Nesne

2.4: Mekanik Titreşimler - Matematik


Doğrusal ikinci mertebeden sabit katsayılı denklemlerin bazı uygulamalarına bakalım.

2.4.1 Bazı örnekler

İlk örneğimiz bir yay üzerinde bir kütle. Sabit bir duvara yay sabiti ( k > 0 ) (metre başına Newton olarak) olan bir yay ile bağlı bir kütlemiz (m > 0 ) (kilogram olarak) olduğunu varsayalım. Kütleye etki eden bir miktar dış kuvvet ( F(t) ) (newton cinsinden) olabilir. Son olarak, kütle zemin boyunca kayarken (veya belki de bağlı bir damper varken) ( c geq 0 ) (metre başına newton-saniye cinsinden) ile ölçülen bir miktar sürtünme vardır.

(x) kütlenin yer değiştirmesi olsun ( ( x = 0 ) hareketsiz konumdur), (x) sağa doğru (duvardan uzağa doğru) büyür. Yayın uyguladığı kuvvet, Hooke yasasına göre yayın sıkışmasıyla orantılıdır. Bu nedenle, negatif yönde (kx)'dir. Benzer şekilde, sürtünme tarafından uygulanan kuvvet miktarı, kütlenin hızı ile orantılıdır. Newton'un ikinci yasasına göre, kuvvetin kütle çarpı ivmeye eşit olduğunu biliyoruz ve bu nedenle ( mx'' = F(t) - cx' - kx ) veya

[mx'' + cx' + kx = F(t) ]

Bu lineer ikinci dereceden bir sabit katsayı ODE'dir. Bu denklem hakkında bazı terminoloji kurduk. hareket olduğunu söylüyoruz

  1. zorunlu, eğer ( F ot equiv 0) (eğer (F) aynı şekilde sıfır değilse),
  2. zorlamasız veya serbest, eğer (F equiv 0 ) (eğer (F) aynı şekilde sıfır ise),
  3. sönümlü, eğer ( c > 0 ) ve
  4. sönümsüz, eğer ( c = 0 ).

Şekil 2.1: ( sin heta ) ve ( heta ) (radyan cinsinden) grafikleri.

Bu nedenle, salınımlar küçük olduğunda, ( heta ) her zaman küçüktür ve davranışı daha basit doğrusal denklemle modelleyebiliriz.

[ { eta}'' + dfrac {g}{L} eta = 0 ]

Yaklaşımdan elde ettiğimiz hataların oluştuğuna dikkat edin. Dolayısıyla çok uzun bir süre sonra gerçek sistemin davranışı bizim çözümümüzden önemli ölçüde farklı olabilir. Ayrıca bir kütle-yay sisteminde genliğin periyottan bağımsız olduğunu göreceğiz. Bu bir sarkaç için doğru değildir. Bununla birlikte, oldukça kısa süreler ve küçük salınımlar için (örneğin sarkaç çok uzunsa), yaklaşıklık oldukça iyidir.

Gerçek dünya problemlerinde bu tür basitleştirmeleri yapmak çoğu zaman gereklidir. Bu nedenle, basitleştirmenin cevaplamaya çalıştığımız sorular bağlamında geçerli olup olmadığını görmek için durumun hem matematiğini hem de fiziğini anlamak iyidir.

2.4.2 Serbest sönümsüz hareket

Homojen olmayan denklemleri henüz çözemediğimiz için bu bölümde sadece serbest veya zorlamasız hareketi ele alacağız. ( c = 0 ) olan sönümsüz hareketle başlayalım. denklemimiz var

[ mx'' + kx = 0 ]

( m) ile bölersek ve (w_0 = sqrt { dfrac {k}{m} } ) yapalım, denklemi şu şekilde yazabiliriz:

[ x'' + w^2_0 x = 0 ]

Bu denklemin genel çözümü

[ x(t) = A cos (w_0t) + B sin (w_0t) ]

Bir trigonometrik özdeşliğe göre, iki farklı sabit (C) ve ( gamma için buna sahibiz), elimizde

[ A cos (w_0t) + B sin (w_0t) = C cos (w_0t - gamma ) ]

( C = sqrt { A^2 + B^2 } ) ve ( an gamma = dfrac {B}{A} ) olduğunu hesaplamak zor değil. Bu nedenle, (C) ve ( gamma )'nin keyfi sabitlerimiz olmasına izin veriyoruz ve ( x(t) = C cos (w_0t - gamma )) yazıyoruz.

Alıştırma (PageIndex{1}):

Yukarıdaki özdeşliği doğrulayın ve (C) ve ( gamma) için denklemleri doğrulayın. İpucu: ( cos (alpha - eta ) = cos ( alpha) cos (eta) + sin ( alpha) sin (eta) ) ile başlayın ve ( C ile çarpın ). O zaman ( alpha ) ve ( eta ) ne olması gerektiğini düşünün.

Başlangıç ​​koşullarını çözmek için ilk biçimi ( A) ve (B) ile kullanmak genellikle daha kolay olsa da, ikinci biçim çok daha doğaldır. (C) ve ( gamma) sabitlerinin çok güzel yorumları vardır. Çözümün şekline bakıyoruz

[ x(t) = C cos (w_0t - gamma )]

Genliğin ( C ), (w_0) (açısal) frekans olduğunu ve ( gamma )'nin sözde faz kayması olduğunu görebiliriz. Faz kayması sadece grafiği sola veya sağa kaydırır. Doğal (açısal) frekansı ( w_0) olarak adlandırıyoruz. Bu kurulumun tamamına genellikle basit harmonik hareket denir.

Frekans kelimesinden önce açısal kelimesini açıklamak için biraz duralım. (w_0) birimleri, olağan frekans ölçüsünde olduğu gibi birim zamandaki döngüler değil, birim zaman başına radyandır. Bir döngünün (2 pi) radyan olduğunu bildiğimiz için, olağan frekans ( dfrac {w_0}{ 2 pi} ) ile verilir. Bu sadece ( 2 pi) sabitini nereye koyduğumuzla ilgilidir ve bu bir zevk meselesidir.

Hareketin periyodu frekansın bir fazlasıdır (birim zamandaki döngü olarak) ve dolayısıyla ( dfrac {2 pi}{w_0} ). Bu, bir tam salınımı tamamlamak için gereken süredir.

Örnek (PageIndex{1}):

( m = 2kg ) ve (k = 8 dfrac {N}{m}) olduğunu varsayalım. Tüm kütle ve yay düzeni, ( 1 dfrac {m}{s} ) ile hareket eden bir kamyonun üzerinde oturuyor. Kamyon çarpar ve bu nedenle durur. Kütle, dinlenme pozisyonundan 0,5 metre ileride tutuldu. Çarpışma sırasında kütle gevşer. Yani kütle şimdi ( 1 dfrac {m}{s} ) hızında ilerlerken, yayın diğer ucu yerinde tutulur. Bu nedenle kütle salınım yapmaya başlar. Ortaya çıkan salınımın frekansı ve genliği nedir. Birimler mks birimleridir (metre-kilogram-saniye).

Kurulum, çarpma sırasında kütlenin pozitif yönde yarım metre olduğu ve yayın monte edildiği duvara göre kütlenin ( 1 dfrac {m}{'de) ileri (pozitif yönde) hareket ettiği anlamına gelir. s} ). Bu bize başlangıç ​​koşullarını verir.

Yani başlangıç ​​koşulları olan denklem

[ 2x'' + 8x = 0, x(0) = 0,5, x'(0) = 1 ]

Doğrudan ( w_0 = sqrt { dfrac {k}{m} } = sqrt {4} = 2 ) hesaplayabiliriz. Dolayısıyla açısal frekans 2'dir. Hertz cinsinden olağan frekans (saniyedeki devir sayısı) ( dfrac {2}{2 pi} = dfrac {1}{ pi} yaklaşık 0,318 ).

Genel çözüm

[ x(t) = A cos (2t) + B sin (2t) ]

( x(0) = 0,5 ) bırakmak, (A = 0,5 ) anlamına gelir. Sonra (x'(t) = -2(0.5) sin (2t) + 2B cos (2t) ). ( x'(0) = 1) vererek (B = 0.5) elde ederiz. Bu nedenle, genlik ( C = sqrt { A^2 + B^2} = sqrt { 0.25 + 0.25 } = sqrt {0.5} yaklaşık 0.707). Çözüm şudur

[ x(t) = 0,5 cos (2t) + 0,5 sin (2t) ]

( x(t) ) grafiği Şekil 2.2'de gösterilmiştir.

Şekil 2.2: Basit sönümsüz salınım.

Genel olarak, serbest sönümsüz hareket için formun bir çözümü

[ x(t) = A cos (w_0t) + B sin (w_0t) ]

( x(0) = A ) ve (x'(0) = w_0B) başlangıç ​​koşullarına karşılık gelir. Bu nedenle, başlangıç ​​koşullarından (A) ve (B)'yi bulmak kolaydır. Genlik ve faz kayması daha sonra (A) ve (B)'den hesaplanabilir. Örnekte, genliği (C) zaten bulduk. Faz kaymasını hesaplayalım. ( an gamma = dfrac {B}{A} = 1) olduğunu biliyoruz. 1'in arktanjantını alıyoruz ve yaklaşık olarak 0,785 alıyoruz. Hala bu ( gamma)'nın doğru kadranda olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor (ve değilse ( gamma'ya (pi) ekleyin). Hem (A) hem de (B) pozitif olduğundan, o zaman ( gamma) birinci çeyrekte olmalıdır ve 0,785 radyan gerçekten birinci çeyrektedir.

Not: Birçok hesap makinesi ve bilgisayar yazılımı, yalnızca arktanjant için atan işlevine sahip değildir, aynı zamanda bazen atan2 olarak adlandırılan işleve de sahiptir. Bu işlev, (B) ve (A) olmak üzere iki bağımsız değişken alır ve sizin için doğru kadranda bir ( gamma) döndürür.

2.4.3 Serbest Sönümlü Hareket

Şimdi sönümlü harekete odaklanalım. denklemi yeniden yazalım

[ mx'' + cx' + kx = 0 ]

gibi

[ x'' + 2px' + w^2_0x = 0 ]

nerede

[ w_0 = sqrt {dfrac {k}{m}}, p = dfrac {c}{2m} ]

karakteristik denklem

[ r^2 + 2pr + w^2_0 = 0 ]

İkinci dereceden formülü kullanarak köklerin olduğunu elde ederiz.

[ r = -p pm sqrt { p^2 - w^2_0} ]

Çözümün şekli, karmaşık kökler mi yoksa gerçek kökler mi aldığımıza bağlıdır. Gerçek kökleri ancak ve ancak aşağıdaki sayı negatif değilse alırız:

[ p^2 - w^2_0 = { ( dfrac {c}{2m} )}^2 - dfrac {k}{m} = dfrac {c^2 -4km}{4m^2} ]

( p^2 - w^2_0 ) işaretinin işareti, (c^2 - 4km) ile aynıdır. Böylece, ancak ve ancak ( c^2 - 4km ) negatif değilse veya başka bir deyişle ( c^2 ge 4km ) ise gerçek kökler elde ederiz.

Aşırı sönümleme

( c^2 - 4km > 0) olduğunda, sistemin aşırı sönümlü olduğunu söyleriz. Bu durumda, iki farklı gerçek kök (r_1) ve (r_2) vardır. Her iki kökün de negatif olduğuna dikkat edin. ( sqrt {p^2 - w^2_0} ) her zaman (P)'den küçük olduğundan, ( -P pm sqrt {P^2 - w^2_0}) negatiftir.

Çözüm [ x(t) = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}]

(r_1, r_2) negatif olduğundan, ( x(t) ightarrow 0 ) olarak (t ightarrow infty). Böylece zaman sonsuza giderken kütle durma konumuna yönelecektir. Farklı başlangıç ​​koşulları için birkaç örnek alan için (Şekil 2.3).

Şekil 2.3 Birkaç farklı başlangıç ​​koşulu için aşırı sönümlü hareket.

Hiçbir salınım olmadığını unutmayın. Aslında, grafik (x) eksenini en fazla bir kez kesecektir. Nedenini görmek için (0 = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t} ) çözmeye çalışıyoruz. Bu nedenle, ( C_1e^{r_1t} = -C_2e^{r_2t} ) ve üs yasalarını kullanarak elde ederiz

[ dfrac {-C_1}{C_2} = e^{{(r_2 - r_1)}t}]

Bu denklemin en fazla bir çözümü (t ge 0) vardır. Örnek grafiklerden de anlaşılacağı gibi, bazı başlangıç ​​koşulları için grafik asla (x) eksenini geçmez.

Örnek (PageIndex{2}):

Kütlenin dinlenmeden serbest bırakıldığını varsayalım. Bu ( x(0) = x_0 ) ve (x'(0) = 0 ). Sonra

[ x(t) = dfrac {x_0}{r_1 - r_2} (r_1e^{r_2t} - r_2e^{r_1t})]

Bunun başlangıç ​​koşullarını sağladığını görmek zor değil.

