Nesne

12.4: Çapraz Çarpım - Matematik


Öğrenme hedefleri

  • Verilen iki vektörün çapraz çarpımını hesaplayın.
  • Bir çapraz ürünü hesaplamak için belirleyicileri kullanın.
  • Verilen iki vektöre dik bir vektör bulun.
  • Çapraz ürünü kullanarak alanları ve hacimleri belirleyin.
  • Belirli bir kuvvet ve konum vektörünün torkunu hesaplayın.

Bir cıvatayı sıkmak için bir İngiliz anahtarı çeviren bir tamirci hayal edin. Tamirci, anahtarın ucuna bir kuvvet uygular. Bu, cıvatayı sıkan dönüş veya tork oluşturur. Mekanik tarafından uygulanan kuvveti ve cıvatadan anahtarın ucuna kadar olan mesafeyi (yarıçap) temsil etmek için vektörleri kullanabiliriz. Ardından, dönme ekseni boyunca yönlendirilmiş bir vektör ile torku temsil edebiliriz. Tork vektörünün hem kuvvet vektörüne hem de yarıçap vektörüne dik olduğuna dikkat edin.

Bu bölümde, adı verilen bir işlem geliştiriyoruz. Çapraz ürünverilen iki vektöre ortogonal bir vektör bulmamızı sağlar. Tork hesaplama, çapraz ürünlerin önemli bir uygulamasıdır ve bu bölümün ilerleyen kısımlarında torku daha ayrıntılı olarak inceleyeceğiz.

Çapraz Çarpım ve Özellikleri

Nokta ürün, bir skaler ile sonuçlanan iki vektörün çarpımıdır. Bu bölümde, ilk ikisine dik üçüncü bir vektör üreten iki vektörün çarpımını tanıtıyoruz. Böyle bir vektörü nasıl bulabileceğimizi düşünün. (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) ve (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) sıfırdan farklı vektörler olsun. Hem (vecs u) hem de (vecs v)'ye ortogonal bir (vecs w=⟨w_1,w_2,w_3⟩) vektörü bulmak istiyoruz; yani, ('yi bulmak istiyoruz. vecs w) öyle ki (vecs u ⋅ vecs w=0) ve ( vecs v⋅ vecs w=0). Bu nedenle (w_1), (w_2,) ve (w_3) aşağıdakileri sağlamalıdır:

[u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3=0 label{eq1}]

[v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3=0. etiket{eq2} ]

Üstteki denklemi (v_3) ve alttaki denklemi (u_3) ile çarpar ve çıkarırsak, (w_3) değişkenini ortadan kaldırabiliriz, bu da

[(u_1v_3−v_1u_3)w_1+(u_2v_3−v_2u_3)w_2=0. umara yok]

seçersek

[egin{align*} w_1 &=u_2v_3−u_3v_2 [4pt] w_2 &=−(u_1v_3−u_3v_1), end{align*}]

olası bir çözüm vektörü elde ederiz. Bu değerleri orijinal denklemlere geri koymak (Denklemler ef{eq1} ve ef{eq2}) verir

[w_3=u_1v_2−u_2v_1. umara yok]

yani vektör

[vecs w=⟨u_2v_3−u_3v_2,−(u_1v_3−u_3v_1),u_1v_2−u_2v_1⟩ onumber]

hem (vecs u) hem de (vecs v)'ye diktir, bu da bizi aşağıdaki işlemi tanımlamamıza götürür. Çapraz ürün.

Tanım: Çapraz Ürün

(vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) ve (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩.) olsun. Çapraz ürün (vecs u×vecs v) vektördür

[egin{align} vecs u×vecs v &= (u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1) mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{ hat k} onumber [4pt] &=⟨u_2v_3−u_3v_2,−(u_1v_3−u_3v_1),u_1v_2−u_2v_1⟩. label{çapraz}end{hiza}]

(vecs u×vecs v) geliştirme şeklimizden, çapraz çarpımın hem (vecs u) hem de (vecs v)'ye dik olduğu açık olmalıdır. Ancak, kontrol etmekten asla zarar gelmez. (vecs u×vecs v) öğesinin (vecs u'ya dik olduğunu göstermek için, (vecs u) ve (vecs u×vecs v)'nin nokta çarpımını hesaplarız. .

[egin{align*} vecs u⋅(vecs u×vecs v) &=⟨u_1,u_2,u_3⟩⋅⟨u_2v_3−u_3v_2,−u_1v_3+u_3v_1,u_1v_2−u_2v_1⟩ [4pt] &=u_1(u_2v_3−u_3v_2)+u_2(−u_1v_3+u_3v_1)+u_3(u_1v_2−u_2v_1) [4pt]
&=u_1u_2v_3−u_1u_3v_2−u_1u_2v_3+u_2u_3v_1+u_1u_3v_2−u_2u_3v_1[4pt]
&=(u_1u_2v_3−u_1u_2v_3)+(−u_1u_3v_2+u_1u_3v_2)+(u_2u_3v_1−u_2u_3v_1) [4pt]
&= 0 end{hiza*}]

Benzer şekilde, çapraz çarpımın da (vecs v)'ye dik olduğunu gösterebiliriz.

Örnek (PageIndex{1}): Bir Çapraz Ürün Bulma

(vecs p=⟨−1,2,5⟩) ve (vecs q=⟨4,0,−3⟩) olsun (Şekil (PageIndex{1})). (vecs p×vecs q) bulun.

Çözüm

Vektörlerin bileşenlerini Denklem ef{cross} ile değiştirin:

[egin{align*} vecs p×vecs q &=⟨−1,2,5⟩×⟨4,0,−3⟩ [4pt] &= ⟨p_2q_3−p_3q_2,-(p_1q_3− p_3q_1),p_1q_2−p_2q_1⟩ [4pt] &= ⟨2(−3)−5(0),−(−1)(−3)+5(4),(−1)(0)−2 (4)⟩ [4pt] &= ⟨−6,17,−8⟩.end{align*}]

Alıştırma (PageIndex{1})

(vecs p=⟨5,1,2⟩) ve (vecs q=⟨−2,0,1⟩.) için (vecs p×vecs q) öğesini bulun. standart birim vektörler.

İpucu

(vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k formülünü kullanın }.)

Cevap

(vecs p×vecs q = mathbf{hat i}−9mathbf{hat j}+2mathbf{hat k})

ef{cross} Denkleminden açık olmasa da, (vecs u×vecs v)'nin yönü sağ el kuralıyla verilir. Sağ eli parmaklar (vecs u yönünü gösterecek şekilde tutarsak, parmakları (vecs v) vektörüne doğru kıvırırsak, başparmak gösterildiği gibi çapraz çarpım yönünü gösterir. Şekil (PageIndex{2}).

Bunun (vecs v×vecs u) yönü için ne anlama geldiğine dikkat edin. Sağ el kuralını (vecs v×vecs u'ya uygularsak), parmaklarımızla (vecs v yönünü işaret ederek başlarız), sonra parmaklarımızı (vecs vektörüne doğru kıvırırız) u). Bu durumda, başparmak (vecs u×vecs v) yönünün tersini gösterir. (Dene!)

Örnek (PageIndex{2}): Çapraz Çarpımın Ters Değişmeliliği

(vecs u=⟨0,2,1⟩) ve (vecs v=⟨3,−1,0⟩) olsun. (vecs u×vecs v) ve (vecs v×vecs u) hesaplayın ve grafiklerini çizin.

Çözüm

Sahibiz

(vecs u×vecs v=⟨(0+1),−(0−3),(0−6)⟩=⟨1,3,−6⟩)

(vecs v×vecs u=⟨(−1−0),−(3−0),(6−0)⟩=⟨−1,−3,6⟩.)

Bu durumda, (vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u)) (Şekil (PageIndex{4})) olduğunu görüyoruz. Bunu genel olarak bu bölümde daha sonra kanıtlayacağız.

Alıştırma (PageIndex{2})

(vecs u) ve (vecs v) vektörlerinin (xy)-düzleminde olduğunu varsayalım (her vektörün (z)-bileşeni sıfırdır). Şimdi, (vecs u)'nin (x)- ve (y)-bileşenlerinin ve (vecs v)'nin (y)-bileşenlerinin hepsinin pozitif olduğunu, oysa ( (vecs v)'nin x)-bileşeni negatiftir. Koordinat eksenlerinin olağan konumlarda yönlendirildiğini varsayarsak, (vecs u×vecs v) hangi yönü gösterir?

İpucu

Sağ el kuralını hatırlayın (Şekil (PageIndex{2})).

Cevap

Yukarı (pozitif (z)-yönü)

(mathbf{hat i}), (mathbf{hat j}) ve (mathbf{hat k}) standart birim vektörlerinin çapraz çarpımları bazılarını basitleştirmek için yararlı olabilir hesaplamalar, bu yüzden bu çapraz ürünleri düşünelim. Tanımın basit bir uygulaması şunu gösterir:

[mathbf{hat i}×mathbf{hat i}=mathbf{hat j}×mathbf{hat j}=mathbf{hat k}×mathbf{hat k}= vecs 0.]

(İki vektörün çapraz çarpımı bir vektördür, bu nedenle bu ürünlerin her biri skaler (0) değil, sıfır vektörü verir.) Hesaplamaları kendiniz doğrulamak size kalmış.

