expressions.

Recall that in mathematics we use parentheses ( ), brackets [ ], and braces < >to group numbers and expressions so that anything appearing within the symbols is treated as a unit. Additionally, fraction bars, radicals, and absolute value bars are treated as grouping symbols. When evaluating a mathematical expression, begin by simplifying expressions within grouping symbols.

The next step is to address any exponents or radicals. Afterward, perform multiplication and division from left to right and finally addition and subtraction from left to right.

Let’s take a look at the expression provided.

There are no grouping symbols, so we move on to exponents or radicals. The number 4 is raised to a power of 2, so simplify 4 2

Next, perform multiplication or division, left to right.

Lastly, perform addition or subtraction, left to right.

Therefore, 24 + 6 ⋅ 2 3 − 4 2 = 12.

For some complicated expressions, several passes through the order of operations will be needed. For instance, there may be a radical expression inside parentheses that must be simplified before the parentheses are evaluated. Following the order of operations ensures that anyone simplifying the same mathematical expression will get the same result.

Operations in mathematical expressions must be evaluated in a systematic order, which can be simplified using the acronym PEMDAS:

P(arentheses)* * *

M(ultiplication) and D(ivision)* * *

bir(ddition) and S(ubtraction)

Given a mathematical expression, simplify it using the order of operations.

  1. Simplify any expressions within grouping symbols.
  2. Simplify any expressions containing exponents or radicals.
  3. Perform any multiplication and division in order, from left to right.
  4. Perform any addition and subtraction in order, from left to right.

Use the order of operations to evaluate each of the following expressions.

  1. ( 3 ⋅ 2 ) 2 − 4 ( 6 + 2 )
  2. 5 2 − 4 7 − 11 − 2
  3. 6 − | 5 − 8 | + 3 ( 4 − 1 )
  4. 14 − 3 ⋅ 2 2 ⋅ 5 − 3 2
  5. 7 ( 5 ⋅ 3 ) − 2 [ ( 6 − 3 ) − 4 2 ] + 1
  1. ( 3 ⋅ 2 ) 2 − 4 ( 6 + 2 ) = ( 6 ) 2 − 4 ( 8 ) Simplify parentheses = 36 − 4 ( 8 ) Simplify exponent = 36 − 32 Simplify multiplication = 4 Simplify subtraction
  2. 5 2 - 4 7 − 11 − 2 = 5 2 − 4 7 − 9 Simplify grouping symbols (radical) = 5 2 − 4 7 − 3 Simplify radical = 25 − 4 7 − 3 Simplify exponent = 21 7 − 3 Simplify subtraction in numerator = 3 − 3 Simplify division = 0 Simplify subtraction

Note that in the first step, the radical is treated as a grouping symbol, like parentheses. Also, in the third step, the fraction bar is considered a grouping symbol so the numerator is considered to be grouped.

In this example, the fraction bar separates the numerator and denominator, which we simplify separately until the last step.

Use the order of operations to evaluate each of the following expressions.

  1. 5 2 − 4 2 + 7 ( 5 − 4 ) 2
  2. 1 + 7 ⋅ 5 − 8 ⋅ 4 9 − 6
  3. | 1.8 − 4.3 | + 0.4 15 + 10
  4. 1 2 [ 5 ⋅ 3 2 − 7 2 ] + 1 3 ⋅ 9 2
  5. [ ( 3 − 8 ) 2 − 4 ] − ( 3 − 8 )

Using Properties of Real Numbers

For some activities we perform, the order of certain operations does not matter, but the order of other operations does. For example, it does not make a difference if we put on the right shoe before the left or vice-versa. However, it does matter whether we put on shoes or socks first. The same thing is true for operations in mathematics.

Commutative Properties

commutative property of addition states that numbers may be added in any order without affecting the sum.

We can better see this relationship when using real numbers.

Similarly, the commutative property of multiplication states that numbers may be multiplied in any order without affecting the product.

Again, consider an example with real numbers.

It is important to note that neither subtraction nor division is commutative. For example, 17 − 5

Associative Properties

associative property of multiplication tells us that it does not matter how we group numbers when multiplying. We can move the grouping symbols to make the calculation easier, and the product remains the same.

associative property of addition tells us that numbers may be grouped differently without affecting the sum.

This property can be especially helpful when dealing with negative integers. Consider this example.

Are subtraction and division associative? Review these examples.

As we can see, neither subtraction nor division is associative.