Kritik sönümleme

( c^2 - 4km = 0 ) olduğunda, sistemin kritik olarak sönümlü olduğunu söyleriz. Bu durumda, çokluk 2'nin bir kökü vardır ve bu kök ( -P). Bu nedenle, çözümümüz

[ x(t) = C_1e^{-pt} + C_2te^{-pt}]

Kritik olarak sönümlü bir sistemin davranışı, aşırı sönümlü bir sisteme çok benzer. Sonuçta kritik olarak sönümlü bir sistem, bir anlamda aşırı sönümlü sistemlerin bir sınırıdır. Bu denklemler aslında gerçek dünyaya sadece birer yaklaşım olduğu için, gerçekte hiçbir zaman eleştirel olarak sönümlenmiyoruz, sadece teoride ulaşabileceğimiz bir yer. Her zaman biraz az sönümlenmiş veya biraz fazla sönümlenmişizdir. Kritik sönümleme üzerinde durmamak daha iyidir.

Yetersiz sönümleme

Şekil 2.4: Gösterilen zarf eğrileri ile az sönümlü hareket.

( c^2 - 4km < 0 ) olduğunda, sistemin yetersiz sönümlü olduğunu söyleriz. Bu durumda, kökler karmaşıktır.

[ r = -p pm sqrt { p^2 - w^2_0} ]

[= -p pm sqrt {-1} sqrt {w^2_0 - p^2}]

[ = -p pm iw_1 ]

nerede ( w_1 = sqrt { w^2_0 - p^2 } ). bizim çözümümüz

[ x(t) = e^{-pt} ( A cos (w_1t) + B sin (w_1t) ]

veya

[ x(t) = Ce^{-pt} cos ( w_1t - gamma) ]

Örnek bir çizim Şekil 2.4'te verilmiştir. Hala ( x(t) ightarrow 0 ) olarak ( t ightarrow infty ) olduğuna dikkat edin.

Şekilde ayrıca ( Ce^{-pt} ) ve ( - Ce^{pt} ) zarf eğrilerini de gösteriyoruz. Çözüm, iki zarf eğrisi arasındaki salınan çizgidir. Zarf eğrileri, herhangi bir zaman noktasındaki salınımın maksimum genliğini verir. Örneğin, bungee jumping yapıyorsanız, kafanızla betona çarpmamak için zarf eğrisini hesaplamakla gerçekten ilgileniyorsunuz.

Faz kayması ( gamma) grafiği yalnızca sola veya sağa kaydırır, ancak zarf eğrileri içinde (( gamma) değişirse zarf eğrileri değişmez).

Son olarak, açısal sözde frekansın (çözüm gerçekte periyodik bir fonksiyon olmadığı için buna frekans demiyoruz) (w_1) sönümleme (c) (ve dolayısıyla (P)) olduğunda küçüldüğüne dikkat edin. daha büyük olur. Bu mantıklı. Sönümlemeyi biraz değiştirdiğimizde, çözümün davranışının önemli ölçüde değişmesini beklemiyoruz. (c)'yi büyütmeye devam edersek, o zaman bir noktada çözüm, salınımın olmadığı kritik sönümleme veya aşırı sönümleme çözümü gibi görünmeye başlamalıdır. Dolayısıyla, (c^2) (4km'ye yaklaşırsa, (w_1)'nin 0'a yaklaşmasını isteriz.

Öte yandan, (c) küçüldüğünde, (w_1) (w_0)'a yaklaşır ( (w_1) her zaman (w_0) 'dan küçüktür) ve çözüm gitgide daha çok şuna benzer. sönümsüz kasanın sabit periyodik hareketi. Zarf eğrileri (c) (ve dolayısıyla (P) ) 0'a giderken daha da düzleşir.


Yeraltı madenlerinde çatı cıvata deliği delme sırasında sondaj çubuklarının titreşiminin sayısal simülasyonu ve analizi

Bir yeraltı madeninde çatıdaki yapısal bozulma, kolayca çatının düşmesine neden olabilir ve bozulmanın tespit edilmesi zordur. Çatı cıvataları için delik delerken, delme çubuğunun titreşimi ile delinmekte olan kayanın özellikleri arasında bir ilişki vardır. Bu makale, titreşim teorisini kullanarak matkap çubuğundaki enine, boyuna ve burulma titreşimlerini analiz etmektedir. Üç tür titreşim için karakteristik indeksler belirlenir. Sonlu elemanlar analiz yazılımı ABAQUS kullanılarak, kuzey Çin'deki Guyuan Kömür Madeni'ndeki jeolojik ve madencilik koşullarına dayalı olarak çatı cıvata deliklerinin delinmesi sırasında sondaj çubuğu titreşimi için bir model oluşturuldu. Modelden elde edilen sonuçlar, kaya sertliği azaldıkça enine ve boyuna titreşimin azaldığını belirlemiştir. Azalan sırada, kumtaşı, kumlu çamurtaşı, çamurtaşı ve zayıf ara katmanlar, delinirken giderek daha az titreşime neden olur. Azalan burulma titreşimine neden olan tabakaların sıralaması biraz farklıdır, azalan sırada çamurtaşı, kumtaşı, kumlu çamurtaşı ve zayıf ara katmanlar vardır. Bu sonuçlar, tehlikeli çatı koşullarının ve cıvata destek şemalarının ayarlanmasına izin vermek için zayıf ara yatakların varlığının tahmin edilmesi için teorik bir temel sağlar.


Genel bakış

Açıklama

Bu başlık, Pearson Modern Classics serisinin bir parçasıdır. Pearson Modern Classics, uygun fiyata beğenilen oyunlardır. Lütfen ziyaret edin www.pearsonhighered.com/math-classics-series başlıkların tam listesi için.

Fen, mühendislik ve matematik öğrencilerinin kalkülüsten sonra aldıkları temel diferansiyel denklemlerdeki daha kısa geleneksel dersler için.

Geniş çapta benimsenen bu kitabın Altıncı Baskısı, her zaman olduğu gibi aynı klasik diferansiyel denklemler metni olarak kalır, ancak hem eğitmenlere hem de öğrencilere daha etkin bir şekilde hizmet etmek için cilalanmış ve keskinleştirilmiştir. Edwards ve Penney, öğrencilere ilk önce en sık ve ilginç uygulamalara sahip olan diferansiyel denklemleri çözmeyi öğretiyor. Temel varlık ve teklik teoremlerinin kesin ve net ifadeleri, bu konudaki rollerinin anlaşılmasını sağlar. Güçlü bir sayısal yaklaşım, sayısal yöntemlerin etkin ve güvenilir kullanımının genellikle standart temel teknikleri kullanan ön analiz gerektirdiğini vurgular.


MEMS ve Mikrosistemler: Tasarım, Üretim ve Nano Ölçekli Mühendislik, 2. Baskı

Mikroelektromekanik Sistemler, MEMS ve Mikrosistemlere yönelik bir mühendislik tasarımı yaklaşımı, teknolojinin hem elektriksel hem de mekanik yönlerini kapsayan mevcut tek metin olmaya devam etmektedir. İlk baskının yayınlanmasından bu yana geçen beş yıl içinde, mikrosistem teknolojisi ve nanoteknoloji dahil olmak üzere minyatürleştirme bilim ve teknolojisinde önemli değişiklikler olmuştur. Mühendislerin bu alanlarda temel bilgi ve deneyim kazanma konusundaki artan ihtiyaçlarına yanıt olarak, bu popüler metin, nano ölçekli mühendisliğin tanıtımına ilişkin tamamen yeni bir bölüm de dahil olmak üzere dikkatle güncellendi.

Nanoteknolojinin tarihine ve evrimine kısa bir girişin ardından yazar, nano ürünler üretmek için fabrikasyon teknikleri, moleküler dinamikte mühendislik tasarım ilkeleri ve nano ölçekli maddelerde akışkan akışları ve ısı iletimi dahil olmak üzere nanoyapıların mühendislik tasarımındaki temelleri ele almaktadır.

İkinci Baskının diğer önemli noktaları şunlardır:
*

Genişletilmiş mikrofabrikasyon kapsamı, ayrıca montaj ve paketleme teknolojileri
*

Mikrojiroskopların, minyatür mikrofonların ve ısı borularının tanıtımı
*

Termal olarak çalıştırılan çok katmanlı cihaz bileşenleri için tasarım metodolojileri
*

Popüler SU-8 polimer malzemesinin kullanımı

Anlamayı ve gerçek dünyadaki uygulamayı kolaylaştırmak için çok sayıda örnek, vaka çalışması ve uygulamalı problemlerle desteklenen İkinci Baskı, hem profesyoneller hem de üst düzey makine veya elektrik mühendisliği öğrencileri için önemli bir değer olacaktır.


Diferansiyel Denklemler - Matematik 3113Bölüm 004 ve 007

Nihai harf notunuz bir eğriye dayalı olacaktır (belirlenecek).

Hesap Makinesi Politikası

Sınav Tarihleri

Sınav 1: 30 Eylül Cuma
2. Sınav: 11 Kasım Cuma
Final Sınavı:
Bölüm 004 13 Aralık Salı, 4:30-6:30
Bölüm 007 12 Aralık Pazartesi, 1:30-3:30

Kaçırılan iş politikası

Akademik suistimal beyanı

Tüm şüpheli akademik suistimal vakaları, Üniversitenin Akademik Suistimal Yasası uyarınca kovuşturulmak üzere Fen Edebiyat Fakültesi Dekanına havale edilecektir. Cezalar oldukça ağır olabilir. yapma! Üniversitenin akademik suistimalle ilgili politikaları hakkında daha fazla bilgi için http://www.ou.edu/integrity/ adresini ziyaret edin.

Öğrenciler ayrıca http://judicial.ou.edu/ adresinde bulunabilecek olan OU Öğrenci Kodunun hükümlerine tabidir.

Engelli öğrenciler

Matematik Derslerinde Başarının Anahtarı

Ağ işi

Bilgisayar Atamaları

# Bitiş tarihi Görev Çözümler
1 9 Eylül Bilgisayar Projesi 1 eğimfield.m, graphslopefield.m, eğimfield.pdf
2 3 Ekim Bilgisayar Projesi 2
9/21 Düzeltme: 1. ve 3. problemlerdeki for döngüsünün son satırı x=xvals(i+1) olarak değiştirildi
çözümler
3 4 Kasım Bilgisayar Projesi 3 çözümler
3 7 Aralık Bilgisayar Projesi 4 çözümler (önce Instructions.txt dosyasını okuyun)

Günlük Müfredat

08/22: Bölüm 1.1: diferansiyel denklem örnekleri, genel çözümler, başlangıç ​​değer problemleri, kontrol çözümleri
08/24: Bölüm 1.1 devamı
08/26: Bölüm 1.2: y'=f(x) formundaki denklemlerin çözümleri

08/29: Bölüm 1.3: eğim alanları, çözümlerin grafik analizi, zamandan bağımsız denklemler dx/dt=f(x), denge çözümleri
08/31: Bölüm 1.3 devamı: çözümlerin tekliği ve varlığı, Bölüm 1.4: ayrılabilir denklemler, y'=f(x)g(y), Webwork 1, saat 22'de teslim edilecek
09/02: Newton'un soğutma ve ısıtma yasası, basit bir hava direnci modeli, 1. Sınav, çözümler

09/05: Sınıf yok
09/07: Bölüm 1.5: Birinci mertebeden lineer denklemler, integral alma faktörü tekniği
09/09: Bölüm 1.5 devamı: karışım problemleri, Bölüm 1.6: kesin ODE'ler Webwork 2, saat 22'de teslim edilecek, Bilgisayar Projesi 1 sınıfta teslim edilecek, 2. Sınav, çözümler

09/12: Bölüm 1.6: tam diferansiyel denklemler
09/14: Bölüm 1.6: ikame yöntemleri, Webwork 3, saat 22'de teslim edilecek
09/16: Bölüm 2.4: Euler'in yöntemi, Test 3, çözümler

09/19: Bölüm 2.5: İyileştirilmiş Euler yöntemi
09/21: Bölüm 2.1: Lojistik Denklem, Webwork 4, saat 22'de teslim edilecek
09/23: Bölüm 2.2: Faz diyagramları, kararlılık, çatallanma, Test 4, 007 çözümler, 004 çözümler

09/26: Bölüm 1.6 ve 2.3'ün bölümleri: Evrensel yerçekimi, potansiyel enerji
09/28: İnceleme, Webwork 5, saat 22'de teslim edilecek
09/30: 1. Ara Sınav - Bölüm 1 ve 2, Çözümler 004, Çözümler 007'yi kapsar

10/03: Bölüm 3.1: İkinci Dereceden Lineer Denklemlere Giriş
10/05: Bölüm 3.1-3.3: Sabit katsayılı homojen ikinci mertebeden lineer denklemler Sınıfta teslim edilmesi gereken yazılı ödev: Bölüm 2.2: 21, 23, 24, Bölüm 2.3: 27, ağ çalışması yok, ödev çözümleri
10/07: Sınıf yok

10/10: Sabit katsayılı yüksek mertebeden denklemler
10/12: Wronskiciler, lineer bağımsızlık, varoluş tekliği Webwork 7, saat 22'de teslim edilecek
10/14: Bölüm 3.4: Mekanik titreşimler Test 5 (Webwork 7'yi kapsar), 004 çözümleri, 007 çözümleri