Ayrıca, iki vektörün çapraz çarpımı bu vektörlerin her birine dik olduğundan, (mathbf{hat i}) ve (mathbf{hat j})'nin çapraz çarpımının birbirine paralel olduğunu biliyoruz. (mathbf{hat k}). Benzer şekilde, (mathbf{hat i}) ve (mathbf{hat k}) vektör çarpımı (mathbf{hat j}) ile paraleldir ve vektör çarpımıdır (mathbf{hat j}) ve (mathbf{hat k}) (mathbf{hat i}) ile paraleldir.

Her ürünün yönünü belirlemek için sağ el kuralını kullanabiliriz. o zaman bizde

[egin{align*} mathbf{hat i}× mathbf{hat j} &=mathbf{hat k} [4pt]
mathbf{hat j} × mathbf{hat i} &=−mathbf{hat k} [10pt]
mathbf{hat j}×mathbf{hat k} &= mathbf{hat i} [4pt]
mathbf{hat k}×mathbf{hat j} &=−mathbf{hat i} [10pt]
mathbf{hat k}× mathbf{hat i} &=mathbf{hat j} [4pt]
mathbf{hat i} ×mathbf{hat k} &=−mathbf{hat j}. end{hiza*}]

Bu formüller daha sonra işe yarar.

Örnek (PageIndex{3}): Standart Birim Vektörlerin Çapraz Çarpımı

(mathbf{hat i} ×(mathbf{hat j}×mathbf{hat k})) bulun.

Çözüm

(mathbf{hat j}×mathbf{hat k}=mathbf{hat i}) olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, (mathbf{hat i}×(mathbf{hat j}×mathbf{hat k})=mathbf{hat i}×mathbf{hat i}=vecs 0. )

Alıştırma (PageIndex{3})

((mathbf{hat i}×mathbf{hat j})×(mathbf{hat k}×mathbf{hat i})) bulun

İpucu

Sağ el kuralını hatırlayın (Şekil (PageIndex{2})).

Cevap

(−mathbf{hat ben})

Gördüğümüz gibi, nokta çarpım genellikle skaler ürün çünkü bir skaler ile sonuçlanır. Çapraz çarpım bir vektörle sonuçlanır, bu nedenle bazen denir vektör ürün. Bu işlemlerin ikisi de vektör çarpmasının versiyonlarıdır, ancak çok farklı özelliklere ve uygulamalara sahiptirler. Çapraz çarpımın bazı özelliklerini inceleyelim. Bunlardan sadece birkaçını kanıtlıyoruz. Diğer özelliklerin ispatları alıştırma olarak bırakılmıştır.

Çapraz Ürünün Özellikleri

(vecs u,vecs v,) ve (vecs w) uzayda vektörler ve (c) bir skaler olsun.

  1. Değişmeyen özellik: [vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u)]
  2. Dağılım özelliği: [vecs u×(vecs v+vecs w)=vecs u×vecs v+vecs u×vecs w]
  3. Bir sabitle çarpma: [c(vecs u×vecs v)=(cvecs u)×vecs v=vecs u×(cvecs v)]
  4. Sıfır vektörünün çapraz çarpımı: [vecs u×vecs 0=vecs 0×vecs u=vecs 0]
  5. Bir vektörün kendisiyle çapraz çarpımı: [vecs v×vecs v=vecs 0]
  6. Skaler üçlü çarpım: [vecs u⋅(vecs v×vecs w)=(vecs u×vecs v)⋅vecs w]

Kanıt

(i) özelliği için, (vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u).) göstermek istiyoruz.

[egin{align*} vecs u×vecs v &=⟨u_1,u_2,u_3⟩×⟨v_1,v_2,v_3⟩ [4pt] &=⟨u_2v_3−u_3v_2,−u_1v_3+u_3v_1,u_1v_2 −u_2v_1⟩ [4pt] &=−⟨u_3v_2−u_2v_3,−u_3v_1+u_1v_3,u_2v_1−u_1v_2⟩ [4pt] &=−⟨v_1,v_2,v_3⟩×⟨u_1,u_2,u_3⟩ [4pt] &=−(vecs v×vecs u).end{align*}]

Gördüğümüz çoğu işlemin aksine, çapraz çarpım değişmeli değildir. Sağ el kuralını düşünürsek bu mantıklıdır.

(iv) özelliği için, bu doğrudan çapraz çarpım tanımından gelir. Sahibiz

[vecs u × vecs 0=⟨u_2(0)−u_3(0),−(u_2(0)−u_3(0)),u1(0)−u_2(0)⟩=⟨0,0, 0⟩=vecs 0. ]

Ardından, i. özelliğine göre, (vecs 0×vecs u=vecs 0) da. Bir vektörün nokta çarpımının ve sıfır vektörün, skaler (0), oysa sıfır vektörlü bir vektörün çapraz çarpımı, vektör (vecs 0).

Özellik (vi). ilişkisel özelliğe benziyor, ancak işlemlerdeki değişikliğe dikkat edin:

[egin{align*} vecs u⋅(vecs v×vecs w) &=u⋅⟨v_2w_3−v_3w_2,−v_1w_3+v_3w_1,v_1w_2−v_2w_1⟩ [4pt]
&= u_1(v_2w_3−v_3w_2)+u_2(−v_1w_3+v_3w_1)+u_3(v_1w_2−v_2w_1) [4pt]
&=u_1v_2w_3−u_1v_3w_2−u_2v_1w_3+u_2v_3w_1+u_3v_1w_2−u_3v_2w_1 [4pt]
&=(u_2v_3−u_3v_2)w_1+(u_3v_1−u_1v_3)w_2+(u_1v_2−u_2v_1)w_3 [4pt]
&=⟨u_2v_3−u_3v_2,u_3v_1−u_1v_3,u_1v_2−u_2v_1⟩⋅⟨w_1,w_2,w_3⟩ =(vecs u×vecs v)⋅vecs w.end{align*}]

(Meydan)

Örnek (PageIndex{4}): Çapraz Ürünün Özelliklerini Kullanma

((2mathbf{hat i}×3mathbf{hat j})×mathbf{hat j}.) hesaplamak için çapraz çarpım özelliklerini kullanın.

Çözüm

[egin{align*} (2mathbf{hat i}×3 mathbf{hat j})×mathbf{hat j} &=2(mathbf{hat i}×3mathbf {hat j})×mathbf{hat j} [4pt]
&=2(3)(mathbf{hat i}×mathbf{hat j})×mathbf{hat j} [4pt]
&=(6mathbf{hat k})×mathbf{hat j} [4pt]
&=6(mathbf{hat k}×mathbf{hat j}) [4pt]
&=6(−mathbf{hat i})=−6mathbf{hat i}. end{hiza*}]

Alıştırma (PageIndex{4})

((mathbf{hat i}×mathbf{hat k})×(mathbf{hat k}×mathbf{hat j}).) hesaplamak için çapraz çarpımın özelliklerini kullanın.

İpucu

(vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u))

Cevap

(−mathbf{hat k})

Bu bölümde şimdiye kadar, (vecs u×vecs v) vektörünün yönü ile ilgilendik, ancak büyüklüğünü tartışmadık. Görünüşe göre, (vecs u) ve (vecs v) büyüklüklerini ve aralarındaki açının sinüsünü içeren (vecs u×vecs v) büyüklüğü için basit bir ifade var. onları.

Çapraz Ürünün Büyüklüğü

(vecs u) ve (vecs v) vektörler olsun ve (θ) aralarındaki açı olsun. Ardından, (‖vecs u×vecs v‖=‖vecs u‖⋅‖vecs v‖⋅sin θ.)

Kanıt

(vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) ve (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) vektörler olsun ve (θ) aralarındaki açıyı göstersin. Sonra

[ egin{align*} ‖vecs u×vecs v‖^2 &=(u_2v_3−u_3v_2)^2+(u_3v_1−u_1v_3)^2+(u_1v_2−u_2v_1)^2 [4pt]
&=u^2_2v^2_3−2u_2u_3v_2v_3+u^2_3v^2_2+u^2_3v^2_1−2u_1u_3v_1v_3+u^2_1v^2_3+u^2_1v^2_2−2u_1u_2v_1v_2−2u_1u_2v_1v_v^2+u^2_2_
&=u^2_1v^2_1+u^2_1v^2_2+u^2_1v^2_3+u^2_2v^2_1+u^2_2v^2_2+u^2_2v^2_3+u^2_3v^2_1+u^2_3v^2_2+ u^2_3v^2_3−(u^2_1v^2_1+u^2_2v^2_2+u^2_3v^2_3+2u_1u_2v_1v_2+2u_1u_3v_1v_3+2u_2u_3v_2v_3) [4pt]
&=(u^2_1+u^2_2+u^2_3)(v^2_1+v^2_2+v^2_3)−(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2 [4pt]
&=‖vecs u‖^2‖vecs v‖^2−(vecs u⋅vecs v)^2 [4pt]
&=‖vecs u‖^2‖vecs v‖^2−‖vecs u‖^2‖vecs v‖^2 cos^2θ [4pt]
&=‖vecs u‖^2‖vecs v‖^2(1−cos^2θ) [4pt]
&=‖vecs u‖^2‖vecs v‖^2(sin^2θ). end{hiza*} ]

Karekök alarak ve (0≤θ≤180°,) için (sqrt{sin^2θ}=sinθ) olduğuna dikkat ederek istenen sonucu elde ederiz:

[‖vecs u×vecs v‖=‖vecs u‖‖vecs v‖ sin θ.]