Distributive Property

distributive property states that the product of a factor times a sum is the sum of the factor times each term in the sum.

This property combines both addition and multiplication (and is the only property to do so). Let us consider an example.

Note that 4 is outside the grouping symbols, so we distribute the 4 by multiplying it by 12, multiplying it by –7, and adding the products.

To be more precise when describing this property, we say that multiplication distributes over addition. The reverse is not true, as we can see in this example.

A special case of the distributive property occurs when a sum of terms is subtracted.

For example, consider the difference 12 − ( 5 + 3 ) .

We can rewrite the difference of the two terms 12 and ( 5 + 3 )

by turning the subtraction expression into addition of the opposite. So instead of subtracting ( 5 + 3 ) ,

This seems like a lot of trouble for a simple sum, but it illustrates a powerful result that will be useful once we introduce algebraic terms. To subtract a sum of terms, change the sign of each term and add the results. With this in mind, we can rewrite the last example.

Identity Properties

identity property of addition states that there is a unique number, called the additive identity (0) that, when added to a number, results in the original number.

identity property of multiplication states that there is a unique number, called the multiplicative identity (1) that, when multiplied by a number, results in the original number.

For example, we have ( −6 ) + 0 = −6

There are no exceptions for these properties they work for every real number, including 0 and 1.

Inverse Properties

inverse property of addition states that, for every real number bir, there is a unique number, called the additive inverse (or opposite), denoted−bir, that, when added to the original number, results in the additive identity, 0.

the additive inverse is 8, since ( −8 ) + 8 = 0.

inverse property of multiplication holds for all real numbers except 0 because the reciprocal of 0 is not defined. The property states that, for every real number bir, there is a unique number, called the multiplicative inverse (or reciprocal), denoted 1 a ,

that, when multiplied by the original number, results in the multiplicative identity, 1.

the reciprocal, denoted 1 a ,

The following properties hold for real numbers bir, b, ve c.

Addition Multiplication
Commutative Property a + b = b + a a ⋅ b = b ⋅ a
Associative Property a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a ( b c ) = ( a b ) c
Distributive Property a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
Identity Property There exists a unique real number called the additive identity, 0, such that, for any real number bir a + 0 = a There exists a unique real number called the multiplicative identity, 1, such that, for any real number bir a ⋅ 1 = a
Inverse Property Every real number a has an additive inverse, or opposite, denoted –a, such that a + ( − a ) = 0 Every nonzero real number bir has a multiplicative inverse, or reciprocal, denoted 1 a , such that a ⋅ ( 1 a ) = 1

Use the properties of real numbers to rewrite and simplify each expression. State which properties apply.

  1. 3 ⋅ 6 + 3 ⋅ 4
  2. ( 5 + 8 ) + ( −8 )
  3. 6 − ( 15 + 9 )
  4. 4 7 ⋅ ( 2 3 ⋅ 7 4 )
  5. 100 ⋅ [ 0.75 + ( −2.38 ) ]
  1. 3 ⋅ 6 + 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ ( 6 + 4 ) Distributive property = 3 ⋅ 10 Simplify = 30 Simplify
  2. ( 5 + 8 ) + ( −8 ) = 5 + [ 8 + ( −8 ) ] Associative property of addition = 5 + 0 Inverse property of addition = 5 Identity property of addition
  3. 6 − ( 15 + 9 ) = 6 + [ ( −15 ) + ( −9 ) ] Distributive property = 6 + ( −24 ) Simplify = −18 Simplify
  4. 4 7 ⋅ ( 2 3 ⋅ 7 4 ) = 4 7 ⋅ ( 7 4 ⋅ 2 3 ) Commutative property of multiplication = ( 4 7 ⋅ 7 4 ) ⋅ 2 3 Associative property of multiplication = 1 ⋅ 2 3 Inverse property of multiplication = 2 3 Identity property of multiplication
  5. 100 ⋅ [ 0.75 + ( − 2.38 ) ] = 100 ⋅ 0.75 + 100 ⋅ ( −2.38 ) Distributive property = 75 + ( −238 ) Simplify = −163 Simplify

Use the properties of real numbers to rewrite and simplify each expression. State which properties apply.