10/17: Mekanik titreşimler devam ediyor
10/19: Mekanik titreşimler devam etti, pound içeren birimlerde düzeltme
10/21: Bölüm 2.6: Runge-Kutta yöntemi, Webwork 8, saat 22'de teslim edilecek, quiz 6 çözümleri

10/24: Runge-Kutta yöntemi devam ediyor, sınıf gösterimi, Sınav 6 sınıfta yapılacak, çözümler
10/26: Bölüm 3.5: Homojen olmayan denklemler Webwork 9, akşam 10'da teslim edilecek
10/28: Homojen olmayan denklemler devam ediyor, Test 7, çözümler

10/31: Homojen olmayan denklemler devam ediyor
11/02: Bölüm 4.1: Birinci dereceden sistemler, ağ çalışması Cuma gününe ertelendi
11/04: Sistemler devam ediyorSınav 8, 007 çözümler, 004 çözümler, Webwork 10, saat 10'da teslim edilecek

11/07: Bölüm 4.2: Eleme yöntemi
11/09: Eleme devam etti, ağ çalışması yok
11/11: Ara Sınav 2 - Bölüm 3.1-3.5'i kapsar, 004 çözümler, 007 çözümler

11/14: Bölüm 4.3: Sayısal yöntemler, bazı örnek kodlar, bazı basit vektör komutları
11/16: Sayısal yöntemlere devam Webwork 11, saat 22'de teslim edilecek
11/18: Evrensel yerçekimi Test 9, çözüm

11/21: Bölüm 5.1: Doğrusal Sistemlere Giriş

11/28: Bölüm 5.2: Sistemler için özdeğer yöntemi
11/30: Özdeğer yöntemi devam ediyor, ağ çalışması yok
12/2: Özdeğer yöntemi devam ediyor, sınav yok

12/5: Bölüm 7: Laplace dönüşümü
12/7: Laplace dönüşümü, Bilgisayar Projesi 4 sınıfta teslim edilecek
12/9: Laplace dönüşümü, 10. Sınav, çözüm, Webwork 12, saat 22'de teslim edilecek


Makine Mühendisliği Konuları listesi

Aşağıda Makine Mühendisliği Konularının listesi bulunmaktadır -

1. Termodinamik

Termodinamik, ısı, iş ve enerji arasındaki ilişkilerle ilgilenir. Mühendisler, mekanik bir sistem oluştururken termodinamik yasaları kullanırlar. Bu konu termodinamik, ısı, iş ve enerji yasaları hakkında ayrıntılı bilgi verir.

2. Malzeme Bilimi

Malzeme bilimi, ürünün yapımı ve imalatı için malzemenin özellikleri ve uygulamasıyla ilgilenir. Bu konu, mikroskobik düzeyde malzemenin farklı yapılarıyla ilgilidir. Öğrenciler bu konuda atomik yapı, bağ, Kristalografi, Nanoyapı, Mikroyapı, Makroyapı vb. konuları öğrenirler.

3.Makinenin Kinematiği ve Dinamiği

Kuvvetlerle veya kuvvetlerle ilgili olmayan cisimlerin hareketinin incelenmesi ile ilgilenir.

4.Mekanik Çizim

MD teknik bir çizimdir. Mühendislerin ürünü görselleştirmesine yardımcı olan bir tür görsel dildir. MD'de mühendisler, ürünün birinci açı ve üçüncü açı projeksiyonunu sayfaya çizer. Mühendisler, ürünü çizmek için çeşitli semboller, birimler ve Teknik ilkeler kullanır. Mekanik Çizimde öğrenciler tüm bu çizim tekniklerini öğrenir, kullanır ve uygular.

5.Üretim Süreci

Bu derste öğrenciler, ürünlerin üretimi için gerekli olan çeşitli İmalat tekniklerini ve süreçlerini öğrenirler.

6.Makine Tasarımı

Makine tasarımı, mühendislik teknikleri ve ilkeleri yardımıyla yeni bileşenlerin ve mekanik sistemin yapımıyla ilgilenir.

7.Akışkanlar Mekaniği

Akışkanlar mekaniği, durgun ve hareket halindeki akışkanın incelenmesiyle ilgilenir.

8. Malzeme Mukavemeti

Malzemenin mukavemeti, malzemenin kuvvetleri ve deformasyonları ile ilgilidir. Malzemenin mukavemet, plastisite ve elastikiyet gibi özellikleri hakkında detaylı bilgi verir.

Makine Mühendisliği Konuları

2.4: Mekanik Titreşimler - Matematik

Şok ve Titreşim El Kitabı
Sayfalar 1768
Clarence W. De Silva
Genel Yayın Yönetmeni

Bu el kitabında teori ve pratik uygulamaya eşit ağırlık verilmektedir. Bölümler temel bilgiler, temel teori, ileri teori, analitik teknikler, sayısal teknikler, deneysel teknikler, tasarım metodolojisi, pratik problemler ve çözümler, uygulamalar, düzenleyici hususlar ve faydalı veriler olarak gruplandırılmıştır. Analitik formülasyonlar, sayısal yöntemler, tasarım yaklaşımları, kontrol teknikleri ve ticari yazılım araçları sunulur ve gösterilir. Ticari ekipman, bilgisayar donanımı ve enstrümantasyon, saha uygulaması, pratik uygulama ve deney için tanımlanmış, analiz edilmiş ve gösterilmiştir. Dahil edilen bilgilerin kullanımını ve uygulanmasını göstermek için el kitabı boyunca örnekler ve vaka çalışmaları verilmiştir. Materyal, kolay başvuru ve hatırlama için uygun bir formatta sunulmaktadır.

Mekanik titreşim, sistemdeki bileşenler arasındaki kinetik ve potansiyel enerjilerin tekrarlayan değişiminin veya salınımlı zorlayıcı bir uyarmanın bir sonucu olarak mekanik sistemlerde salınım davranışının bir tezahürüdür. Bu tür salınım tepkileri yalnızca mekanik sistemlerle sınırlı değildir ve elektrik ve sıvı sistemlerinde de bulunur. Bununla birlikte, tamamen termal sistemlerde, serbest doğal salınımlar mümkün değildir ve bir salınım tepkisi elde etmek için bir salınımlı uyarım gereklidir. Şok, kısa, ani ve tipik olarak yüksek yoğunluklu uyarıların neden olduğu titreşimdir. Ses, gürültü ve akustik, kaynakları genellikle titreşimli dinamik sistemler olan basınç dalgalarının tezahürleridir.

Düşük titreşim seviyeleri, daha az gürültü ve daha iyi bir çalışma ortamı anlamına gelir. Titreşim modifikasyonu ve kontrolü, yüksek performans ve üretim verimliliğinin korunmasında ve endüstriyel makinelerde kullanım ömrünün uzatılmasında çok önemli olabilir. Sonuç olarak, günümüzde makine bileşenleri, takım tezgahları, toplu taşıma araçları, darbe süreçleri, inşaat mühendisliği yapıları, akışkan akış sistemleri ve uçaklar tarafından üretilen titreşim ve şokun incelenmesi ve kontrol edilmesi için önemli bir çaba harcanmaktadır. Gürültü ve akustik problemler, örneğin otomobil motorlarında olduğu gibi, istenmeyen titreşimlerden ve sıvı & ndash yapı etkileşimlerinden kaynaklanabilir. Bir araçtaki motor gürültüsü, çevresel gürültü ve yüksek hızlı ve yüksek sıcaklıktaki egzoz gazlarından kaynaklanan gürültü, yalnızca yolcuların rahatsızlığına ve halkın rahatsız olmasına neden olmakla kalmaz, aynı zamanda aracın kendisine de zarar veren etkilere neden olur. Bu tür durumlarda gürültü bastırma yöntemleri ve cihazları ile ses yutucu malzeme ve yapılar çok önemlidir. İyi bir titreşim veya akustik performans için bir sistem tasarlamadan veya kontrol etmeden önce, sistemin dinamik özelliklerini anlamak, analiz etmek ve temsil etmek önemlidir. Bu, tamamen analitik yollarla, analitik modellerin bilgisayar analizi, test verilerinin test edilmesi ve analizi veya bu yaklaşımların bir kombinasyonu ile gerçekleştirilebilir. Modelleme, analiz, test ve tasarımın tümü, titreşim, şok ve akustikte çalışmanın önemli yönleridir.

BÖLÜM I Temel Bilgiler ve Analiz
1 Zaman Alanı Analizi Clarence W. de Silva 1-1
1.1 Tanıtım . 1-1
1.2 Sönümsüz Osilatör .. 1-2
1.3 Ağır Yaylar 1-12
1.4 Akışkan Sistemlerinde Salınımlar.. 1-14
1.5 Sönümlü Basit Osilatör 1-16
1.6 Zorunlu Tepki .. 1-27
2 Frekans Alanı Analizi Clarence W. de Silva .. 2-1
2.1 Giriş . 2-1
2.2 Harmonik Uyarımlara Tepki . 2-2
2.3 Dönüşüm Teknikleri .. 2-14
2.4 Mekanik Empedans Yaklaşımı . 2-25
2.5 İletilebilirlik Fonksiyonları . 2-31
2.6 Alım Yöntemi 2-37
Ek 2A Dönüşüm Teknikleri .. 2-40
3 Modal Analiz Clarence W. de Silva . 3-1
3.1 Giriş . 3-1
3.2 Serbestlik Derecesi ve Bağımsız Koordinatlar 3-2
3.3 Sistem Temsili 3-4
3.4 Modal Titreşimler 3-10
3.5 Doğal Modların Ortogonalliği .. 3-14
3.6 Statik Modlar ve Sert Gövde Modları . 3-15
3.7 Diğer Modal Formülasyonlar.. 3-22
3.8 Zorlanmış Titreşim . 3-28
3.9 Sönümlü Sistemler . 3-32
3.10 Durum-Uzay Yaklaşımı .. 3-36
Ek 3A Lineer Cebir 3-41
4 Dağıtılmış Parametre Sistemleri Clarence W. de Silva 4-1
4.1 Giriş . 4-1
4.2 Kabloların Enine Titreşimleri . 4-2
4.3 Çubukların Boyuna Titreşimleri .. 4-13
4.4 Millerin Burulma Titreşimi .. 4-19
4.5 Kirişlerin Eğilme Titreşimi . 4-26
4.6 Sönümlü Sürekli Sistemler . 4-50
4.7 Zarların ve Plakaların Titreşimi 4-52
5 Rastgele Titreşim Haym Benaroya . 5-1
5.1 Rastgele Titreşim 5-1
5.2 Tek Serbestlik Derecesi: Rastgele Yüklere Tepki 5-2
5.3 İki Rastgele Yüke Tepki . 5-7
5.4 Çok Serbestlik Dereceli Titreşim .. 5-12
5.5 Çok Serbestlik Derecesi: Rastgele Yüklere Tepki . 5-17
5.6 Sürekli Sistem Rastgele Titreşim 5-29

BÖLÜM II Bilgisayar Teknikleri
6 Sayısal Teknikler Marie D. Dahleh .. 6-1
6.1 Giriş . 6-1
6.2 Tek Serbestlik Dereceli Sistem .. 6-2
6.3 İki veya Daha Fazla Serbestlik Derecesine Sahip Sistemler 6-8
6.4 Sürekli Sistem İçin Sonlu Farklar Yöntemi . 6-11
6.5 Matris Yöntemleri 6-14
6.6 Temel Frekans için Yaklaşım Yöntemleri 6-18
6.7 Sonlu Elemanlar Yöntemi 6-20
7 Titreşim Modelleme ve Yazılım Araçları Datong Song, Cheng Huang ve Zhong-Sheng Liu .. 7-1
7.1 Giriş . 7-1
7.2 Formülasyon . 7-2
7.3 Titreşim Analizi . 7-9
7.4 Ticari Yazılım Paketleri .. 7-13
7.5 Titreşim Analizinin Temel Prosedürü . 7-16
7.6 Bir Mühendislik Vaka Çalışması .. 7-19
7.7 Yorumlar .. 7-21
8 Esnek Desteklenen Çok Gövdeli Sistemlerin Bilgisayar Analizi İbrahim Esat ve M. Dabestani 8-1
8.1 Giriş . 8-1
8.2 Teori . 8-2
8.3 Sayısal Bir Örnek . 8-7
8.4 Bir Endüstriyel Titreşim Tasarım Problemi. 8-11
8.5 Programlama Hususları . 8-16
8.6 TİTREŞİM .. 8-17
8.7 Analiz . 8-24
8.8 Yorumlar .. 8-31
Ek 8A Bölüm 8.3'teki Sayısal Örnek için VIBRATIO Çıktısı .. 8-32
Dinamikte 9 Sonlu Eleman Uygulaması Mohamed S. Gadala 9-1
9.1 Problem ve Eleman Sınıflandırması .. 9-2
9.2 Analiz Türleri . 9-20
9.3 Dinamik Analiz için Modelleme Unsurları .. 9-23
9.4 Hareket Denklemleri ve Çözüm Yöntemleri . 9-27
9.5 Çeşitli Dinamik Analizler 9-33
9.6 Dinamik FE Analizi için Kontrol Listesi . 9-41
10 Titreşim Sinyali Analizi Clarence W. de Silva 10-1
10.1 Giriş 10-1
10.2 Frekans Spektrumu .. 10-2
10.3 Sinyal Tipleri 10-7
10.4 Fourier Analizi 10-7
10.5 Rastgele Sinyallerin Analizi .. 10-18
10.6 Sinyal Analizinin Diğer Konuları .. 10-26
10.7 Örtüşen İşleme .. 10-28
11 Dalgacıklar ve Kavramlar ve Uygulamalar Pol D. Spanos, Giuseppe Failla ve Nikolaos P. Politis . 11-1
11.1 Giriş 11-1
11.2 Zaman &ndash Frekans Analizi . 11-2
11.3 Stokastik Süreçlerin Zamana Bağlı Spektrum Tahmini .. 11-11
11.4 Rastgele Alan Simülasyonu .. 11-14
11.5 Sistem Tanımlama .. 11-15
11.6 Hasar Tespiti 11-17
11.7 Malzeme Karakterizasyonu 11-18
11.8 Son Sözler .. 11-19