Çapraz ürünün bu tanımı, ürünü geometrik olarak görselleştirmemizi veya yorumlamamızı sağlar. Örneğin, çapraz çarpımın iki boyutlu vektörler için değil, yalnızca üç boyutlu vektörler için tanımlandığı açıktır. İki boyutta, paralel olmayan iki vektöre aynı anda ortogonal bir vektör oluşturmak imkansızdır.

Örnek (PageIndex{5}): Çapraz Çarpımı Hesaplama

(vecs u=⟨0,4,0⟩) ve (vecs v=⟨0,0,−3⟩) çarpımının büyüklüğünü bulmak için Not'u kullanın.

Çözüm

Sahibiz

[egin{align*} ‖vecs u×vecs v‖ &= ‖vecs u‖⋅‖vecs v‖⋅sinθ [4pt]
&=sqrt{0^2+4^2+0^2}⋅sqrt{0^2+0^2+(−3)^2}⋅sin{dfrac{π}{2}} [4pt]
&=4(3)(1)=12 end{align*}]

Alıştırma (PageIndex{5})

(vecs u×vecs v), burada (vecs u=⟨−8,0,0⟩) ve (vecs v=⟨0,2,0⟩) büyüklüğünü bulmak için Note'u kullanın. ).

İpucu

(vecs u) ve (vecs v) vektörleri ortogonaldir.

Cevap

16

Determinantlar ve Çapraz Çarpım

İki vektörün çapraz çarpımını bulmak için ef{cross} Denklemini kullanmak basittir ve çapraz çarpımı yararlı bileşen biçiminde sunar. Bununla birlikte, formül karmaşıktır ve hatırlanması zordur. Neyse ki, bir alternatifimiz var. Belirleyici notasyonu kullanarak iki vektörün çapraz çarpımını hesaplayabiliriz.

Bir (2×2) determinantı şu şekilde tanımlanır:

[egin{vmatrix}a_1 ve b_1a_2 ve b_2end{vmatrix} =a_1b_2−b_1a_2.]

Örneğin,

[egin{vmatrix}3 & -25 & 1end{vmatrix} =3(1)−5(−2)=3+10=13.]

Bir (3×3) determinantı, (2×2) determinantları cinsinden şu şekilde tanımlanır:

[egin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3_1 & b_2 & b_3c_1 & c_2 & c_3end{vmatrix}=a_1egin{vmatrix}b_2 & b_3c_2 & c_3end{vmatrix }−a_2egin{vmatrix}b_1 ve b_3c_1 ve c_3end{vmatrix}+a_3egin{vmatrix}b_1 ve b_2c_1 ve c_2end{vmatrix}.label{expandEqn}]

Denklem ef{expandEqn}, determinantın ilk satır boyunca genişlemesi olarak adlandırılır. Bu ifadenin sağ tarafındaki (2×2) determinantlarının her birinin çarpanlarının, (3×3) determinantının ilk satırındaki girişler olduğuna dikkat edin. Ayrıca, (2×2) determinantlarının her biri, çarpanı içeren satır ve sütunun üzerini çizdiğinizde kalacak olan (3×3) determinantından gelen girdileri içerir. Böylece, sağdaki ilk terim için, (a_1) çarpandır ve (2×2) determinantı, (3× öğesinin ilk satırını ve ilk sütununu keserseniz kalan girişleri içerir. 3) belirleyici. Benzer şekilde, ikinci terim için çarpan (a_2)'dir ve (2×2) determinantı, (3×3) öğesinin ilk satırını ve ikinci sütununu keserseniz kalan girişleri içerir. belirleyici. Bununla birlikte, ikinci terimin katsayısının negatif olduğuna dikkat edin. Üçüncü terim de benzer şekilde hesaplanabilir.

Örnek (PageIndex{6}): Bir (3×3) Belirleyicisini Hesaplamak için İlk Satır Boyunca Genişletmeyi Kullanma

(egin{vmatrix}2 & 5 &−1−1 & 1 & 3−2 & 3 & 4end{vmatrix}) determinantını değerlendirin.

Çözüm

Sahibiz

[egin{align*} egin{vmatrix}2 & 5 & −1−1 & 1 & 3−2 & 3 & 4end{vmatrix} &=2egin{vmatrix}1 & 33 & 4end{vmatrix}−5egin{vmatrix}−1 & 3−2 & 4end{vmatrix}−1egin{vmatrix}−1 & 1−2 & 3 end{vmatrix} [4pt]
&=2(4−9)−5(−4+6)−1(−3+2) [4pt]
&= 2(−5)−5(2)−1(−1)=−10−10+1 [4pt]
&=−19 end{hiza*}]

Alıştırma (PageIndex{6})

(egin{vmatrix}1 & −2 & −13 & 2 & −31 & 5 & 4end{vmatrix}) determinantını değerlendirin.

İpucu

İlk satır boyunca genişletin. İkinci terimin negatif olduğunu unutmayın!

Cevap

40

Teknik olarak, determinantlar yalnızca gerçek sayıların dizileri olarak tanımlanır. Bununla birlikte, belirleyici gösterim, çapraz çarpım formülü için yararlı bir anımsatıcı araç sağlar.

Kural: Bir Determinant Tarafından Hesaplanan Çapraz Çarpım

(vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) ve (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) vektörleri olsun. Daha sonra çapraz çarpım (vecs u×vecs v) ile verilir.

[vecs u×vecs v=egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3end{vmatrix}=egin{vmatrix}u_2 & u_3v_2 & v_3end{vmatrix}mathbf{hat i}−egin{vmatrix}u_1 & u_3v_1 & v_3end{ vmatrix}mathbf{hat j}+egin{vmatrix}u_1 ve u_2v_1 ve v_2end{vmatrix}mathbf{hat k}.]

Örnek (PageIndex{7}): (vecs p×vecs q) bulmak için Determinant Notasyonu kullanma

(vecs p=⟨−1,2,5⟩) ve (vecs q=⟨4,0,−3⟩) olsun. (vecs p×vecs q) bulun.

Çözüm

Standart birim vektörleri birinci sıraya, (vecs u)'nin bileşenlerini ikinci sıraya ve (vecs v)'nin bileşenlerini üçüncü sıraya koyarak determinantımızı kurduk. Sonra, elimizde

[egin{align*} vecs p×vecs q &=egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}−1 & 2 & 54 & 0 & −3end{vmatrix}=egin{vmatrix}2 & 5 & −3end{vmatrix}mathbf{hat i}−egin{vmatrix}− 1 & 54 & −3end{vmatrix}mathbf{hat j}+egin{vmatrix}−1 & 24 & 0end{vmatrix}mathbf{hat k} [4pt]
&= (−6−0)mathbf{hat i}−(3−20)mathbf{hat j}+(0−8)mathbf{hat k} [4pt]
&=-6mathbf{hat i}+17mathbf{hat j}-8mathbf{hat k}.end{align*}]

Bu yanıtın Örnek (PageIndex{1})'deki çapraz çarpım hesaplamasını doğruladığına dikkat edin.

Alıştırma (PageIndex{7})

(vecs a×vecs b), burada (vecs a=⟨8,2,3⟩) ve (vecs b=⟨−1,0,4⟩.'yi bulmak için belirleyici gösterimi kullanın. )

İpucu

(egin{vmatrix}mathbf{hat i} mathbf{hat j} mathbf{hat k}8 & ​​2 & 3−1 & 0 & 4end{vmatrix) determinantını hesaplayın }).

Cevap

(vecs a×vecs b = 8mathbf{hat i}−35mathbf{hat j}+2mathbf{hat k})

Çapraz Ürünü Kullanma

Çapraz çarpım, verilen iki vektöre dik bir vektör bulmak, üçgen ve paralelkenarların alanlarını hesaplamak ve hatta paralelkenarlardan oluşan üç boyutlu geometrik şeklin hacmini belirlemek de dahil olmak üzere çeşitli hesaplama türleri için çok kullanışlıdır. paralelyüzlü. Aşağıdaki örnekler bu hesaplamaları göstermektedir.

Örnek (PageIndex{8}): Verilen İki Vektöre Ortogonal Bir Birim Vektörü Bulma

(vecs a=⟨5,2,−1⟩) ve (vecs b=⟨0,−1,4⟩) olsun. Hem (vecs a) hem de (vecs b)'ye dik bir birim vektörü bulun.

Çözüm

Çapraz çarpım (vecs a×vecs b) hem (vecs a) hem de (vecs b) vektörlerine diktir. Bir determinant ile hesaplayabiliriz:

[egin{align*} vecs a×vecs b &=egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}5 & 2 & −1 & −1 & 4end{vmatrix}=egin{vmatrix}2 & −1−1 & 4end{vmatrix}mathbf{hat i}−egin{vmatrix} 5 & ​​−1 & 4end{vmatrix}mathbf{hat j}+egin{vmatrix}5 & 2 & −1end{vmatrix}mathbf{hat k} [4pt]
&=(8−1)mathbf{hat i}−(20−0)mathbf{hat j}+(−5−0)mathbf{hat k} [4pt]
&=7mathbf{hat i}−20mathbf{hat j}−5mathbf{hat k}.end{align*} ]

Aynı yönde bir birim vektörü bulmak için bu vektörü normalleştirin:

(|vecs a×vecs b|=sqrt{(7)^2+(−20)^2+(−5)^2}=sqrt{474}).