  1. ( − 23 5 ) ⋅ [ 11 ⋅ ( − 5 23 ) ]
  2. 5 ⋅ ( 6.2 + 0.4 )
  3. 18 − ( 7 −15 )
  4. 17 18 + [ 4 9 + ( − 17 18 ) ]
  5. 6 ⋅ ( −3 ) + 6 ⋅ 3
  1. 11, commutative property of multiplication, associative property of multiplication, inverse property of multiplication, identity property of multiplication
  2. 33, distributive property
  3. 26, distributive property
  4. 4 9 ,

commutative property of addition, associative property of addition, inverse property of addition, identity property of addition

Evaluating Algebraic Expressions

So far, the mathematical expressions we have seen have involved real numbers only. In mathematics, we may see expressions such as x + 5 , 4 3 π r 3 ,

5 is called a constant because it does not vary and x is called a variable because it does. (In naming the variable, ignore any exponents or radicals containing the variable.) An algebraic expression is a collection of constants and variables joined together by the algebraic operations of addition, subtraction, multiplication, and division.

We have already seen some real number examples of exponential notation, a shorthand method of writing products of the same factor. When variables are used, the constants and variables are treated the same way.

In each case, the exponent tells us how many factors of the base to use, whether the base consists of constants or variables.

Any variable in an algebraic expression may take on or be assigned different values. When that happens, the value of the algebraic expression changes. To evaluate an algebraic expression means to determine the value of the expression for a given value of each variable in the expression. Replace each variable in the expression with the given value, then simplify the resulting expression using the order of operations. If the algebraic expression contains more than one variable, replace each variable with its assigned value and simplify the expression as before.


2 Answers 2

The modulus operation as you have it is certainly not commutative: the output is dictated by the second term. E.g., $ 7\% 3 = 1$ (because the remainder when dividing $7$ by $3$ is $1$), but $3\%7 = 3$ (because the remainder when dividing $3$ by $7$ is $3$).

It is also not associative: $(7\%5)\%3 = 2\%3 = 2$, but $7\%(5\%3) = 7\%2 = 1$.

It does not really distribute either, but it does have a similar property. Namely, $(x+y)\% a = Bigl((x\%a)+(y\%a)Bigr) \%a.$ (For example, $(2+2)\%3 = 4\%3 = 1$, but $(2\%3)+(2\%3) = 2+2 = 4$, so you need to take the modulus operation again to get equality.

You can make substitutions. If $x\%a = b$, then for any polynomial expression with integer coefficients, $p(x)$ on $x$, we have that $p(x)\%a = p(b)\%a$.

The modulus operation is clumsy in general. What you really want to use is congruences (also known as modular arithmetic) instead, which are much better behaved and allow for much (but not all) of the usual manipulations that we are used to.

Yes. Assume $ m h_1 = (a^2 c_1 + a c_2 + c_3 mod a) $

then $ m: mod a!::$ $ m: h_1 equiv a^2 c_1 + a c_2 + c_3:$

thus $ m a c_2 + c_3equiv h_1 - a^2 c_1:$

thus $ m a(a c_2 + c_2) + c_4 equiv a ( h_1 - a^2 c_1) + c_4$

thus $ m ((a c_2 + c_2) + c_4 mod a) = (( h_1 - a^2 c_1) + c_4 mod a)$

Generally, as here, it is inconvenient to perform arithmetic using only normal forms (such as least equivalence class reps). Instead, convert to general equivalence classes, use general modular arithmetic and, if need be, convert back to normal forms reps only at the end of the computation. For example, to compute $ m:1/2: mod: 2n!+!1:$ it is easier to choose any even rep of $1,:$ for example $ m:2n!+!2equiv 1,:$ hence $ m:1/2equiv (2n!+!2)/2equiv n!+!1.$

This is familiar from fraction arithmetic. It'd be inconvenient to have to do all fraction arithmetic only with fractions in normal form (= lowest terms). For example, when adding fractions it is convenient to scale them to have a common denominator, then do the addition on these non-lowest term fractions, then, if need be, normalize the result to lowest terms.


The Associative Property in Math

According to the associative property, the addition or multiplication of a set of numbers is the same regardless of how the numbers are grouped. The associative property involves three or more numbers. The parentheses indicate the terms that are considered one unit. The groupings are within the parenthesis—hence, the numbers are associated together.

In addition, the sum is always the same regardless of how the numbers are grouped. Likewise, in multiplication, the product is always the same regardless of the grouping of the numbers. Always handle the groupings in the brackets first, according to the order of operations.


Videoyu izle: Madde ve Özellikleri - Konu Anlatımı (Ekim 2021).