BÖLÜM III Şok ve Titreşim
12 Mekanik Şok Christian Lalanne 12-1
12.1 Tanımlar . 12-2
12.2 Zaman Alanındaki Açıklama . 12-3
12.3 Şok Tepki Spektrumu . 12-4
12.4 Piroşoklar 12-17
12.5 Şok Tepki Spektrumunun Kullanımı 12-18
12.6 Standartlar .. 12-24
12.7 Hasar Sınırı Eğrisi 12-26
12.8 Şok Makineleri . 12-28
12.9 Çalkalayıcılar Kullanılarak Şok Oluşturulması . 12-44
12.10 Şok Tepki Spektrumu ile Kontrol 12-52
12.11 Piroteknik Şok Simülasyonu . 12-58
13 İnşaat Mühendisliği Yapılarının Titreşim ve Şok Problemleri Priyan Mendis ve Tuan Ngo .. 13-1
13.1 Giriş 13-2
13.2 Yapıların Depreme Bağlı Titreşimleri 13-3
13.3 Rüzgar Yüklemesinin Yapılar Üzerindeki Dinamik Etkileri . 13-22 13.4
Akışkan Yapısı Etkileşiminden Kaynaklanan Titreşimler 13-33 13.5
Patlama Yüklemesi ve Yapılardaki Patlama Etkileri 13-34 13.6
Darbe Yükleniyor. 13-47 13,7
Zemin Titreşim .. 13-51 14
Betonarme Yapılar Y.L. Pt 14-1 14.1
Giriş 14-1 14.2
Analitik Modeller 14-6 14.3
Harmonik Uyarımlar Altındaki Kirişler . 14-18 14.4
Patlamalar/Şoklar için Tasarım .. 14-21

BÖLÜM IV Enstrümantasyon ve Test
15 Titreşim Enstrümantasyon Clarence W. de Silva 15-1
15.1 Giriş 15-1
15.2 Titreşim Uyarıcıları 15-3
15.3 Kontrol Sistemi .. 15-15
15.4 Performans Spesifikasyonu .. 15-21
15.5 Hareket Sensörleri ve Dönüştürücüler 15-27
15.6 Tork, Kuvvet ve Diğer Sensörler . 15-50
Ek 15A Veri Toplama, Analiz ve Sunum için Sanal Enstrümantasyon 15-73
16 Sinyal Koşullandırma ve Modifikasyon Clarence W. de Silva . 16-1
16.1 Giriş 16-2
16.2 Amplifikatörler 16-2
16.3 Analog Filtreler .. 16-15
16.4 Modülatörler ve Demodülatörler 16-29
16.5 Analog & ndash Dijital Dönüşüm 16-37
16.6 Köprü Devreleri 16-43
16.7 Doğrusallaştırma Cihazları . 16-49
16.8 Muhtelif Sinyal Modifikasyon Devresi .. 16-56
16.9 Sinyal Analizörleri ve Görüntüleme Cihazları . 16-62
17 Titreşim Testi Clarence W. de Silva . 17-1
17.1 Giriş 17-1
17.2 Titreşim Ortamının Temsili .. 17-3
17.3 Ön Test Prosedürleri 17-24
17.4 Test Prosedürleri 17-37
17.5 Bazı Pratik Bilgiler.. 17-52
18 Deneysel Model Analizi Clarence W. de Silva . 18-1
18.1 Giriş 18-1
18.2 Frekans Alanı Formülasyonu .. 18-2
18.3 Deneysel Model Geliştirme .. 18-8
18.4 Transfer Fonksiyonlarının Eğri Uydurma . 18-10
18.5 Laboratuvar Deneyleri .. 18-18
18.6 Ticari EMA Sistemleri . 18-24

BÖLÜM V Titreşim Bastırma ve Kontrol
19 Titreşim Sönümleme Clarence W. de Silva .. 19-1
19.1 Giriş 19-1
19.2 Sönüm Çeşitleri .. 19-2
19.3 Titreşim Analizinde Sönümün Temsili 19-9
19.4 Sönüm Ölçümü .. 19-16
19.5 Arayüz Sönümlemesi 19-26
20 Sönüm Teorisi Randall D. Peters 20-1
20.1 Önsöz .. 20-2
20.2 Giriş 20-4
20.3 Arkaplan .. 20-12
20.4 Histerezis &mdash Daha Fazla Detay . 20-19
20.5 Sönümleme Modelleri .. 20-20
20.6 Sönüm Ölçümleri 20-23
20.7 Histeretik Sönümleme 20-27
20.8 Ortak Teorinin Başarısızlığı .. 20-29
20.9 Hava Etkisi 20-30
20.10 Gürültü ve Sönümleme 20-31
20.11 Dönüştürme Yöntemleri . 20-34
20.12 Histeretik Sönümleme 20-36
20.13 İç Sürtünme 20-41
20.14 Matematiksel Hileler & mdash Lineer Sönümleme Yaklaşımları 20-43
20.15 İç Sürtünme Fiziği.. 20-44
20.16 Zener Modeli 20-45
20.17 Evrensel Bir Sönüm Modeline Doğru . 20-48
20.18 Doğrusal olmama . 20-58
20.19 Son Söz 20-65
Randall D. Peters'ı Sönümlemede 21 Deneysel Teknik . 21-1
21.1 Elektronik Hususlar .. 21-2
21.2 Veri İşleme 21-3
21.3 Sensör Seçenekleri .. 21-7
21.4 Sönümleme Örnekleri 21-8
21.5 Sönümlemeli Tahrikli Osilatörler .. 21-19
21.6 Çoklu Doğrusal Olmayan Osilatör . 21-21
21.7 Çoklu Titreşim Modları 21-24
21.8 Mekanik Gürültünün Kaynağı Olarak İç Sürtünme . 21-28
21.9 Viskoz Sönümleme ve Dikkat Edilmesi Gerekenler . 21-29
21.10 Hava Etkisi 21-31
22 Yapı ve Ekipman Yalıtımı Y.B. Yang, L.Y. Lu ve J.D. Yau. 22-1
22.1 Giriş 22-2
22.2 Taban İzoleli Sistemlerin Mekanizmaları 22-4
22.3 Elastomerik Rulmanlı Yapı ve Donanım Sistemleri .. 22-9
22.4 Kayar Yalıtım Sistemleri . 22-17
22.5 Esnek Mekanizmalı Kayar Yalıtım Sistemleri . 22-36
22.6 Sismik İzolasyon Tasarımına İlişkin Hususlar .. 22-50
23 Titreşim Kontrolü Nader Jalili ve Ebrahim Esmailzadeh 23-1
23.1 Giriş 23-1
23.2 Titreşim Kontrol Sistemleri Konsepti 23-4
23.3 Titreşim Kontrol Sistemleri Tasarımı ve Uygulaması 23-12
23.4 Pratik Hususlar ve İlgili Konular .. 23-38
24 Helikopter Rotor Ayarı Kourosh Danai . 24-1
24.1 Giriş 24-1
24.2 Sinir Ağı Tabanlı Ayarlama 24-4
24.3 Olasılığa Dayalı Ayarlama .. 24-5
24.4 Uyarlanabilir Ayarlama .. 24-8
24.5 Vaka Çalışması . 24-12
24.6 Sonuç 24-17

BÖLÜM VI İzleme ve Tanılama
25 Makine Durumu İzleme ve Arıza Teşhisi Chris K. Mechefske .. 25-1
25.1 Giriş 25-2
25.2 Makina Arızası .. 25-2
25.3 Temel Bakım Stratejileri .. 25-4
25.4 Bakım Stratejisini Etkileyen Faktörler 25-7
25.5 Makine Durumu İzleme 25-8
25.6 Dönüştürücü Seçimi .. 25-10
25.7 Dönüştürücü Konumu 25-14
25.8 Kayıt ve Analiz Enstrümantasyonu .. 25-14
25.9 Görüntü Formatları ve Analiz Araçları . 25-16
25.10 Arıza Tespiti.. 25-21
25.11 Arıza Teşhisi .. 25-25
26 Titreşime Dayalı Takım Durumu İzleme Sistemleri C. Scheffer ve P.S. Selamlar.. 26-1
26.1 Giriş 26-1
26.2 Torna Mekaniği .. 26-2
26.3 Titreşim Sinyali Kaydı .. 26-7
26.4 Sensör Tabanlı Takım Durumu İzleme için Sinyal İşleme .. 26-11
26.5 Sensör Tabanlı Takım Durumu İzleme için Aşınma Modeli/Karar Verme . 26-15
26.6 Sonuç 26-20
27 Helikopter Şanzımanlarının Arıza Teşhisi Kourosh Danai 27-1
27.1 Giriş 27-1
27.2 Anormallik Ölçeklendirme .. 27-5
27.3 Yapı Tabanlı Bağlantıcı Ağ 27-8
27.4 Sensör Konumu Seçimi 27-11
27.5 Bir Vaka Çalışması 27-14
27.6 Sonuç 27-23
28 Hassas Hareket Sistemlerinde Titreşim Bastırma ve İzleme K.K. Tan, T.H. Lee, K.Z. Tang, S. Huang, S.Y. Lim, W. Lin ve Y.P. Aslan .. 28-1
28.1 Giriş 28-1
28.2 Titreşimi En Aza İndirecek Mekanik Tasarım . 28-2
28.3 Uyarlanabilir Çentik Filtresi . 28-10
28.4 Gerçek Zamanlı Titreşim Analiz Cihazı .. 28-17
28.5 Pratik Görüşler ve Vaka Çalışması .. 28-29
28.6 Sonuçlar .. 28-35

BÖLÜM VII Sismik Titreşim
29 Sismik Taban İzolasyonu ve Titreşim Kontrolü Hirokazu Iemura, Sarvesh Kumar Jain ve Mulyo Harris Pradono .. 29-1
29.1 Giriş 29-1
29.2 Sismik Taban İzolasyonu .. 29-4
29.3 Sismik Titreşim Kontrolü .. 29-33
30 Uzun Açıklıklı Yapıların Sismik Rastgele Titreşimleri Jiahao Lin ve Yahui Zhang 30-1
30.1 Giriş 30-2
30.2 Sismik Rastgele Uyarma Alanları . 30-11
30.3 Yapısal Rastgele Titreşim Analizi için Sözde Uyarma Yöntemi 30-16
30.4 Sabit Rastgele Yer Uyarımlarına Maruz Kalan Uzun Açıklıklı Yapılar 30-27
30.5 Durağan Olmayan Rastgele Yer Uyarımlarına Maruz Kalan Uzun Açıklıklı Yapılar.. 30-34
30.6 Sonuçlar .. 30-39
31 Ekipmanın Sismik Kalifikasyonu Clarence W. de Silva 31-1
31.1 Giriş 31-1
31.2 Dağıtım Kalifikasyonu . 31-1
31.3 Sismik Yeterlilik 31-6

BÖLÜM VIII Tasarım ve Uygulamalar
32 Titreşim Tasarımı ve Kontrolü Clarence W. de Silva .. 32-1
32.1 Giriş 32-2
32.2 Titreşim Limitlerinin Belirlenmesi .. 32-3
32.3 Titreşim İzolasyonu . 32-5
32.4 Dönen Makinaların Dengelenmesi .. 32-15
32.5 Pistonlu Makinaların Dengelenmesi . 32-26
32.6 Millerin Dönmesi 32-33
32.7 Modal Test Yoluyla Tasarım . 32-39
32.8 Titreşimin Pasif Kontrolü . 32-45
32.9 Titreşimin Aktif Kontrolü .. 32-61
32.10 Kiriş Titreşimlerinin Kontrolü .. 32-67
Ek 32A MATLAB Kontrol Sistemleri Araç Kutusu .. 32-73
33 Yapısal Dinamik Modifikasyon ve Duyarlılık Analizi Su Huan Chen .. 33-1
33.1 Giriş 33-2
33.2 Sonlu Eleman Modelinin Yapısal Dinamik Modifikasyonu 33-2
33.3 Titreşim Modlarının Pertürbasyon Yöntemi .. 33-4
33.4 Yapısal Titreşim Modlarının Tasarım Duyarlılık Analizi . 33-8
33.5 Modların Duyarlılık Analizi için Yüksek Doğruluklu Modal Süperpozisyon .. 33-11
33.6 Serbest Yapılar İçin Özvektörlerin Duyarlılığı . 33-13
33.7 Tekrarlı Modlar için Matris Pertürbasyon Teorisi .. 33-14
33.8 Yakın Aralıklı Özdeğerler için Matris Pertürbasyon Yöntemi . 33-16
33.9 Karmaşık Modlar için Matris Pertürbasyon Teorisi .. 33-22
34 Dönen Makinalarda Titreşim H. Sam Samarasekera 34-1
34.1 Giriş 34-1
34.2 Titreşim Temelleri 34-6
34.3 Rotordinamik Analiz . 34-18
34.4 Titreşim Ölçümü ve Teknikleri.. 34-39
34.5 Titreşim Kontrolü ve Teşhisi .. 34-39
35 Takım Tezgahlarında Rejeneratif Gıcırdama Robert G. Landers . 35-1
35.1 Giriş 35-1
35.2 Torna İşlemlerinde Gevezelik .. 35-3
35.3 Yüzey Frezeleme İşlemlerinde Gevezelik . 35-9
35.4 Zaman Alanı Simülasyonu .. 35-14
35.5 Chatter Tespiti . 35-18
35.6 Gevezelik Bastırma 35-20
35.7 Vaka Çalışması . 35-24
36 Akışkan Kaynaklı Titreşim Seon M. Han . 36-1
36.1 Okyanus Çevresinin Tanımı 36-1
36.2 Akışkan Kuvvetleri .. 36-16
36.3 Örnekler .. 36-23