Böylece, (leftlangledfrac{7}{sqrt{474}},dfrac{−20}{sqrt{474}},dfrac{−5}{sqrt{474}} ight angle), (vecs a) ve (vecs b)'ye ortogonal bir birim vektörüdür.

Basitleştirilmiş, bu vektör (leftlangledfrac{7sqrt{474}}{474},dfrac{−10sqrt{474}}{237},dfrac{−5sqrt{474} olur. }{474}sağ angle).

Alıştırma (PageIndex{8})

Hem (vecs a) hem de (vecs b'ye dik olan bir birim vektörü bulun, burada (vecs a=⟨4,0,3⟩) ve (vecs b=⟨1,1) ,4⟩.)

İpucu

Çapraz ürünü normalleştirin.

Cevap

(leftlangledfrac{−3}{sqrt{194}},dfrac{−13}{sqrt{194}},dfrac{4}{sqrt{194}}sağ angle ) veya (leftlangledfrac{−3sqrt{194}}{194},dfrac{−13sqrt{194}}{194},dfrac{2sqrt{194 olarak basitleştirilmiş) }}{97}sağ angle)

Çapraz çarpımı alan hesabında kullanmak için aşağıdaki teoremi ifade edip ispatlıyoruz.

Paralelkenarın Alanı

(vecs u) ve (vecs v) vektörlerini bir paralelkenarın bitişik kenarlarını oluşturacak şekilde yerleştirirsek, paralelkenarın alanı (‖vecs u×vecs v‖ ile verilir) ) (Şekil (PageIndex{5})).

Kanıt

Çapraz ürünün büyüklüğünün paralelkenarın taban çarpı yüksekliğine eşit olduğunu gösteriyoruz.

[egin{align*} ext{Paralelkenarın alanı} &= ext{taban} × ext{yükseklik} [4pt] &=‖vecs u‖(‖vecs v‖sin θ ) [4pt] &=‖vecs u×vecs v‖ end{align*}]

Örnek (PageIndex{9}): Bir Üçgenin Alanını Bulma

(P=(1,0,0),Q=(0,1,0),) ve (R=(0,0,1)) bir üçgenin köşeleri olsun (Şekil () PageIndex{6})). Onun alanını bulun.

Çözüm

(vecd{PQ}=⟨0−1,1−0,0−0⟩=⟨−1,1,0⟩) ve (vecd{PR}=⟨0−1,0− var 0,1−0⟩=⟨−1,0,1⟩). Bitişik kenarları (vecd{PQ}) ve (vecd{PR}) olan paralelkenarın alanı (∥vecd{PQ}×vecd{PR}∥):

[ egin{align*} vecd{PQ} imes vecd{PR} &= egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k} −1 & 1 & 0−1 & 0 & 1end{vmatrix} [4pt]
&=(1−0)mathbf{hat i}−(−1−0)mathbf{hat j}+(0−(−1))mathbf{hat k} [4pt]
&=mathbf{hat i}+mathbf{hat j}+mathbf{hat k} [10pt]
∥vecd{PQ}×vecd{PR}∥ &=∥⟨1,1,1⟩∥ [4pt]
&=sqrt{1^2+1^2+1^2} [4pt]
&=sqrt{3}. end{hiza*} ]

(ΔPQR)'nin alanı paralelkenarın veya (sqrt{3}/2 , ext{birim}^2) alanının yarısıdır.

Alıştırma (PageIndex{9})

( PQRS) köşeleri ( P(1,1,0)), (Q(7,1,0)), (R(9,4,2) ile paralelkenarın alanını bulun ), ve ( S(3,4,2)).

İpucu

Paralelkenarı çizin ve paralelkenarın bitişik taraflarını oluşturan iki vektörü belirleyin.

Cevap

(6sqrt{13}, ext{birim}^2)

Üçlü Skaler Çarpım

İki vektörün çapraz çarpımı bir vektör olduğu için, nokta çarpım ile çapraz çarpımı birleştirmek mümkündür. Bir vektörün diğer iki vektörün çapraz çarpımı ile nokta çarpımına denir. üçlü skaler ürün çünkü sonuç bir skaler.

Tanım: Üçlü Skaler Çarpım

( vecs u), ( vecs v,) ve (vecs w) vektörlerinin üçlü skaler çarpımı

[ vecs u⋅( vecs v× vecs w).]

Üçlü Skaler Çarpımı Hesaplama

Vektörlerin üçlü skaler çarpımı

[ vecs u=u_1 mathbf{hat i}+u_2 mathbf{hat j}+u_3mathbf{hat k}]

[ vecs v=v_1mathbf{hat i}+v_2mathbf{hat j}+v_3mathbf{hat k}]

ve

[ vecs w=w_1 mathbf{hat i}+w_2mathbf{hat j}+w_3mathbf{hat k}]

vektörlerin bileşenleri tarafından oluşturulan (3×3) matrisinin determinantıdır:

[ vecs u⋅( vecs v× vecs w)=egin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3w_1 & w_2 & w_3end{vmatrix}. etiket{üçlü2}]

Kanıt

Hesaplama basittir.

[ egin{align*} vecs u⋅( vecs v× vecs w) &=⟨u_1,u_2,u_3⟩⋅⟨v_2w_3−v_3w_2,−v_1w_3+v_3w_1,v_1w_2−v_2w_1⟩[4pt] &=u_1(v_2w_3−v_3w_2)+u_2(−v_1w_3+v_3w_1)+u_3(v_1w_2−v_2w_1) [4pt]
&=u_1(v_2w_3−v_3w_2)−u_2(v_1w_3−v_3w_1)+u_3(v_1w_2−v_2w_1) [4pt]
&=egin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3w_1 & w_2 & w_3end{vmatrix}.end{align*} ]

Örnek (PageIndex{10}): Üçlü Skaler Çarpımı Hesaplama

(vecs u=⟨1,3,5⟩,,vecs v=⟨2,−1,0⟩) ve (vecs w=⟨−3,0,−1⟩) olsun. (vecs u⋅(vecs v×vecs w).) üçlü skaler çarpımını hesaplayın

Çözüm

Denklemi ef{triple2} doğrudan uygulayın:

[ egin{align*} vecs u⋅(vecs v×vecs w) &=egin{vmatrix}1 & 3 & 52 & −1 & 0−3 & 0 & −1 end{vmatrix} [4pt]
&=1egin{vmatrix}−1 & 0 & −1end{vmatrix}−3egin{vmatrix}2 & 0−3 & −1end{vmatrix}+5egin{ vmatrix}2 ve −1−3 ve 0end{vmatrix} [4pt]
&=(1−0)−3(−2−0)+5(0−3) [4pt]
&=1+6−15=−8. end{hiza*} ]

Alıştırma (PageIndex{10})

(vecs a⋅(vecs b×vecs c),) üçlü skaler çarpımını hesaplayın, burada (vecs a=⟨2,−4,1⟩, vecs b=⟨0,3,−1 ⟩), ve (vecs c=⟨5,−3,3⟩.)

İpucu

Vektörleri bir (3×3) matrisinin satırları olarak yerleştirin, ardından determinantı hesaplayın.

Cevap

(17)

Üç vektörden bir matris oluşturduğumuzda, vektörleri listelediğimiz sıraya dikkat etmeliyiz. Bunları bir matriste bir sırayla listeler ve ardından satırları yeniden düzenlersek, determinantın mutlak değeri değişmeden kalır. Ancak, iki satır her yer değiştirdiğinde, determinantın işareti değişir:

(egin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3_1 & b_2 & b_3c_1 & c_2 & c_3end{vmatrix}=d quadquad egin{vmatrix}b_1 & b_2 & b_3a_1 & a_2 & a_3c_1 & c_2 & c_3end{vmatrix}=−d quadquad egin{vmatrix}b_1 & b_2 & b_3c_1 & c_2 & c_3a_1 & a_2 & a_3end{ vmatrix}=d quadquad egin{vmatrix}c_1 & c_2 & c_3_1 & b_2 & b_3a_1 & a_2 & a_3end{vmatrix}=−d)

Bu gerçeği doğrulamak basittir, ancak oldukça karmaşıktır. Buna bir örnekle bakalım:

[ egin{align*} egin{vmatrix}1 & 2 & 1−2 & 0 & 34 & 1 & −1end{vmatrix} &=egin{vmatrix}0 & 3 1 & −1end{vmatrix}−2egin{vmatrix}−2 & 34 & −1end{vmatrix}+egin{vmatrix}−2 & 04 & 1end{ vmatrix} [4pt]
&=(0−3)−2(2−12)+(−2−0) [4pt]
&=−3+20−2=15. end{hiza*} ]

Elimizdeki ilk iki satırı değiştiriyoruz

[ egin{align*} egin{vmatrix}−2 & 0 & 31 & 2 & 14 & 1 & −1end{vmatrix} &=-2egin{vmatrix}2 & 11 ve −1end{vmatrix}+3egin{vmatrix}1 ve 24 ve 1end{vmatrix} [4pt]
&=−2(−2−1)+3(1−8)[4pt]
&=6−21=−15. end{hiza*} ]

Üçlü çarpımlardaki vektörleri yeniden düzenlemek, determinant matrisindeki satırları yeniden sıralamaya eşdeğerdir. (vecs u=u_1mathbf{hat i}+u_2mathbf{hat j}+u_3mathbf{hat k}, vecs v=v_1mathbf{hat i}+v_2mathbf olsun {hat j}+v_3mathbf{hat k},) ve (vecs w=w_1mathbf{hat i}+w_2mathbf{hat j}+w_3mathbf{hat k} .) Not uygulamak, elimizde

[vecs u⋅(vecs v×vecs w)=egin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3w_1 & w_2 & w_3end{vmatrix} ]

ve

[vecs u⋅(vecs w×vecs v)=egin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3w_1 & w_2 & w_3v_1 & v_2 & v_3end{vmatrix}.]