BÖLÜM IX Akustik
37 Ses Düzeyleri ve Desibel S. Akishita .. 37-1
37.1 Giriş 37-1
37.2 Ses Dalgası Özellikleri . 37-1
37.3 Düzeyler ve Desibel 37-3
38 İşitme ve Psikolojik Etkiler S. Akishita 38-1
38.1 Giriş 38-1
38.2 Kulağın Yapısı ve İşlevi 38-1
38.3 Frekans ve Ses Yüksekliği Tepkisi . 38-2
38.4 İşitme Kaybı .. 38-4
38.5 Gürültünün Psikolojik Etkileri . 38-4
39 Gürültü Kontrol Kriterleri ve Düzenlemeleri S. Akishita . 39-1
39.1 Giriş 39-1
39.2 Gürültü Politikasının Arkasındaki Temel Fikirler . 39-1
39.3 Mevzuat .. 39-2
39.4 Yönetmelik .. 39-4
39.5 Gürültü Değerlendirme Ölçüleri . 39-5
40 Enstrümantasyon Kiyoshi Nagakura . 40-1
40.1 Ses Yoğunluğu Ölçümü 40-1
40.2 Mirror&ndash Mikrofon Sistemi 40-4
40.3 Mikrofon Dizisi .. 40-6
41 Gürültünün Kaynağı S. Akishita .. 41-1
41.1 Giriş 41-1
41.2 Ses Yayılımı 41-1
42 Absorpsiyon Tasarımı Teruo Obata .. 42-1
42.1 Giriş 42-1
42.2 Ses Soğurmanın Temelleri .. 42-2
42.3 Ses Emici Malzemeler .. 42-3
42.4 Bileşik Duvarın Akustik Karakteristik Hesabı .. 42-6
42.5 Astarlı Kanalların Zayıflaması 42-10
42.6 Dağıtıcı Susturucuların Zayıflaması .. 42-12
42.7 Genel Hususlar . 42-15
42.8 Dağıtıcı Susturucunun Pratik Örneği .. 42-17
43 Reaktif Susturucuların Tasarımı Teruo Obata 43-1
43.1 Giriş 43-1
43.2 Temel Denklemler.. 43-2
43.3 Reaktif Susturucuların Etkileri 43-3
43.4 Hesaplama Prosedürü .. 43-5
43.5 Model 43-6 Uygulama Aralığı
43.6 Pratik Örnek . 43-13
44 Ses Yalıtımı Tasarımı Kiyoshi Okura 44-1
44.1 Ses Yalıtımı Teorisi . 44-1
44.2 Ses Yalıtımı Uygulaması 44-13
45 İstatistiksel Enerji Analizi Takayuki Koizumi 45-1
45.1 Giriş 45-1
45.2 Güç Akışı Denklemleri . 45-2
45.3 Deniz Parametrelerinin Tahmini .. 45-4
45.4 Yapılarda Uygulama 45-7


5. TARTIŞMA

Bu çalışma, mekanik titreşimlerin DW-MR ölçümlerinin sinyali üzerindeki etkisini araştırıyor ve yüksek bir örnek üzerinde odaklanıyor. b-değerli DW MRS dizisi ve ek bir gradyan uygulamasıyla sinyal kaybını azaltmak için bir yöntem önerme. Altta yatan ana konsept mekanik titreşimleri ortadan kaldırmaz, ancak her iki difüzyon gradyanı sırasındaki titreşim durumlarını yaklaşık olarak eşleştirmeyi amaçlar, böylece toplam intravoksel defazajı küçüktür ve önemli sinyal kaybına yol açmaz.

Doku içindeki titreşimlerin transferini göstermek için kullanılan basitleştirilmiş mekanik sistem, yumuşak doku viskoelastik mekaniğinin karmaşıklığını hiçbir şekilde tam olarak temsil etmez. Kabul edilen basitleştirmeler ve mekanik özellikler için doğru değerlerin olmaması nedeniyle, nicel analiz yapılmadı ve yalnızca nitel sonuçlar gösterildi. Model, gerçek difüzyon ağırlıklandırmasından önce VMG uygulamasının, her iki difüzyon gradyan süresi boyunca yer değiştirme modellerini yaklaşık olarak eşleştirmeye yardımcı olduğunu ortaya koymaktadır. Bu, doğrudan dürtü tarafından uyarılan incelenen birinci kütle ve birinci kütleye bağlı ikinci kütle için de geçerlidir. VMG'yi uygularken, her iki kütle de difüzyon kodlama gradyanları sırasında çok benzer bir yer değiştirme modeli gösterir, bu da difüzyon ağırlıklandırması sırasında çok küçük bir birikmiş faz ile sonuçlanacaktır. 2 difüzyon gradyanı sırasında yer değiştirme modeli farklı olduğunda (VMG'siz simüle edilmiş durumda olduğu gibi), faz birikir. Bu birikmiş faz doku içindeki farklı pozisyonlar için de değiştiğinde, faz dağılımı bir voksel içinde sinyal kayıplarına neden olacaktır. Şekil 2, hiçbir VMG kullanılmadığında 2 simüle edilmiş kütle için 2 difüzyon gradyan süresi boyunca yer değiştirme modellerinin bu varyasyonunu açıkça göstermektedir.

Şekil 4A'da VMG ve T ile ölçülen yer değiştirmelerVMG gerçek bir deneysel ortamda difüzyon süresine eşit olarak gösterilir. Yer değiştirme modeli benzerdir ancak basitleştirilmiş modelde gösterilenden daha karmaşıktır (Şekil 2A). Şekil 4B'de 2 difüzyon gradyanı sırasındaki yer değiştirmeler gösterilmektedir. Yer değiştirmeler, fantom tarayıcıda VMG uygulanmadan ölçüldüğünde farklılık gösterir ve VMG, DW'den önce uygulandığında daha benzer hale gelir. Bu etki özellikle y-yön (ön-arka), oysa x-yön (sağ-sol), ek gradyan uygulamasından daha az etkilenmiş gibi görünüyor. İçinde z-yön (feet-head) ölçülen yer değiştirmeler diğer yönlere göre küçüktür.

Bobin dekuplaj masasına yerleştirildiğinde, difüzyon gradyan süreleri sırasında da yer değiştirmeler görülebilir. Bununla birlikte, bobin ayırma masasına yerleştirildiğinde yer değiştirmeler, difüzyon gradyanları sırasında çok benzer görünmektedir ve sistemin çok daha düşük frekanslarını temsil etmektedir. Dekuplaj masası ahşaptan yapılmıştır, bu da sistemin düşük öz frekanslarına neden olabilir. Bununla birlikte, yüksek titreşim frekansı bileşenleri de ön-arka yönde gözlemlenebilir. Bu, potansiyel olarak, ağırlıklı olarak ön-arka yönde mevcut olan ahşap dekuplaj masasının ilk doğal rezonansını yansıtabilir. Bu doğal rezonans titreşimini harekete geçirecek enerji, ses dalgaları aracılığıyla gradyan bobinden ayrıştırma masasına da aktarılabilir.

Sadece VMG'nin kullanılması değil, aynı zamanda bu ek eğimin zamanlaması da önemlidir. Şekil 5, VMG zamanlaması difüzyon zamanından çok daha kısa veya daha uzun olduğunda yer değiştirme modellerinin büyük ölçüde farklılık gösterdiğini (VMG'nin olmamasına kıyasla daha fazla) göstermektedir. VMG, DW gradyanlarının şeklini ve gücünü ve difüzyon hazırlığının zamanlamasını çoğalttığında, yer değiştirme eğrilerinin benzerliği çok yüksektir.

Ölçülen yer değiştirmelere dayalı olarak, birikmiş faz tahmin edilebilir ve bir DW MRS taramasının sinyal genliği ile karşılaştırılabilir. Şekil 6'da gösterilen sonuçlar, aynı anda gerçekleştirilemeyen 2 deneyin birleştirilmesini temsil etmektedir. Bu nedenle, birikmiş fazdaki minimumların ve metilen tepe alanındaki maksimumların konumu tam olarak eşleşmese de, Şekil 6'daki 2 eğrideki model benzer görünmektedir. Şekil 6, DG'ye göre VMG zamanlaması yapıldığında sinyal genliğinde bir maksimumun elde edildiğini gösterir.1 difüzyon süresine eşittir. Bu yüksek sinyal değeri, birikmiş fazda bir minimuma karşılık gelir. Yukarıdaki bulgu, 2 difüzyon gradyanı sırasındaki yer değiştirmeler benzer olduğunda ve sonuçta birikmiş faz küçük olduğunda, bir DW MR deneyinde titreşimsel artefaktlardan kaynaklanan sinyal kaybının azaltılabileceği fikrinin başka bir örneğidir. Şekil 6, birikmiş fazdaki çoklu minimumları veya sinyal değerlerindeki maksimumları göstermektedir. Ancak, bu uç değerlerin oluşumu, sistemin kesin mekanik özellikleri bilinmeden kolayca tahmin edilemez. Bununla birlikte, nesne özellikleri hakkında herhangi bir bilgi olmadan, ilk difüzyon gradyanına göre VMG zamanlaması difüzyon süresine eşit olduğunda, birikmiş fazda bir minimumun meydana geldiği varsayılabilir.

Yalnızca birikmiş faz, intravoksel defazi ile sinyal kaybını indüklemek için yeterli değildir. Bu etki için, 3D voksel üzerinde bir faz dağılımının mevcut olması gerekir. 1 noktadan fazla faz dağılımını ölçmek için, fantomun üstündeki 2 boyutlu bir yüzeyde biriken faz hesaplandı. Şekil 7'de gösterilen yüzeyler, farklı ölçüm senaryoları için her noktada birikmiş fazı temsil etmektedir. DW MR deneylerinde, 1 edinim vokselinde büyük bir uzaysal faz varyasyonu mevcut olduğunda sinyal kaybı meydana gelecektir. 2B yüzeydeki faz değişimi, 3B hacimde beklenen sinyal kaybına dair bir ipucu verebilir. Fantom, önerilen şema olmadan tarayıcı masasında tarandığında, 2D yüzeyde zaten %5'lik bir sinyal kaybı gözlemlenebilirken, VMG kullanıldığında bu yalnızca %1'di. Tarayıcı tablasındaki 3B hacimdeki sinyal kaybının VMG olmadan VMG'ye kıyasla daha yüksek olması beklenir.

2 ölçülen WF fantomundaki fantom sonuçlarının ayrı ayrı tartışılması gerekir: 6000 rpm WF fantomunda, önerilen yöntem olmadan fantom tarayıcı masasında ölçüldüğünde lipid ADC değeri büyük ölçüde fazla tahmin edilir. VMG kullanıldığında, lipid ADC değerinin ölçümünde büyük bir gelişme gözlemlenebilir. 11.000 rpm WF fantomunda, ADC ölçümü titreşimlerden çok fazla etkilenmiyor gibi görünüyor, bu nedenle 3 ölçüm senaryosu çok benzer lipid ADC değerleri veriyor. Her iki fantomdaki farklılıklar, 2 fantom içindeki farklı yağ damlacıkları boyutlarıyla açıklanabilir; 12, fantomların farklı viskoelastik özellikleriyle sonuçlanır: 11.000 rpm fantom, 6000 rpm fantomdan daha viskozdur. Bu nedenle, titreşimlerin genel sinyal kaybı üzerindeki etkisi, doku özelliklerine büyük ölçüde bağlıdır ve farklı doku türleri arasında çok fazla değişiklik gösterebilir. Bununla birlikte, ek gradyan olmadan tahmin zaten yeterli olduğunda (11.000 rpm WF fantomunda görülebileceği gibi) VMG'nin ADC nicelemesinde yapaylıklara neden olmadığına dikkat edilmelidir. Bu nedenle, VMG'nin genel olarak uygulanması, fantomlarda ölçülen lipid ADC değerinin doğruluğunu artırır.