(vecs u⋅(vecs w×vecs v)) hesaplaması için determinantı, (vecs u⋅(vecs v×vecs w).) öğesinin alttaki iki satırını değiştirerek elde edebiliriz. , (vecs u⋅(vecs v×vecs w)=−vecs u⋅(vecs w×vecs v).)

Bu akıl yürütmeyi takip ederek ve üçlü skaler çarpımdaki değişkenleri değiş tokuş etmenin farklı yollarını araştırarak aşağıdaki kimliklere yol açar:

[egin{align} vecs u⋅(vecs v×vecs w)&=−vecs u⋅(vecs w×vecs v)[10pt]
vecs u⋅(vecs v×vecs w)&=vecs v⋅(vecs w×vecs u)=vecs w⋅(vecs u×vecs v).end{align}]

(vecs u) ve (vecs v) standart konumda iki vektör olsun. (vecs u) ve (vecs v) birbirinin skaler katları değilse, bu vektörler bir paralelkenarın bitişik taraflarını oluşturur. Not'ta bu paralelkenarın alanının (‖vecs u×vecs v‖) olduğunu gördük. Şimdi, (vecs u) ve (vecs v) ile aynı düzlemde yer almayan, ancak yine de aynı başlangıç ​​noktasını paylaşan üçüncü bir (vecs w) vektörü eklediğimizi varsayalım. O zaman bu vektörler bir a'nın üç kenarını oluşturur. paralel yüzlü, Şekilde gösterildiği gibi, her biri paralelkenar olan altı yüzü olan üç boyutlu bir prizma. Bu prizmanın hacmi, şeklin yüksekliği ile taban alanının çarpımıdır. (vecs u,vecs v,) ve (vecs w)'nin üçlü skaler çarpımı, bu vektörler tarafından tanımlanan paralelyüzün hacmini hesaplamak için basit bir yöntem sağlar.

Paralel borunun hacmi

(vecs u,vecs v) ve (vecs w) vektörleri tarafından verilen bitişik kenarları olan bir paralelyüzün hacmi, üçlü skaler ürünün mutlak değeridir (Şekil (PageIndex{7}) )):

[V=||vecs u⋅(vecs v×vecs w)||.]

Adından da anlaşılacağı gibi, üçlü skaler ürünün bir skaler ürettiğine dikkat edin. Az önce sunulan hacim formülü, bir skaler miktarın mutlak değerini kullanır.

Kanıt

Paralel yüzün taban alanı (‖vecs v×vecs w‖) ile verilir. Şeklin yüksekliği (| ext{proj}_{vecs v×vecs ile verilir) w}vecs u|.) Paralel borunun hacmi, yükseklik ve taban alanının çarpımıdır, yani

[egin{align*} V &=∥ ext{proj}_{vecs v×vecs w}vecs u∥‖vecs v×vecs w‖ [4pt]
&=∣∣dfrac{vecs u⋅(vecs v×vecs w)}{‖vecs v×vecs w‖}∣∣‖vecs v×vecs w‖ [4pt]
&=|vecs u⋅(vecs v×vecs w)|. end{hiza*}]

Örnek (PageIndex{11}): Paralel Borunun Hacmini Hesaplama

(vecs u=⟨−1,−2,1⟩,vecs v=⟨4,3,2⟩,) ve (vecs w=⟨0,−5,−2⟩) olsun. (vecs u,vecs v) ve (vecs w) bitişik kenarları olan paralelyüzün hacmini bulun (Şekil (PageIndex{8})).

Çözüm

Sahibiz

[egin{align*} vecs u⋅(vecs v×vecs w) &=egin{vmatrix}−1 & −2 & 14 & 3 & 2 & −5 & − 2end{vmatrix} [4pt]
&= (−1)egin{vmatrix}3 & 2−5 & -2end{vmatrix}+2egin{vmatrix}4 & 2 & −2end{vmatrix}+egin {vmatrix}4 ve 3 ve −5end{vmatrix} [4pt]
&=(−1)(−6+10)+2(−8−0)+(−20−0) [4pt]
&=−4−16−20 [4pt]
&=−40.end{hiza*}]

Böylece paralelyüzün hacmi (|−40|=40) birimdir.3

Alıştırma (PageIndex{11})

(vecs a=3mathbf{hat i}+4mathbf{hat j}−mathbf{hat k}, vecs b=2mathbf{ vektörleri tarafından oluşturulan paralelyüzün hacmini bulun. hat i}−mathbf{hat j}−mathbf{hat k},) ve (vecs c=3mathbf{hat j}+mathbf{hat k}.)

İpucu

Bir determinant bularak üçlü skaler ürünü hesaplayın.

Cevap

(8) birim3

Çapraz Ürün Uygulamaları

Çapraz çarpım matematik, fizik ve mühendislikteki birçok pratik uygulamada ortaya çıkar. Bu bölüme başladığımız tork fikri de dahil olmak üzere bu uygulamalardan bazılarını burada inceleyelim. Diğer uygulamalar, özellikle yerçekimi ve elektromanyetik alanlar gibi vektör alanları çalışmamızda (Vektör Analizine Giriş) sonraki bölümlerde ortaya çıkacaktır.

Örnek (PageIndex{12}): Üçlü Skaler Çarpımı Kullanma

(vecs u=⟨2,0,5⟩,vecs v=⟨2,2,4⟩) ve (vecs w=⟨1,−1, vektörlerini göstermek için üçlü skaler çarpımı kullanın. 3⟩) eş düzlemlidir—yani, bu vektörlerin aynı düzlemde olduğunu gösterin.

Çözüm

(vecs u,vecs v,) ve (vecs w ile tanımlanan paralelyüzün hacmini bulmak için üçlü skaler çarpımı hesaplayarak başlayın):

[egin{align*} vecs u⋅(vecs v×vecs w)&=egin{vmatrix}2 & 0 & 52 & 2 & 41 & −1 & 3end {vmatrix} [4pt]
&=[2(2)(3)+(0)(4)(1)+5(2)(−1)]−[5(2)(1)+(2)(4)(−1) +(0)(2)(3)] [4pt]
&=2−2 =0. end{hiza*}]

Paralel yüzün hacmi (0) birimdir3, bu nedenle boyutlardan biri sıfır olmalıdır. Bu nedenle, üç vektörün hepsi aynı düzlemde bulunur.

Alıştırma (PageIndex{12})

(vecs a=mathbf{hat i}+mathbf{hat j}−mathbf{hat k}, vecs b=mathbf{hat i}−mathbf{hat vektörleri midir? j}+mathbf{hat k},) ve (vecs c=mathbf{hat i}+mathbf{hat j}+mathbf{hat k}) eş düzlemli?

İpucu

Üçlü skaler ürünü hesaplayın.

Cevap

No, the triple scalar product is (−4≠0,) so the three vectors form the adjacent edges of a parallelepiped. They are not coplanar.

Example (PageIndex{13}): Finding an Orthogonal Vector

Only a single plane can pass through any set of three noncolinear points. Find a vector orthogonal to the plane containing points (P=(9,−3,−2),Q=(1,3,0),) and (R=(−2,5,0).)

Çözüm

The plane must contain vectors (vecd{PQ}) and (vecd{QR}):

(vecd{PQ}=⟨1−9,3−(−3),0−(−2)⟩=⟨−8,6,2⟩)

(vecd{QR}=⟨−2−1,5−3,0−0⟩=⟨−3,2,0⟩.)

The cross product (vecd{PQ}×vecd{QR}) produces a vector orthogonal to both (vecd{PQ}) and (vecd{QR}). Therefore, the cross product is orthogonal to the plane that contains these two vectors:

[egin{align*} vecd{PQ}×vecd{QR} &= egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}−8 & 6 & 2−3 & 2 & 0end{vmatrix}[4pt]
&=0mathbf{hat i}−6mathbf{hat j}−16mathbf{hat k}−(−18mathbf{hat k}+4mathbf{hat i}+0mathbf{hat j})[4pt]
&=−4mathbf{hat i}−6mathbf{hat j}+2mathbf{hat k}. end{hiza*}]

We have seen how to use the triple scalar product and how to find a vector orthogonal to a plane. Now we apply the cross product to real-world situations.

Sometimes a force causes an object to rotate. For example, turning a screwdriver or a wrench creates this kind of rotational effect, called torque.

Definition: Torque

Torque, (vecs au) (the Greek letter tau), measures the tendency of a force to produce rotation about an axis of rotation. Let (vecs r) be a vector with an initial point located on the axis of rotation and with a terminal point located at the point where the force is applied, and let vector (vecs F) represent the force. Then torque is equal to the cross product of (r) and (F):

[vecs au=vecs r×vecs F.]

See Figure (PageIndex{9}).