3 gönüllünün tamamında VMG kullanıldığında, in vivo lipid ADC tahmini için varyasyon katsayısı önemli ölçüde azaldı. Lipidlerin difüzyon özelliklerinin doğru bir tahmini, difüzyon kısıtlama etkileri gibi yüksek dereceli etkiler araştırıldığında özellikle önemlidir. 12 ADC değeri, 80 µm çapındaki bir yağ hücresindeki in vivo olarak her 100 ms difüzyon süresi artışında yaklaşık %1 oranında değişir.

Bu nedenle, DW sinyal alımında yüksek bir doğruluk gereklidir. Sunulan yöntem, DW MR ölçümlerinin kalitesini ve sonuçta lipid damlacık boyutu tahminlerinin doğruluğunu geliştirmek için kullanılabilir.

Önerilen çalışmanın aşağıdaki sınırlamaları vardır: İlk olarak, lazer interferometre verileri ve DW-MRS verileri aynı fantomda değil, sonradan elde edilmiştir. Ancak, deneysel sınırlamalar, aynı fantomlarda eşzamanlı bir kazanıma izin vermedi. Sonuç olarak, Şekil 6'daki birikmiş faz eğrisi ile metilen tepe genliği arasındaki hafif uyumsuzluk, büyük olasılıkla farklı viskoelastik etkilere sahip farklı fantom malzemelerle açıklanabilir. Malzeme özelliklerindeki bu farklılık, farklı frekanslar ve sönümlerle gözlenen yer değiştirmede farklılıklara yol açar. Bununla birlikte, farklı deneylere dayanan bu birleştirilmiş veri kümesinde genel eğilim de görülebilir. İkinci olarak, faz dağılımı 3B hacimde değil, yalnızca 2B yüzeyde ölçülmüştür. İlgili sinyal kaybıyla birlikte intravoksel defaze etme etkisinin doğru bir tahmini için, bir 3D hacimdeki her nokta için birikmiş faz hesaplanmalıdır. Bununla birlikte, kullanılan lazer interferometre metodolojisi, yalnızca derinlik bilgisi olmayan bir yüzey üzerinde ölçümlere izin verir. Faz dağılım etkileri 2 boyutlu bir yüzeyde bile görülebildiğinden, faz dağılım etkilerinin mevcut olması beklenir ve ölçümler 3 boyutlu bir analize genişletilirse daha da şiddetli olabilir. Sunulan ölçümler, 3D intravoksel faz dağılımının doğru bir şekilde ölçülmesine izin vermez, ancak 2D yüzey bilgisine dayanarak, VMG uygulandığında sinyal kaybının azaltılması gerektiği sonucuna varılabilir.

Difüzyon ağırlıklı sekanslarda titreşimsel artefaktları azaltmanın bir başka yolu, uygulanan gradyanlar tarafından üretilen akustik gürültünün azaltılması olacaktır. Bu, ya zamanla değişen difüzyon gradyanının frekansının tarayıcı gradyan yanıt fonksiyonunun 24 minimumlarıyla eşleştirilmesiyle veya difüzyon gradyanlarının dönüş hızının azaltılmasıyla elde edilebilir. Bununla birlikte, yukarıdaki yaklaşımlar, dizi zamanlamasının seçiminde daha az esnekliğe ve büyük olasılıkla önceden uzun süreli TE'lere yol açacaktır.

Önerilen yaklaşım, difüzyon hazırlığının başlangıcından önce VMG eklenerek küçük veya ihmal edilebilir zaman cezasıyla diğer DW MR dizilerinde teorik olarak uygulanabilir.

Titreşim durumlarının daha da iyi bir şekilde eşleştirilmesi, VMG'nin genişletilmesi ve ayrıca gradyan ön uyarısına ek başka gradyanlar (örneğin, dilim seçim gradyanları veya spoiler gradyanları) eklenerek elde edilebilir. Önerilen yaklaşım, daha önce titreşim kaynaklı artefaktların bildirildiği beynin DW görüntülemesinde de ilgi çekici olabilir. 7 Özellikle pediatrik vakalarda, hastaların hafifliği ve tarayıcı donanımının yetişkin ağırlıklarına ve boyutlarına yönelik tipik optimizasyonu nedeniyle titreşim etkileri daha da şiddetli olabilir. 8 Yüksekliğe doğru genel eğilim bFiber izleme ile yüksek çözünürlüklü difüzyon tensör görüntülemeye izin veren değerli beyin difüzyonu, daha güçlü ve daha uzun difüzyon gradyanlarının maliyetiyle birlikte gelir. 9 Gradyan tarayıcı donanımına ilişkin bu tür daha zorlu gereksinimlerin, titreşim artefaktlarının oluşumunu ve gücünü artırması beklenmektedir. Önerilen VMG, kaybolan sinyali tamamen kurtaramaz, ancak alım zamanında küçük bir ceza ile artefaktı azaltabilir. Daha ileri çalışmalar, artefaktları azaltmak için önerilen tekniğin diğer DW ölçümlerine uygulanmasına odaklanmalıdır.


Mühendislik ve ilgili Tasarım NC (V) Seviye 2-4

Ulusal Sertifika (Mesleki) (Mühendislik ve İlgili Tasarım), NQF'nin 2., 3. ve 4. Seviyelerinin her birinde yeni bir Mühendislik ve İlgili Tasarım Kalifikasyonudur. Bu yeterlilik, Mühendislik ve İlgili Tasarımın hem teorisini hem de uygulamasını sağlamak için tasarlanmıştır. Çalışmanın pratik bileşeni, gerçek bir işyeri ortamında veya simüle edilmiş bir işyeri ortamında sunulabilir. Öğrencilere öğrenim süresi boyunca iş durumlarını deneyimleme fırsatı sağlayacaktır.

Temel Zorunlu Konular:

  • Öğretme ve öğrenme dili olması gereken ilk ek dil –
  • Matematik veya Matematik Okuryazarlığı ve
  • Yaşam yönelimi

Mesleki Konular

  • Mühendislik Temelleri
  • Mühendislik teknolojisi
  • Mühendislik Sistemleri

Ve aşağıdakilerden biri

Ve aşağıdakilerden biri

Ve aşağıdakilerden biri

Kariyer yolları

  • Binaların tasarım ve yapımında görev almak
  • Alet, makine ve motor imalatında yer almak
  • Makinelerin operasyon bakımında yer almak
  • Metalik ve metalik olmayan minerallerin ekstraksiyonu
  • Şaft ve havalandırma sistemlerinin tasarımı
  • Mühendislik çizimlerini, haritaları, eskizleri ve Bilgisayar destekli tasarımı (CAD) yorumlamak ve üretmek
  • Bileşenleri üretmek için araçları, ekipmanları, yöntemleri ve süreçleri çıkarın

Kariyer fırsatı

  • Metalurji ve Malzeme Mühendisliği
  • Montaj ve İşleme
  • Kimya Mühendisliği
  • Makine Mühendisliği
  • Petrol Mühendisliği
  • Araba İmalatı/li>
  • Uzay Mühendisliği
  • Takım Yapımı

Yeni Üniversite Tesislerinin lansmanı

#HAYAT KURTARIN AKADEMİK YILI KURTARIN

Yüksek Sağlık CEO'su Dr. Ramneek SABC Morning Live'da #COVID-19 ile mücadelede gençleri sosyal değişim ajanları olarak harekete geçirme planlarını tartışıyor

Bay Nkosi & Dr Schuur Röportaj


Lie Group'ta Mekanik Sistemler için İçsel Optimal Kontrol.

Geleneksel yöntemler, mekanik sistemi düz bir Öklid uzayında yerel koordinatlı olarak tanımlar ve yerel koordinattan kaynaklanan problem, Euler açılarının neden olduğu tekillik ve belirsizlik gibi kaçınılmazdır [1]. Lie grubu, mekanik sistemlerin durumlarını içsel koordinatsız yaklaşımda temsil etmek için etkili ve güvenilir bir araçtır. Mekanik sistemlerin pozu (yani konumu ve tutumu), Lie grubunun bir öğesi olarak tanımlanabilir ve hız, karşılık gelen teğet uzayında tanımlanabilir. Yerel koordinatlar olmadan, Lie grubuna dayalı sistem modeli kısa ve özdür [2].Geometrik yöntem kullanılarak mekanik sistemin uygun geometrik özellikleri korunur ve sistemin geometrik bakış açısı sağlanır.

Doğrusal olmayan kontrol teorisindeki birçok geleneksel çalışma, yerel koordinatlarla düz uzay çerçevesinde geliştirilmiştir [3]. Ancak bu kontrol yöntemleri doğrudan Lie grubu tarafından temsil edilen sisteme uygulanamaz. Bu nedenle, Lie grubundaki sistem için uyumlu bir içsel geometrik kontrol yöntemi gereklidir. Bullo ve Murray, Lie grubu üzerinde kontrol edilebilirlik koşulunu sağladı ve SO(3) ve SE(3) [4-6] üzerinde tam olarak harekete geçirilen mekanik sistemler için geometrik bir PD kontrol çerçevesi sundu. Konfigürasyon hatası, Lie grubu üzerinde jeodeziklerle tanımlandı ve enerji fonksiyonunun üstel yakınsaması elde edildi. Maithripala, Lie grubu üzerinde içsel bilgi içeren içsel bir Luenberger gözlemcisi tasarladı ve Lie grubundaki mekanik sistemler için koordinatsız bir izleme denetleyicisi sağladı [7-9]. Ayrıca sol-değişmeyen veya sağ-değişmeyen sistem için kovaryant farklılaşma ile içsel bir geometrik PID yöntemini tanıttı [3, 10]. Bullo et al. Lie grubundaki bir doğa koordinatında konfigürasyon hatasını indükleyen konfigürasyon hatası fonksiyonu olarak düzgün bir Mors fonksiyonu kullandı. Daha sonra SO(3) ve SE(3) üzerindeki geometrik PD kontrolörleri tasarlanmış ve bir quadrotor [2, 11-13] üzerinde uygulanmıştır. Ayrıca, Lee ve ark. SO(3) [14, 15] üzerinde hesaplamalı optimal geometrik yöntemi sağladı ve bir açık döngü zaman-optimal probleminin çözümlerini elde etmek için Pontryagin maksimum ilkesini kullandı. Spindler, Pontryagin maksimum ilkesi aracılığıyla optimal kontrollerin sağlaması gereken diferansiyel denklemleri sağladı. Ve önerilen sonuçlar bir uzay aracına uygulandı [16]. Saccon ve ark. Öklid mesafesi ile SO(3) üzerinde LQR benzeri kapalı döngü optimal kontrol yöntemini kullanmıştır [17]. Berkane ve Tayebi ise Öklid mesafesini değiştirmek için SO(3) üzerindeki jeodezik mesafeyi kullanmış ve bir analoji Riccati denklemi elde etmiştir [18]. Bununla birlikte, kinetiğin cehaleti ile, bu kapalı döngü optimal çözümler sadece sistemin kinematiği için çalışır.

Bu makale, hem kinematik hem de kinetiği göz önünde bulundurarak Lie grubu üzerindeki bir mekanik sistem sınıfı için kapalı döngü optimal kontrol yöntemini genişletmektedir. Lie grubu üzerindeki bir mekanik sistem sınıfının içsel modeli ile, geri besleme doğrusallaştırma yöntemi ile karşılık gelen tanjant uzayında bir geri besleme kontrol döngüsü sağlanır ve Lie grubu üzerindeki mekanik sistemin daha basit bir nominal modeli elde edilir. Bu yaklaşım, analitik optimal çözümün ulaşılabilir olmasını sağlamaktır. Maliyet fonksiyonu, Riemann metriğine dayalı olarak oluşturulmuştur ve optimal kontrol problemini çözmek için dinamik programlama yaklaşımı benimsenmiştir. Nominal sistemin Lie grubu üzerindeki optimal çözümü Hamilton-Jacobi-Bellman denkleminin viskozite çözümleri ile sunulmuştur. Son olarak, yapılandırma manifoldu standart SO(3) olan dörtlü dönme dinamiğine içsel optimal kontrol yöntemi uygulanır. İçsel optimal kontrol yönteminin performansları, kapsamlı simülasyonlar aracılığıyla gösterilmektedir.

2. Yalan Grubu ve Riemann Manifoldu

2.1. Lie Grubu ve Lie Cebiri. Lie group G, gömülü düz grup yapısına sahip bir düz manifolddur. q [üyesi] G, Lie grubunun bir elemanıdır ve teğet uzayı [T.sub.q]G'dir. Eğer q, Lie grubunun kimlik elemanı e'ye eşitse, karşılık gelen tanjant uzayı [T.sub.e]G, Lie cebir uzayı g'dir. Lie cebir uzayı g [eşdeğeri] [R.sup.n] Öklid uzayına eşbiçimlidir ve düz bir uzaydır, burada n Lie grubunun boyutunu belirtir. Daha sonra Lie grubundaki rastgele bir elemanın teğet uzayı sola öteleme işlemi ile elde edilebilir.

q, h [üyesi] G için bir harita [L.sub.q] : G [sağ ok] G, h [sağ ok] qh, eğer Lie grubundaki bir vektör alanı X ise X(qh) = [T .sub.h][L.sub.q]X(h), burada [T.sub.h][L.sub.q], [L.sub.q]'nin h noktasındaki teğet haritasıdır, vektör alanı X soldan değişmezdir ve harita [L.sub.q] sol öteleme haritasıdır.