Think about using a wrench to tighten a bolt. The torque τ applied to the bolt depends on how hard we push the wrench (force) and how far up the handle we apply the force (distance). The torque increases with a greater force on the wrench at a greater distance from the bolt. Common units of torque are the newton-meter or foot-pound. Although torque is dimensionally equivalent to work (it has the same units), the two concepts are distinct. Torque is used specifically in the context of rotation, whereas work typically involves motion along a line.

Example (PageIndex{14}): Evaluating Torque

A bolt is tightened by applying a force of (6) N to a 0.15-m wrench (Figure (PageIndex{10})). The angle between the wrench and the force vector is (40°). Find the magnitude of the torque about the center of the bolt. Round the answer to two decimal places.

Çözüm:

Substitute the given information into the equation defining torque:

[ egin{align*} ‖vecs τ‖ &=|vecs r×vecs F| [4pt]
&=‖vecs r‖∥vecs F∥sinθ [4pt]
&=(0.15, ext{m})(6, ext{N})sin 40° [4pt]
&≈0.58, ext{N⋅m.} end{align*}]

Alıştırma (PageIndex{14})

Calculate the force required to produce (15) N⋅m torque at an angle of (30º) from a (150)-cm rod.

İpucu

(‖vecs τ‖=15) N⋅m and (‖vecs r‖=1.5) m

Cevap

(20) N

Anahtar kavramlar

  • The cross product (vecs u×vecs v) of two vectors (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) is a vector orthogonal to both (vecs u) and (vecs v). Its length is given by (‖vecs u×vecs v‖=‖vecs u‖⋅‖vecs v‖⋅sin θ,) where (θ) is the angle between (vecs u) and (vecs v). Its direction is given by the right-hand rule.
  • The algebraic formula for calculating the cross product of two vectors,

(vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩), is

(vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k}.)

  • The cross product satisfies the following properties for vectors (vecs u,vecs v,) and (vecs w), and scalar (c):

(vecs u×vecs v=−(vecs v×vecs u))

(vecs u×(vecs v+vecs w)=vecs u×vecs v+vecs u×vecs w)

(c(vecs u×vecs v)=(cvecs u)×vecs v=vecs u×(cvecs v))

(vecs u×vecs 0=vecs 0×vecs u=vecs 0)

(vecs v×vecs v=vecs 0)

(vecs u⋅(vecs v×vecs w)=(vecs u×vecs v)⋅vecs w)

  • The cross product of vectors (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩) is the determinant (egin{vmatrix}mathbf{hat i} & mathbf{hat j} & mathbf{hat k}u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3end{vmatrix})
  • If vectors (vecs u) and (vecs v) form adjacent sides of a parallelogram, then the area of the parallelogram is given by (|vecs u×vecs v|.)
  • The triple scalar product of vectors (vecs u, vecs v,) and (vecs w) is (vecs u⋅(vecs v×vecs w).)
  • The volume of a parallelepiped with adjacent edges given by vectors (vecs u,vecs v), and (vecs w) is (V=|vecs u⋅(vecs v×vecs w)|.)
  • If the triple scalar product of vectors (vecs u,vecs v,) and (vecs w) is zero, then the vectors are coplanar. The converse is also true: If the vectors are coplanar, then their triple scalar product is zero.
  • The cross product can be used to identify a vector orthogonal to two given vectors or to a plane.
  • Torque (vecs τ) measures the tendency of a force to produce rotation about an axis of rotation. If force (vecs F) is acting at a distance (displacement) (vecs r) from the axis, then torque is equal to the cross product of (vecs r) and (vecs F: vecs τ=vecs r×vecs F.)

Anahtar Denklemler

  • The cross product of two vectors in terms of the unit vectors

[vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k}]

Sözlük

cross product

(vecs u×vecs v=(u_2v_3−u_3v_2)mathbf{hat i}−(u_1v_3−u_3v_1)mathbf{hat j}+(u_1v_2−u_2v_1)mathbf{hat k},) where (vecs u=⟨u_1,u_2,u_3⟩) and (vecs v=⟨v_1,v_2,v_3⟩)

determinant

a real number associated with a square matrix

parallelepiped

a three-dimensional prism with six faces that are parallelograms

torque

the effect of a force that causes an object to rotate

triple scalar product

the dot product of a vector with the cross product of two other vectors: (vecs u⋅(vecs v×vecs w))

vector product

the cross product of two vectors

Katkıda Bulunanlar ve Öznitelikler

  • Gilbert Strang (MIT) ve Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd), katkıda bulunan birçok yazarla birlikte. OpenStax'ın bu içeriği bir CC-BY-SA-NC 4.0 lisansı ile lisanslanmıştır. http://cnx.org adresinden ücretsiz olarak indirin.


Cross

C = cross( A,B ) returns the cross product of A and B .

If A and B are vectors, then they must have a length of 3.

If A and B are matrices or multidimensional arrays, then they must have the same size. In this case, the cross function treats A and B as collections of three-element vectors. The function calculates the cross product of corresponding vectors along the first array dimension whose size equals 3.

C = cross( A,B , dim ) evaluates the cross product of arrays A and B along dimension, dim . A and B must have the same size, and both size(A,dim) and size(B,dim) must be 3. The dim input is a positive integer scalar.


Engineering Statics: Open and Interactive

This interactive shows the relation of the cross product to the two vectors and the angle between them.

The vector is a mathematical operation applied to two vectors which produces a third mutually perpendicular vector as a result. It’s sometimes called the , to emphasize this and to distinguish it from the dot product which produces a scalar value. The ( imes) symbol is used to indicate this operation.

Cross products are used in mechanics to find the moment of a force about about a point.

The cross product is a vector multiplication process defined by

The result is a vector mutually perpendicular to the first two with a sense determined by the right hand rule. If (vec) and (vec) are in the (xy) plane, this is

The operation is not commutative, in fact

Ntice that all the terms in the cross product equation are similar to those of the dot product, except that (sin) is used rather than (cos) and the product includes a unit vector (hat>) making the result a vector. This unit vector (hat>) is simple to find in a two-dimensional problem as it will always be perpendicular to the page, but for three-dimensional cross products it is advisable to use a vector determinant method discussed here.

Subsection 2.8.1 Cross Product of Arbitrary Vectors

The cross product of two three-dimensional vectors can be calculated by evaluating the determinant of this (3 imes 3) matrix.

Here, the first row are the unit vectors, the second row are the components of (vec) and the third row are the components of (vecmetin<.>)

Calculating the (3 imes 3) determinant can be reduced to calculating three (2 imes 2) determinants using the method of cofactors, as follows

Finally a (2 imes 2) determinant can be evaluated with the formula

After simplifying, the resulting formula for a three-dimensional cross product is

In practice, the easiest way to remember this equation is to use the augmented determinant below, where the first two columns have been copied and placed after the determinant. The cross product is then calculated by adding the product of the red diagonals and subtracting the product of blue diagonals.

which is mathematically equivalent to equation (2.8.6).

This equation produces the same result as equation (2.8.1) and you may use it if it is more convenient.

Example 2.8.2 . 2-D Cross Product.

Determine the cross product (vec imes vecmetin<.>)

In this solution we will apply equation (2.8.1).

The direction of the the cross product is determined by applying the right hand rule. With the right hand, rotating (vec) towards (vec) we find that our thumb points into the (xy) plane, so the direction of (hat>) is (-khat ext<.>)

Example 2.8.3 . 3-D Cross Product.

To solve, set up the augmented determinant and evaluate it by adding the left-to-right diagonals and subtracting the right-to-left diagonals. (2.8.6).

Calculating three-dimensional cross products by hand is tedious and error prone. Whenever you can, you should use technology to do the grunt work for you and focus on the meaning of the results. In this solution we will use an embedded Sage calculator to calculate the cross product. This same calculator can be used to do other problems.

Try changing the third line to B.cross_product(A) . What changes?

Subsection 2.8.2 Cross Product of Unit Vectors

Since unit vectors have a magnitude of one and are perpendicular to each other, the magnitude of the cross product of two perpendicular unit vectors will be one by (2.8.1). The direction is determined by the right hand rule. On the other hand, whenever you cross a unit vector with itself, the result is zero since ( heta=0 ext<.>)

One way to apply the right hand rule is to hold your right hand flat and point your fingers in the direction of the first vector, then curl them towards the second vector. When you do, your thumb will be oriented in the direction of the cross product.

To illustrate, imagine unit vectors (ihat) and (jhat) drawn on a white board in the normal orientation — (ihat) pointing right, (jhat) pointing up. Orient your right hand with your fingers pointing to the right along (ihat ext<,>) then curl them towards (jhat) and your thumb will point out of the board and establish that the direction of (ihat imes jhat=khat ext<.>) Now try to cross (-ihat) with (jhat) and you will find that your thumb now points into the board.

You should be able to convince yourself that the cross products of the positive unit vectors are

An alternate way to remember this is to use the cross product circle shown. For example when you cross (ihat) with (jhat) you are going in the positive (counterclockwise) direction around the blue inner circle and thus the answer is (+khat ext<.>) But when you cross (jhat) into (ihat) you go in the negative (clockwise) direction around the circle and thus get a (-khat ext<.>) Remember that the order of cross products matter. If you put the vectors in the wrong order you will introduce a sign error.

If you have any negative unit vectors it is easiest to separate the negative values until after you have taken the cross product, so for example


What is a Vector?

It is a measurement of one point in space relative to another point in space. It has two components – magnitude and direction. Vectors are helpful to know the position, displacement, velocity, and acceleration of an object.

Magnitude is the value of the length of the vector. It is denoted by ‘||a||.’

Direction is the angle of rotation of the vector with respect to east, west, north, and south. It is denoted by ‘ , which has two ends: the tail ve head . The direction of the arrow depends on the vector, i.e., if it’s forwards, backwards, upwards, or downwards (usually just forwards and backwards).


12.4: The Cross Product - Mathematics

Besides the usual addition of vectors and multiplication of vectors by scalars, there are also two types of multiplication of vectors by other vectors. One type, the dot product, is a scalar product the result of the dot product of two vectors is a scalar. The other type, called the cross product, is a vector product since it yields another vector rather than a scalar. As with the dot product, the cross product of two vectors contains valuable information about the two vectors themselves.

The cross product of two vectors a =<a_1,a_2,a_3> and b =<b_1,b_2,b_3> is given by

Although this may seem like a strange definition, its useful properties will soon become evident. There is an easy way to remember the formula for the cross product by using the properties of determinants. Recall that the determinant of a 2x2 matrix is

and the determinant of a 3x3 matrix is

Notice that we may now write the formula for the cross product as

Misal

The cross product of the vectors a =<3,-2,-2> and b =<-1,0,5> is

  • The length of the cross product of two vectors is
  • The length of the cross product of two vectors is equal to the area of the parallelogram determined by the two vectors (see figure below).
  • Anticommutativity:
  • Multiplication by scalars:
  • Distributivity:
  • The scalar triple product of the vectors a , b , and c :
  • The volume of the parallelepiped determined by the vectors a , b , and c is the magnitude of their scalar triple product.
  • The vector triple product of the vectors a , b , and c :

Note that the result for the length of the cross product leads directly to the fact that two vectors are parallel if and only if their cross product is the zero vector. This is true since two vectors are parallel if and only if the angle between them is 0 degrees (or 180 degrees).

Misal

To find the area of the triangle with vertices (1,1,3), (4,-1,1), and (0,1,8), one could find the length of one of the altitudes of the triangle and proceed to find A=1/2(altitude)(base). However, this may not be an easy task in three dimensions. So consider finding the one-half the area of the parallelogram determined by the vector a from (1,1,3) to (4,-1,1) and the vector b from (1,1,3) to (0,1,8). Then a =<2-1,2-(-1),2-3>=<3,-2,-2> and b =<-1,0,5>. Using the result from the previous example and property number two above, we have the length of the cross product (and therefore the parallelogram determined by a and b ) as

So, the area of the traingle is one-half this quantity, or 8.26.

The cross product occurs in many formulas in physics. Some examples include the curl of a vector field (see also Stoke's Theorem), torque, and many integrals over surfaces.


Tanım. Let $<f u>=(u_1,u_2,u_3)$ and $<f v>=(v_1,v_2,v_3)$. Then the cross product $<f u> imes <f v>$ is defined by eginlabel<f u> imes<f v>=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)end The cross product can be also written as the determinant eginlabel<f u> imes<f v>=egin <f i>& <f j>& <f k>u_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3endend One can calculate the determinant as shown in Figure 1. You multiply three entries along each indicated arrow. When you multiply three entries along each red arrow, you also multiply by −1. This is called the Rule of Sarrus named after a French mathematician Pierre Frédéric Sarrus.

Unlike the dot product, the outcome of the dot product is a vector. Also unlike the dot product, the cross product is anticommutative i.e. $<f u> imes<f v>=-<f v> imes<f u>$ Furthermore, $<f u> imes<f v>$ is orthogonal to both $<f u>$ and $<f v>$. This can be seen by showing that $(<f u> imes<f v>)cdot<f u>=(<f u> imes<f v>)cdot<f v>=0$ The cross product tells us about the orientation of the plane containing two vectors $<f u>$ and $<f v>$ as shown in Figure 2.

Kanıt. It would require some work with algebra but one can show that $|<f u> imes<f v>|^2=|<f u>|^2|<f v>|^2-(<f u>cdot<f v>)^2$ This, along with $<f u>cdot<f v>=|<f u>||<f v>|cos heta$, will lead to eqref.

From eqref, we can easily see that two nonzero vectors $<f u>$ and $<f v>$ are parallel if and only if $<f u> imes<f v>=0$.

The following theorem summarizes the properties of the cross product.

teorem. Let $<f u>$, $<f v>$, and $<f w>$ be vectors and $c$ a scalar. Sonra

  1. $<f u> imes<f v>=-<f v> imes<f u>$
  2. $(c<f u>) imes<f v>=c(<f u> imes<f v>)=<f u> imes(c<f v>)$
  3. $<f u> imes(<f v>+<f w>)=<f u> imes<f v>+<f u> imes<f w>$
  4. $(<f u>+<f v>) imes<f w>=<f u> imes<f w>+<f v> imes<f w>$
  5. $<f u>cdot(<f v> imes<f w>)=(<f u> imes<f v>)cdot<f w>$
  6. $<f u> imes(<f v> imes<f w>)=(<f u>cdot<f w>)<f v>-(<f u>cdot<f v>)<f w>$

The products in 5 and 6 are called, respectively, a scalar triple product ve bir vector triple product.

From Figure 3, we see that eginlabel|<f u> imes<f v>|end is equal to the area of the parallelogram determined by $<f u>$ and $<f v>$.

Misal. Find a vector perpendicular to the plane that passes through the points $P(1,4,6)$, $Q(-2,5,-1)$, and $R(1,-1,1)$.

Çözüm. The vectors $overrightarrow=(-3,1,-7)$ and $overrightarrow=(0,-5,-5)$ lie in the plane through $P,Q,R$. So the cross product $overrightarrow imesoverrightarrow=(-40,-15,15)$ is perpendicular to the plane.

Misal. Find the area of the triangle with vertices $P(1,4,6)$, $Q(-2,5,-1)$, and $R(1,-1,1)$.

Çözüm. In the previous example, we found $overrightarrow imesoverrightarrow=(-40,-15,15)$ and by eqref we know that $|overrightarrow imesoverrightarrow|=sqrt<(-40)^2+(-15)^2+<15>^2>=5sqrt<82>$ is the area of the parallelogram determined by the two vectors $overrightarrow$ and $overrightarrow$. The area of the triangle with vertices $P$, $Q$, and $R$ is just the half of the area of the parallelogram i.e. $frac<5><2>sqrt<82>$.

From Figure 4, the volume of the parallelepiped determined by $<f u>$, $<f v>$, and $<f w>$ is $V=|<f v> imes<f w>||<f u>|cos heta=<f u>cdot(<f v> imes<f w>)$ In Figure 4, the vectors $<f u>$, $<f v>$, and $<f w>$ are positioned well enough so that the triple scalar product $<f u>cdot(<f v> imes<f w>)$ is positive but depending on how they are positioned, it could be negative. Since the volume always has to be positive, it is given by eginlabelV=|<f u>cdot(<f v> imes<f w>)|end

The scalar triple product $<f u>cdot(<f v> imes<f w>)$ can be written nicely by the determinant eginlabel<f u>cdot(<f v> imes<f w>)=eginu_1 & u_2 & u_3v_1 & v_2 & v_3w_1 & w_2 & w_3endend The calculation of the determinant can be done by the rule of Sarrus shown in Firgure 1.

Çözüm. From Figure 4 above, one can easily see that the three vectors $<f u>$, $<f v>$ and $<f w>$ are coplanar (i.e. they are in the same plane) if and only if $ heta=frac<2>$ if and only if $<f u>cdot (<f v> imes<f w>)=0$. egin<f u>cdot (<f v> imes<f w>)&=egin1 & 4 & -72 & -1 & 4 & -9 & 18end&=0end Therefore, $<f u>$, $<f v>$ and $<f w>$ are coplanar.

The notion of the cross product can be used to describe physical effects involving rotations such as the circulation of electric/magnetic fields or fluids. Here we discuss the torque as a physical application of the cross product. Look at Figure 5.

Assume that a force $<f F>$ is acting on a rigid body at a point given by a position vector $<f r>$. The resulting turning effect $<f au>$, called the torque, can be measured by eginlabel<f au>=<f r> imes<f F>end

Misal. A bolt is tightened by applying a 40 N force to a 0.25 m wrench as shown in Figure 6. Find the magnitude of the torque about the center of the bolt.

Çözüm. The magnitude of the torque is egin|<f au>|&=|<f r> imes<f F>|=|<f r>||<f F>|sin 75^circ=(0.25)(40)sin 75^circ&=10sin 75^circapprox 9.66 mathrmend

Examples in this note have been taken from [1].

[1] Calculus, Early Transcendentals, James Stewart, 6th Edition, Thompson Brooks/Cole

Leave a Reply Cancel reply

Support MathPhys Archive

If you like what you read here and think it is helpful for you, please kindly consider a donation to support maintaining this site and its server, and to support improving the quality of its blog content.


12.4: The Cross Product - Mathematics

You are about to erase your work on this activity. Are you sure you want to do this?

Updated Version Available

There is an updated version of this activity. If you update to the most recent version of this activity, then your current progress on this activity will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?

Mathematical Expression Editor

The cross product is a special way to multiply two vectors in three-dimensional space.

The cross product is linked inextricably to the determinant, so we will first introduce the determinant before introducing this new operation.