Lie grubunda, üstel harita exp : g [sağ ok] G yerel bir difeomorfizmadır. Lie cebir uzayı g, üstel harita yoluyla Lie grubu G'nin elemanlarını temsil etmek için kullanılabilir. Üstel haritanın ters haritası logaritmik harita günlüğüdür: G [sağ ok] g. Logaritmik harita, Lie grubunun yerel bir haritası olarak kabul edilebilir. Lie grubundaki her eleman, logaritmik harita aracılığıyla Lie cebir uzayında ifade edilebilir.

Mekanik bir sistem için, duruşu Lie grubunun benzersiz bir öğesi olarak tanımlanabilir, mekanik sistemin sürekli hareketi Lie grubu üzerinde düzgün bir integral eğri olarak tanımlanabilir. Hızı, integral eğrideki her bir elemanın teğet uzayında tanımlanır. Lie grubu ve Lie cebirinin kapsamlı bir tanıtımı [19, 20]'de bulunabilir.

2.2. Riemann Metrik. Riemann metriği, ikinci dereceden bir kovaryans tensörü g : TG x TG [sağ ok]R'dir. Tüm q [üyesi] G için, [g.sub.q] tanjant uzayı [T.sub.q]G üzerinde simetrik pozitif tanımlı çift doğrusal formdur. [g.sub.q] metriğini <<*, *>> sembolüyle gösteririz. G üzerindeki öteleme haritası, I : TG [sağ ok]T*G tanjant uzayı üzerinde bir eylemsiz tensör haritasını indükler, burada T*G, TG tanjant uzayının ikili uzayıdır. Eylemsizlik tensörü kullanılarak, Lie grubu G üzerinde bir sol-değişmez Riemann metriği, [matematiksel ifade yeniden üretilemez] q [üyesi] G'nin vektör alanı olduğundan indüklenebilir.

2.3. Levi-Civita Bağlantısı. G üzerinde Riemann metriği <<*,*> ile, Levi-Civita bağlantısı olan benzersiz bir burulma içermeyen bağlantı vardır. X = [X.sup.k][E.sub.k] ve Y = [Y.sup.k][E.sub.k] vektör alanları için Levi-Civita bağlantısı şu şekilde verilir:

[nabla]X = (d[X.sup.k] (Y) + [w.sup.k.sub.ij [Y.sup.i] [X.sub.j]) [E.sub.k] . (1)

[w.sup.k.sub.ij terimleri <[E.sub.k]> çerçevesindeki bağlantı katsayılarıdır. Lie grubu G üzerindeki Riemann metriği soldan değişmezdir, daha sonra bağlantı katsayıları sabittir, bu şu şekilde elde edilebilir:

[w.sup.k.sub.ij = 1/2 [C.sup.k.sub.ij] - [F.sup.ks] ([F.sub.ir] [C.sup.r.sub. js] + [F.sub.jr] [C.sup.r.sub.is]). (2)

burada [C.sup.k.sub.ij], <[E.sub.k]> çerçevesinin yapı sabitleridir.

2.4. Lie Group'ta Mekanik Sistemler. Mekanik sistemin konfigürasyon manifoldu bir Lie grubu G ise, hız teğet uzayda tanımlanabilir. Teğet uzaydaki Riemann metriği, mekanik sistemin kinetik enerjisini tanımlamak için kullanılabilir. Ve potansiyel enerjiyi [3] tanımlamak için q [üyesi] G konfigürasyonuyla ilgili düzgün bir Mors fonksiyonu bulunabilir. Genelleştirilmiş kuvvetlerin tümü, teğet uzayın ikili uzayı olan kotanjant uzayında tanımlanır.

Lie grubu G üzerindeki Riemann metriği ile, mekanik sistemin kinetik enerjisi [matematiksel ifade tekrar üretilemez] olarak tanımlanır, burada [matematiksel ifade tekrarlanamaz] ve potansiyel enerjiyi tanımlamak için yumuşak bir Mors fonksiyonu u(q) kullanılır. üzerinde q [üyesi] G. Daha sonra mekanik sistemin Lie grubu üzerindeki içsel Euler-Poincare denklemleri şu şekilde verilir:

[matematiksel ifade yeniden üretilemez] (3)

burada [f.sup.c](q) korunumlu kuvvettir, [f.sup.d], [xi]) nemli kuvvettir ve [f.sup.u](q, [xi]) genelleştirilmiş kontrol kuvveti [f.sup.c](q), [f.sup.d](q, [xi]), [f.sup.u](q, [xi]) e T*G ve kovaryant türevi [matematiksel ifade yeniden üretilemez] [matematiksel ifade yeniden üretilemez] koşulunu karşılar. Levi-Civita bağlantısının soldan değişmez olduğuna ve (3) olarak da ifade edilebileceğine dikkat edin.

[matematiksel ifade tekrarlanamaz], (5)

burada [ad.sup.*.sub.[xi]], Lie cebirinin [xi] [üyesi] g ikili uzayının birleşik operatörüdür.

3. Lie Grubunda İçsel Optimal Problem

3.1. Sorun bildirimi. Lie grubu üzerinde mekanik bir sistem için, genel ikinci dereceden geometrik optimal kontrol problemi aşağıdaki gibi formüle edilebilir. [q.sub.0] [üyesi] G, [[xi].sub.0] [üyesi] g ve [t.sub.0] başlangıç ​​koşulu göz önüne alındığında, optimizasyon problemini ele alıyoruz

[matematiksel ifade yeniden üretilemez] (6)

kinematik denklem (4) ve kinetik denklem (5)'e tabidir, burada C(q(t), [xi](t), [f.sup.u](t)) artan bir maliyet kalemidir ve tanımlanır ikinci dereceden bir biçimde [matematiksel ifade tekrarlanamaz].

Artan maliyet kalemi, maliyet fonksiyonunda geometrik durum hatası ve kontrol girdisinin dikkate alındığı anlamına gelir. log : G [sağ ok] g, Lie grubunun keyfi bir elemanı için Lie cebir uzayında karşılık gelen bir elemanı bulabilen, Lie grubundaki logaritma haritasıdır. [eta] = log(q) [üyesi] g, q [üyesi] G öğesinin üstel koordinatlarıdır ve q [üyesi] G öğesi ile e [üyesi] G arasındaki jeodezik mesafe şöyle olabilir: üstel koordinatların metriği tarafından verilir [matematiksel ifade tekrarlanamaz]. Artımlı maliyet, lineer sistemdeki LQR problemine benzer. (1/2)[paralel]log(q)[[paralel].sup.2] ve (1/2)[paralel][xi][[paralel].sup.2], sistem yapılandırma hatasının Riemann metriğini temsil eder ve sırasıyla karşılık gelen hız hatası. (a/2)[paralel][f.sup.n](i)[[paralel].sup.2] kontrol enerjisini gösterir. Ağırlık a >0, kontrol enerji tüketimi ile ilgilidir.

3.2. Dinamik Denklem Geri Besleme Ayrıştırma. Sistem (5) için dinamik denklem Lie cebir uzayındadır. Lie cebir uzayı düz ve Öklid uzayına göre eşbiçimli olsa da, sistem bağlanmıştır. Bu, doğrusal olmayan optimal problemde aşırı karmaşık bir kısmi diferansiyel denkleme yol açabilir ve kısmi diferansiyel denklemin analitik çözümünü elde etmek neredeyse imkansızdır. Analitik çözümü elde etmek için, sistem dinamik denklemini ayırmak için ekstra bir geri besleme döngüsü kullanılır.

Konservatif kuvvet [f.sup.c](q) ve nemli kuvvet [f.sup.d](q, [xi]) gibi uygun varsayımlarla dinamik (5) geri besleme kontrolü şu şekilde tasarlanmıştır:

[f.sup.u] = IV - []ad.sup.*.sub/[xi]] + [f.sup.c] (q) + [f.sup.d] (q,[xi]) ]. (7)

(5)'te, mekanik sistemlerin eylemsizlik tensör haritası I pozitiftir ve daha sonra ters tensör haritası [I.sup.-1] : [T.sup.*]G [sağ ok] TG tüm zaman. Geri besleme kontrolünü (7) kullanarak, sistem dinamik denklemi (5),

burada v [member of]0 TG, sistemin sanal kontrol terimidir. Ve (8), geri besleme (7) ile (5)'in nominal dinamik sistemidir. Daha sonra kinematik (4) ve nominal dinamik (8) ile optimal problem ele alınır.

3.3. Sonsuz Ufuk Optimal Kontrol Çözümü. Lie grubundaki mekanik sistemin aşağıdaki optimal kontrol problemini göz önünde bulundurun:

[matematiksel ifade tekrarlanamaz], (9)

Dinamik programlama yaklaşımını kullanarak, Hamilton-Jacobi-Bellman denklemi için benzersiz bir viskozite denklemi olması gereken zamanla değişmeyen değer fonksiyonu V(q, [xi]) bakarak optimal kontrol problemi incelenebilir. [21-23]'e göre, V(q, [xi]) değer fonksiyonu denklemi sağlar

[matematiksel ifade yeniden üretilemez] (11)

burada [matematiksel ifade tekrarlanabilir değil] optimal amaçtaki (9) Lagrange formu ve p, Lagrange çarpan vektörüdür. F(q, [xi], v] = [qx [xi], v].sup.T] kinetik ve dinamik fonksiyon vektörüdür. grad V, V(q, [xi]) değer fonksiyonunun gradyanıdır ve grad V = [[[kısmi türev]V/[kısmi türev]q, [kısmi türev]V/[kısmi türev] [xi]].sup.T] Değer fonksiyonunun V(q, [xi]) olduğuna dikkat edin zamanla değişmezse [kısmi türev]V/[kısmi türev]t = 0 olur.

V(q, [xi]) değer fonksiyonu H(q, [xi] grad V) = 0'ı sağlar, yani

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (12)

Önerme 1. (12)'yi sağlayan optimal kontrol [v.sup.*],

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (13)

ve karşılık gelen değer fonksiyonu V(q, [xi]) kısmi diferansiyel denklemin çözümüdür:

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (14)

Kanıt. Alabileceğimiz bir fonksiyon [matematiksel ifade tekrarlanamaz] tanımlayın

[matematiksel ifade yeniden üretilemez] (15)

ikinci dereceden benzeri bir formdur. Minimum değer ve karşılık gelen kontrol [v.sup.*] ikinci dereceden bir denklemin özellikleriyle elde edilebilir. Sonra

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (16)

Karşılık gelen kontrol, [v.sup.*] = -(1/a)* ([kısmi türev]V/[kısmi türev]C'dir. Ve değer fonksiyonu V, H = 0 denklemini sağlar. İkinci dereceden denklemin çözümünün yalnızca açık bir kümeyle sınırlandırıldığında geçerli olduğuna dikkat edin.

Önerme 2. [matematiksel ifade tekrarlanamaz] kısmi diferansiyel denklemin (14) katsayı koşullarıyla çözümüdür:

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (17)

Kanıt. V(q, [xi]) değer fonksiyonunun gradyanını elde etmek için zaman türevi gereklidir.

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (18)

Zaman türevi ve kısmi türevler arasındaki ilişkiye dikkat edin.

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (19)

Riemann metriği soldan değişmez, yani

[matematiksel ifade tekrarlanamaz]. (20)

(18) ile (20) karşılaştırıldığında, değer fonksiyonunun kısmi türevleri şu şekilde ifade edilebilir:

[matematiksel ifade yeniden üretilemez] (21)

(21) (14)'e alındığında denklem şu şekildedir:

[matematiksel ifade yeniden üretilemez] (22)

Denklemi Riemann metriğinin özellikleriyle sadeleştirirsek,

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (23)

Keyfi q ve [xi]'nin aynı denklemi (23) sağlaması için, katsayıların aşağıdaki koşulları karşılaması gerekir:

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (24)

Daha sonra (24)'ün dört çözümü şu şekilde elde edilebilir:

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (25)

Ancak bazı çözümler denetim yasasının devletleri istikrara kavuşturmasını sağlayamaz. Daha sonra dinamik sistemin kararlılık teorisi ile uygun çözümü seçeceğiz.

Önerme 1 ile, mekanik sistemin Lie grupları (4) ve (8) üzerindeki optimal olmayan geri besleme kontrolü şu şekildedir:

[v.sup.*] =-1/[alfa][([k.sub.2] + [k.sub.2] [xi] + [k.sub.3] log (q)].(26 )

Son olarak, Lie grupları (4) ve (5) üzerindeki genel bir mekanik sistem için optimal kontrol,

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (27)

Optimal kontrolün (27) topolojik yapısının, [8]'de gösterildiği gibi geometrik bir PD geri besleme kontrol çerçevesi olduğuna dikkat edin. [k.sub.p] = [k.sub.3] ve [k.sub.d] = [k.sub.2] + [k.sub.3] ile, [k.sub. .p] ve [k.sub.d] pozitiftir, geometrik PD kontrol yasası, q durumunu özdeşlik öğesinde yerel olarak üstel olarak stabilize eder (bkz. [8], Teorem 6).

Optimum kontrol yasasının q ve [xi] durumlarını stabilize edebildiğinden emin olmak için [alfa] > 0 ağırlığına dikkat edin, [k.sub.p] ve [k.sub.d] pozitif olmalıdır. O halde [[GAMMA].sub.l], (24)'ün tek uygun çözümüdür.