Determinants

Typically, when one computes the determinant of a matrix, we think of the terms as follows.

Cross products

Determinants in have many uses. In , one of the uses is the definition of the cross product.

is efficient, because you immediately have the components of the desired vector without additional simplification.

Notice that the cross product is not commutative! In fact, it is anticommutative, meaning the statement below.

Let’s examine the cross product on famous unit vectors.

One way to remember the cross products of the unit vectors , , and is to use the diagram below.

Since we see that the cross product of two basic unit vectors produces a vector orthogonal to her ikisi de unit vectors, we are led to our next theorem (which could be verified through brute force computations).

In three-dimensional space, when seeking a vector perpendicular to both and , we could choose one of two directions: the direction of , or the direction of . The direction of the cross product is given by the right-hand rule. Given and in with the same initial point, point the index finger of your right hand in the direction of and let your middle finger point in the direction of (much as we did when establishing the right-hand rule for the 3-dimensional coordinate system). Your thumb will naturally extend in the direction of . If you switch your fingers, pointing the index finder in the direction of and the middle finger in the direction of , your thumb will now point in the opposite direction, allowing you to “visualize” the anticommutative property of the cross product.

The geometry of the cross product

Just as we related the angle between two vectors and their dot product, there is a similar relationship relating the cross product of two vectors to the angle between them. Before we get started, we need an identity.

The theorems above help us make a strong connection between the cross product and geometry.

Note that if and are in , we can still use the cross product to compute the area of the parallelogram spanned by and . We just add a -component of to each vector.

Uygulamalar

In addition to the geometric applications we have already seen, we can also use the cross product in some physical applications.

Torque

Imagine turning a wrench. The wrench originates at a point and terminates at a point . Let . You apply a force to the end of the wrench. If points in the same direction as , the bolt will not twist at all, since you will just be pulling on the handle. If is perpendicular to the handle, then we expect quite a bit of twisting to occur.

Magnetism

When a charged particle moves through a magnetic field, it experiences a force. If the charge is , the velocity of the particle is , and the magnetic field is , then the force is given by

The algebra of the cross product

Below, we summarize some rules for working with cross products.

Moreover, these properties determine the cross product uniquely.

We will not prove that the cross product is the only function with these properties, but that is an important point. If you ever wondered where this crazy formula came from, the uniqueness of the cross product is your explanation. If you want these properties, there is only one operation which gives them to you, and it is the cross product. We leave you with the following curious fact. The cross product only exists in and . While a proof of this fact is beyond the scope of this course, we hope that this mystery encourages you to travel deeper into your studies.


2.4 The Cross Product

Imagine a mechanic turning a wrench to tighten a bolt. The mechanic applies a force at the end of the wrench. This creates rotation, or torque, which tightens the bolt. We can use vectors to represent the force applied by the mechanic, and the distance (radius) from the bolt to the end of the wrench. Then, we can represent torque by a vector oriented along the axis of rotation. Note that the torque vector is orthogonal to both the force vector and the radius vector.

In this section, we develop an operation called the cross product, which allows us to find a vector orthogonal to two given vectors. Calculating torque is an important application of cross products, and we examine torque in more detail later in the section.

The Cross Product and Its Properties

The dot product is a multiplication of two vectors that results in a scalar. In this section, we introduce a product of two vectors that generates a third vector orthogonal to the first two. Consider how we might find such a vector. Let u = 〈 u 1 , u 2 , u 3 〉 u = 〈 u 1 , u 2 , u 3 〉 and v = 〈 v 1 , v 2 , v 3 〉 v = 〈 v 1 , v 2 , v 3 〉 be nonzero vectors. We want to find a vector w = 〈 w 1 , w 2 , w 3 〉 w = 〈 w 1 , w 2 , w 3 〉 orthogonal to both u u and v v —that is, we want to find w w such that u · w = 0 u · w = 0 and v · w = 0 . v · w = 0 . Therefore, w 1 , w 1 , w 2 , w 2 , and w 3 w 3 must satisfy

we get a possible solution vector. Substituting these values back into the original equations gives


Properties of the Cross Product

The fact that (keginvec imes vecend = egin kvecend imes vec = vec imes egin kvecend) can often be used to make calculation easier.

Misal

For example, say we're given (vec = 20vec + 60 vec + 40 vec) and (vec = vec + 5vec - 4vec) and that we have to find (vec imes vec). Then we can use this property to make our calculations a little simpler (and therefore faster) by noticing that (vec = 20 egin vec + 3 vec + 2 vec end) and using this property to write: [egin vec & vec & vec 20 & 60 & 40 1 & 5 & -4 end = 20 egin vec & vec & vec 1 & 3 & 2 1 & 5 & -4 end]

Misal

Another example could be, to calculate (vec imes vec), where (vec = 5 vec - 20 vec + 10 vec) and (vec = 9 vec +6 vec -3 vec). Noticing that (vec = 5egin1vec - 4vec + 2 v son) ve (vec = 3 aşlangıç 3vec + 2vec - vecson) şunu yazabiliriz: [aşla vec & vec & vec 5 & -20 & 10 9 & 6 & -3 end = 5 imes 3aşlangıç vec & vec & vec 1 & -4 & 2 3 & 2 & -1end = 15aşlangıç vec & vec & vec 1 & -4 & 2 3 & 2 & -1end]


VEKTÖR HESAPLARININ GEOMETRİSİ

Çapraz çarpım temelde yönlendirilmiş bir alandır. büyüklük Çapraz çarpım, yanları çapraz çarpımdaki iki vektör olan paralelkenarın alanı olarak tanımlanır.

Yukarıdaki şekilde, paralelkenarın yüksekliği (|ww|sin heta ext<,>) olduğundan alanı

bu nedenle çapraz ürünün büyüklüğüdür.

Denklem (3.15.1)'in ani bir sonucu, iki vektör paralel ise, bunların çapraz çarpımı sıfırdır,

yön çarpımı sağ el kuralı ile verilir: Sağ elinizin parmaklarını birinci vektöre ((vv)) doğrultun ve parmaklarınızı ikinci vektöre ((ww)) doğru kıvırın. Bu işi yapmak için elinizi çevirmeniz gerekebilir. Şimdi baş parmağınızı (vv imesww ext<.>) yönünde uzatın. Yukarıda gösterilen örnekte (vv imesww) sayfanın dışına işaret ediyor. Sağ el kuralı şu anlama gelir:

çünkü elinizi uygun şekilde konumlandırarak kendiniz doğrulamanız gerekir. Bu nedenle, çapraz ürün değişmeli değildir. 1 Çapraz çarpımın bir diğer önemli özelliği, bir vektörün kendisiyle çarpımının sıfır olmasıdır.

bu, önceki üç denklemden herhangi birini takip eder.

Standart ortonormal taban açısından, geometrik formül hızlı bir şekilde verir

Çapraz çarpımın bu döngüsel doğası, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bu çarpım tablosunu kısaltarak vurgulanabilir. 2

Ok yönündeki ürünler artı işareti alır, ok yönündeki ürünler eksi işareti alır.

( ext<,>) gibi bir ortonormal taban kullanılarak geometrik formül, çapraz çarpımın standart bileşen formuna indirgenir. 3 Eğer (vv=v_x,xhat+v_y,yhat+v_z,zhat) ve (ww=w_x,xhat+w_y,yhat+w_z,zhat metin<,>) sonra

genellikle sembolik belirleyici olarak yazılır

(3.15.5) ezberlemek yerine (3.15.6) kullanmanızı öneririz. Ayrıca, işaret hatalarını en aza indirme eğiliminde olan küçükleri kullanmak yerine determinantı aşağıda açıklandığı gibi hesaplamanızı öneririz. Bir (3 imes3) determinantı şu şekilde hesaplanabilir

burada her çapraz çizgi boyunca terimler çarpılır, sola doğru aşağı doğru giden doğrular boyunca elde edilen ürünler, sağa doğru aşağı doğru giden doğrulardan çıkarılır. Bu yöntem yalnızca ((2 imes2) ve) (3 imes3) belirleyicileri için çalışırken, çapraz çarpımın döngüsel yapısını vurgular.

Bir diğer önemli beceri, ne zaman olduğunu bilmektir. değil hiç bir determinant kullanmak için. ((xhat+3,yhat) imeszhat ext<,>) gibi basit çapraz ürünler için doğrudan çarpım tablosunu kullanmak daha kolaydır.

Çarpım tablosunun ve determinant yönteminin doğal olarak aşağıdakilere genelleştiğini belirtmekte fayda var. hiç (sağ-elli) ortonormal taban gerekli olan tek şey, () dikdörtgen tabanını kullanılanla (doğru sırada!) değiştirmektir. Örneğin, silindirik koordinatlarda, sadece

(ve döngüsel permütasyonlar), ancak çapraz ürünler şu şekilde hesaplanabilir:

burada elbette (vv=v_r, hat+v_phi,phat+v_z,zhat) ve benzer şekilde (ww ext<.>) için

Çapraz çarpımın geometrisini vurgulayan iyi bir problem, (xhat ext<,>) (yhat ext<,>) ( vektörlerinin uçlarının birleştirilmesiyle oluşturulan üçgenin alanını bulmaktır. zhat) (kimin tabanı orijindedir).


Videoyu izle: Calculus-II: Vektörel Çarpım Cross Product (Ekim 2021).