Optimal kontrol (27) yerel koordinatlara bağlı değildir. Yalnızca mekanik sistemin içsel bilgilerini kullanır ve optimal kontrol içseldir. Optimal kontrolün (27) zamanla değişmeyen bir lineer sistem için LQR probleminin çözümüne çok benzer olduğuna dikkat edin [24].

Lie grubu üzerindeki bir mekanik sistem sınıfı için önerilen kontrol algoritmasının (27) etkinliğini değerlendirmek için, Lie grubu SO(3) üzerinde içsel bir geometrik dörtlü dönme dinamiği açısından önerilen içsel optimal kontrol yöntemiyle simülasyonlar gerçekleştirilir. Simülasyonlar MATLAB/Simulink kullanılarak geliştirilmiştir ve Lie grubunun geometrik yapısını korumak için Crouch-Grossman sayısal entegrasyon yöntemi uyarlanmıştır [25]. MATLAB/Simulink varsayılan olarak 16 basamaklı kesinlik kullanır. Simülasyon zaman adımı 0,01 s'dir.

Dönme dinamiği için sönümleme kuvveti [f.sup.d](q, [xi]) ve korunumlu kuvvet [f.sup.c](q) = 0 dikkate alınmadan, kuadrotorun koordinatsız geometrik dönme dinamiği şu şekildedir: [26]

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (28)

burada R [üyesi] SO(3), quadrotor rotasyonunun konfigürasyonudur, w = [[[w.sub.1], [w.sup.2], [w.sup.3]].sup.T ] e [R.sup.3] gövdeye sabitlenmiş çerçevedeki dönüş hızıdır, [ad.sup.*.sub.w]Jw = -wx Jw, M [üyesi] T*SO(3) kontrol anı ve şapka haritası [??] : [R.sup.3] [sağ ok] yani (3) bir Lie cebir izomorfizmidir

[matematiksel ifade tekrarlanamaz] (29)

Quadrotorun eksenel simetri olduğunu ve atalet tensörünün J = diag <0.0114,0.0114, 0.0227>kg x [m.sup.2] olarak verildiğini varsayalım. Başlangıç ​​koşulları [matematiksel ifade yeniden üretilemez] ve [w.sub.0] =[0.01 0.01 0.01] olarak verilmiştir. Farklı ağırlıklara sahip kontrol kazançları a Tablo 1'de gösterilmiştir. Optimal kontrol yasası (27) kullanılarak, optimal sonsuz ufuk düzenleme kontrol sonuçları Şekil 1-6'da gösterilmiştir.

Üstel koordinat [matematiksel ifade yeniden üretilemez] ile, quadrotor tutumunun konfigürasyon hatası [e.sub.R] = X olarak tanımlanabilir ve konfigürasyon hatası fonksiyonu [matematiksel ifade tekrar üretilemez] X e vektörünün 2-normu olarak tanımlanabilir. R3. SO(3) üzerindeki logaritmik haritanın analitik formülü [5,18]'de bulunabilir. Optimum sonsuz ufuk düzenleme kontrol problemi için, konfigürasyon hatası Şekil 1'de gösterildiği gibi zamanla sıfıra yakınsar. [psi](R) = 0, R = I SO(3) ve (R, 0 [üyesi] olduğunda. ) quadrotor dönme dinamiğinin (28) kararlı noktasıdır. Farklı ağırlıklara sahip dört rotorlu konumun konfigürasyon hataları Şekil 2'de gösterilmektedir. Gösterildiği gibi, daha büyük ağırlık daha az kontrol ve daha zayıf dinamik performans anlamına gelir. Bu, doğrusal bir sistem için LQR yöntemine benzer.

Dönüş hızları ve kontrol momenti girdileri sırasıyla Şekil 3 ve 4'te gösterilmektedir. Şekil 1, daha küçük bir a'nın daha hızlı bir sistem yanıt hızına yol açtığını ve daha yüksek bir bant genişliği ile sonuçlandığını gösterir. Kontrol momentinin toplam tüketimini [matematiksel ifade yeniden üretilemez] ve sanal kontrol tüketimini [matematiksel ifade yeniden üretilemez] olarak tanımlarız. Kontrol enerjisi tüketimi Tablo 2'de gösterilmektedir. Sonuçlar, daha küçük a'nın daha küçük sanal kontrol enerjisine yol açtığını göstermektedir. Aynı başlangıç ​​koşulları ve atalet tensörü ile daha küçük sanal kontrol, daha yavaş dönüş hızları ve daha küçük kontrol momentleri ile sonuçlanır.

(9) ve (27)'ye göre, minimize edilmiş fonksiyon değerleri [J.sup.*] = 7([g.sub.0],[[xi].sub.0], [t.sub.0], [v.sup.*]) farklı ağırlıklar a Şekil 6'da gösterilmiştir.

Lie grubundaki mekanik sistemlerin içsel bilgilerini kullanarak, geometrik bir optimal kontrol problemi araştırılır. Analitik çözümün elde edilebileceğini garanti etmek için bir ayrıştırma geri besleme döngüsü benimsenmiştir. Dinamik programlama yaklaşımı kullanılarak, geometrik optimal kontrol probleminin analitik çözümünü elde etmek için Hamilton-Jacobi-Bellman denklemi türetilmiştir. Önerilen optimal kontrol algoritmasının etkinliği simülasyonlarla gösterilmiştir. Gelecekteki çalışmalar, belirli harici rahatsızlıkları ve belirsizlikleri ve geleneksel sensörlerle içsel bilgileri elde etme yaklaşımlarını dikkate almayı içerir.

Yazarlar, bu makalenin yayınlanmasıyla ilgili herhangi bir çıkar çatışması olmadığını beyan eder.

Bu çalışma, Çin Ulusal Doğa Bilimleri Vakfı tarafından hibe no. 11572036. Yazarlar ayrıca el yazmasını büyük ölçüde geliştiren faydalı yorumları ve dil düzenlemeleri için Yun Yuhang ve Wang Tianning'e teşekkür eder.

[1] T. Lee, "SO(3) üzerinde katı bir cismin tutum dinamiklerinin geometrik izleme kontrolü", Proceedings of the American Control Conference (ACC '11), s. 1200-1205, San Francisco, Calif, ABD, Temmuz 2011.

[2] F. Bullo ve A. D. Lewis, Mekanik Sistemlerin Geometrik Kontrolü: Basit Mekanik Kontrol Sistemleri için Modelleme, Analiz ve Tasarım, cilt. 49, Springer Science & Business Media, 2004.

[3] D. H. Maithripala ve J. M. Berg, "Lie gruplarındaki mekanik sistemler için içsel bir PID denetleyicisi", Automatica, cilt. 54, s. 189-200, 2015.

[4] F. Bullo, "Yalan grupları üzerinde değişmez afin bağlantılar ve kontrol edilebilirlik", CIT-CDS 141a için Nihai Proje Raporu, California Teknoloji Enstitüsü, 1995.

[5] F. Bullo ve R. M. Murray, "Öklid grubu üzerinde orantılı türev (PD) kontrolü", Avrupa Kontrol Konferansı Bildirileri, cilt. 2, s. 1091-1097, 1995.

[6] F. Bullo ve R. M. Murray, "Tam tahrikli mekanik sistemler için izleme: geometrik bir çerçeve", Automatica, cilt. 35, hayır. 1, s. 17-34, 1999.

[7] D. H. Maithripala, J. M. Berg ve W. P. Dayawansa, "Genel bir Lie grubu sınıfında basit mekanik sistemlerin neredeyse küresel takibi," Elektrik ve Elektronik Mühendisleri Enstitüsü. Otomatik Kontrol İşlemleri, cilt. 51, hayır. 2, s. 216-225, 2006.

[8] D. H. Maithripala, J. M. Berg ve W. P. Dayawansa, "Yalan grupları üzerinde basit mekanik sistemler için izlemeye koordinatsız bir yaklaşım", New Directions and Applications in Control Theory, cilt. 321, sayfa 223-237, 2005.

[9] D. H. Maithripala, W. P. Dayawansa ve J. M. Berg, "Lie gruplarındaki basit mekanik sistemler için Intrinsic gözlemci tabanlı stabilizasyon", SIAM Journal on Control and Optimization, cilt. 44, hayır. 5, s. 1691-1711, 2005.

[10] D. H. S. Maithripala ve J. M. Berg, "Bir içsel sağlam PID denetleyicisi on Lie grupları", Proceedings of the 2014 53rd IEEE Decision and Control Yıllık Konferansı, CDC 2014, s. 5606-5611, Aralık 2014.

[11] T. Lee, "Katı bir cismin havadan taşınması için geometrik uyarlamalı kontrol," Mathematics, 2015.

[12] T. Lee, M. Leok ve N. H. McClamroch, "Aşırı manevra kabiliyeti için bir quadrotor İHA'nın geometrik izleme kontrolü", Proceedings of the 18th IFAC Dünya Kongresi, s. 6337-6342, Eylül 2011.

[13] T. Lee, M. Leok ve N. McClamroch, "Bir quadrotor UAV'nin SE(3) üzerinde geometrik izleme kontrolü", Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision and Control (CDC '10), Atlanta, Ga, ABD, Aralık 2010.

[14] T. Lee, M. Leok ve N. H. McClamroch, "SO (3) üzerinde geometrik olarak kesin hesaplamalar kullanan katı bir cismin optimal tutum kontrolü", Journal of Dynamical and Control Systems, cilt. 14, hayır. 4, s. 465-487, 2008.

[15] T. Lee, Hesaplamalı geometrik mekaniği ve katı cisimlerin kontrolü, Michigan Üniversitesi, 2008.

[16] K. Spindler, "Tutum kontrolüne yönelik uygulamalarla Lie gruplarında optimal kontrol," Mathematics of Control, Signals, and Systems, cilt. 11, hayır. 3, s. 197-219, 1998.

[17] A. Saccon, J. Hauser ve A.P. Aguiar, "Kinematik Optimal Kontrolün Keşfi on The Lie Group SO (3)", IFAC Proceedings Volumes, cilt. 43, hayır. 14, s. 1302-1307, 2010.

[18] S. Berkane ve A. Tayebi, "Some Optimization Aspects on the Lie Group SO(3)", IFAC-PapersOnLine, cilt. 48, hayır. 3, s. 1117-1121, 2015.

[19] D. H. Sattinger ve O. L. Weaver, fizik, geometri ve mekanik uygulamaları ile Lie grupları ve cebirler, cilt. 61 of Applied Mathematical Sciences, Springer Science & Business Media, 2013.

[20] A. Iserles, H.Z. Munthe-Kaas, S.P. N0rsett ve A. Zanna, "Liegroup Methods", Açta Numerica, cilt. 9, s. 215-365, 2000.

[21] A. Bressan, "Hamilton-Jacobi denklemlerinin viskozite çözümleri ve optimal kontrol problemleri," Ders Notları, 2011.

[22] M. Bardi ve I. Capuzzo-Dolcetta, Hamilton-Jacobi-Bellman Denklemlerinin Optimal Kontrol ve Viskozite Çözümleri, Birkhauser, Boston, Mass, ABD, 1997.

[23] D. Liberzon, Varyasyonlar Hesabı ve Optimal Kontrol Teorisi, Princeton University Press, Princeton, NJ, ABD, 2012.

[24] P. Tsiotras, "Mühendislik Uygulamaları ile Optimal Kontrol (Geering, H. 2007) [Kitaplık]," IEEE Kontrol Sistemleri, cilt. 31, hayır. 5, s. 115-117, 2011.

[25] E. Hairer, C. Lubich ve G. Wanner, Geometrik sayısal entegrasyon: adi diferansiyel denklemler için yapı koruyucu algoritmalar, Springer, 2006.

[26] T. Lee, "SO(3) üzerinde Küresel Üstel Tutum İzleme Kontrolleri", Otomatik Kontrolde IEEE İşlemleri, cilt. 60, hayır. 10, s. 2837-2842, 2015.

Chao Liu, Shengjing Tang ve Jie Guo

Temel Dinamikler ve Uçuş Aracı Kontrolü Laboratuvarı, Eğitim Bakanlığı, Havacılık ve Uzay Mühendisliği Okulu, Pekin Teknoloji Enstitüsü, Pekin 100081, Çin

Yazışmalar Shengjing Tang [email protected] adresine gönderilmelidir.

Alındı ​​31 Mart 2017 Revize 10 Mayıs 2017 Kabul Edildi 30 Mayıs 2017 Yayınlandı 12 Temmuz 2017

Akademik Editör: Juan C. Marrero

Resim yazısı: Şekil 1: Farklı ağırlıklara sahip konfigürasyon hatası fonksiyon değerleri.

Resim yazısı: Şekil 2: Farklı ağırlıklara sahip yapılandırma hataları.

Resim yazısı: Şekil 3: Farklı ağırlıklarda dönme hızları.

Resim yazısı: Şekil 4: Farklı ağırlıklarla kontrol anları.

Resim yazısı: Şekil 5: Farklı ağırlıklara sahip optimum sanal kontrol sinyali.


Videoyu izle: Mekanik Titreşimler deneyi (Ekim 2021).