Nesne

19.5: İkinci Dereceden Eşitsizlikleri Çöz - Matematik


Öğrenme hedefleri

Bu bölümün sonunda şunları yapabileceksiniz:

  • İkinci dereceden eşitsizlikleri grafiksel olarak çözün
  • İkinci dereceden eşitsizlikleri cebirsel olarak çözün

Başlamadan önce, bu hazırlık testini yapın.

  1. Çöz: (2x−3=0).
    Bu sorunu kaçırdıysanız, Örnek 2.2'yi inceleyin.
  2. Çöz: (2y^{2}+y=15).
    Bu sorunu kaçırdıysanız, Örnek 6.45'i inceleyin.
  3. (frac{1}{x^{2}+2 x-8}>0) çöz
    Bu sorunu kaçırdıysanız, Örnek 7.56'yı inceleyin.

Daha önce doğrusal eşitsizlikleri ve rasyonel eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi öğrendik. Onları çözmek için kullandığımız tekniklerin bazıları aynıydı ve bazıları farklıydı.

Şimdi ikinci dereceden bir ifadeye sahip eşitsizlikleri çözmeyi öğreneceğiz. Doğrusal ve rasyonel eşitsizliklerin yanı sıra ikinci dereceden denklemleri çözme tekniklerinden bazılarını kullanacağız.

İkinci dereceden eşitsizlikleri hem grafiksel hem de cebirsel olarak iki şekilde çözeceğiz.

İkinci Dereceden Eşitsizlikleri Grafik Olarak Çözün

bir ikinci dereceden denklem (ax^{2}+bx+c=0) olarak yazıldığında standart biçimdedir. Eşittir işaretini bir eşitsizlik işaretiyle değiştirirsek, ikinci dereceden eşitsizlik standart formda.

Tanım (PageIndex{1})

ikinci dereceden eşitsizlik

bir ikinci dereceden eşitsizlik ikinci dereceden bir ifade içeren bir eşitsizliktir.

İkinci dereceden bir eşitsizliğin standart formu şöyle yazılır:

(egin{array}{ll}{ax^{2}+b x+c<0} & {ax^{2}+b x+c leq 0} {ax^{2}+b x+c>0} & {ax^{2}+b x+c geq 0}end{dizi})

İkinci dereceden bir fonksiyonun (f(x)=a x^{2}+b x+c=0) grafiği bir paraboldür. Ne zaman (a x^{2}+b x+c<0) olduğunu sorduğumuzda, ne zaman olduğunu (f(x)<0) soruyoruz. Parabolün ne zaman (x) ekseninin altında olduğunu bilmek istiyoruz.

Ne zaman (a x^{2}+b x+c>0) olduğunu sorduğumuzda, ne zaman (f(x)>0 olduğunu soruyoruz). Parabolün (y) ekseninin ne zaman üzerinde olduğunu bilmek istiyoruz.

Örnek (PageIndex{1}) İkinci Dereceden Bir Eşitsizliği Grafik Olarak Çözme

(x^{2}−6x+8<0)'ı grafiksel olarak çözün. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Çözüm:

Aşama 1: İkinci dereceden eşitsizliği standart biçimde yazın.

Eşitsizlik standart biçimdedir.

Adım 2: Özellikleri veya dönüşümleri kullanarak (f(x)=a x^{2}+b x+c) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Özellikleri kullanarak grafiğini çizeceğiz.

Denklemde (a)'ya bakın.

(color{kırmızı}{a=1, b=-6, c=8})

(f(x)=x^{2}-6 x+8)

(a) pozitif olduğundan, parabol yukarı doğru açılır.

Parabol yukarı doğru açılır.

(f(x)=x^{2}-6 x+8)

Simetri ekseni (x=-frac{b}{2 a}) doğrusudur.

Simetri ekseni

(x=-frac{b}{2 a})

(egin{array}{l}{x=-frac{(-6)}{2 cdot 1}} {x=3}end{dizi})

Simetri ekseni (x=3) doğrusudur.

Köşe simetri ekseni üzerindedir. Fonksiyona (x=3) yazın.

tepe noktası

Köşe ((3,-1)'dir.

(f(0)) buluruz

(y)-kesme

(y)-kesişim noktası ((0.8)).

(y)-kesişimine simetrik bir nokta bulmak için simetri eksenini kullanırız. (y)-kesme noktası, simetri ekseninin solundaki (3) birimdir, (x=3). Simetri ekseninin sağındaki (3) birim noktasında (x=6) vardır.

(y)-intercept'e göre simetrik nokta

Nokta ((6,8)).

(f(x)=0) çözeriz.

(x)-kesme noktaları

Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz.

(x)-kesme noktaları ((2,0)) ve ((4,0)) şeklindedir.

(y)-kesişimine göre tepe noktası, kesişme noktaları ve simetrik noktanın grafiğini çizeriz. Parabolü çizmek için bu (5) noktalarını birleştiriyoruz.

Aşama 3: Çözümü grafikten belirleyin.

(x^{2}-6 x+8<0)

Eşitsizlik, fonksiyonu (0)'dan küçük yapan (x) değerlerini ister. (x)'nin hangi değerleri, parabolü (x)-ekseni altında yapar.

Eşitsizlik sadece küçük olduğundan (2), (4) değerlerini dahil etmiyoruz.

Çözüm, aralık gösteriminde ((2,4)).

Alıştırma (PageIndex{1})

  1. (x^{2}+2 x-8<0) öğesini grafiksel olarak çözün
  2. Çözümü aralık gösteriminde yazın
Cevap


  1. Şekil 9.8.4
  2. ((-4,-2))

Alıştırma (PageIndex{2})

  1. (x^{2}-8 x+12 geq 0)'ı grafiksel olarak çözün
  2. Çözümü aralık gösteriminde yazın
Cevap


  1. Şekil 9.8.5
  2. ((-infty, 2] fincan[6, infty))

İkinci dereceden bir eşitsizliği çözmek için atılması gereken adımları grafiksel olarak listeliyoruz.

İkinci Dereceden Bir Eşitsizliği Grafik Olarak Çözün

  1. İkinci dereceden eşitsizliği standart biçimde yazın.
  2. (f(x)=ax^{2}+bx+c) fonksiyonunun grafiğini çizin.
  3. Çözümü grafikten belirleyin.

Son örnekte, parabol yukarı doğru açıldı ve sonraki örnekte aşağı doğru açıldı. Her iki durumda da, parabolün (x) ekseninin altında kalan kısmını arıyoruz, ancak parabolün konumunun çözümü nasıl etkilediğine dikkat edin.

Örnek (PageIndex{2})

(-x^{2}-8 x-12 leq 0)'ı grafiksel olarak çözün. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Çözüm:

Standart biçimde ikinci dereceden eşitsizlik.

Fonksiyonun grafiğini çizin

Parabol aşağıya doğru açılır.

Simetri çizgisini bulun.(egin{array}{l}{x=-frac{b}{2 a}} {x=-frac{-8}{2(-1)}} {x=- 4}end{dizi})
Köşeyi bulun.

Köşe ((-4,4))

(x)-kesme noktalarını bulun. (f(x)=0) olsun.
Faktör: Sıfır Ürün Özelliğini kullanın.
Parabolün grafiğini çizin.

(x)-kesme noktaları ((-6,0), (-2.0))

Çözümü grafikten belirleyin. (x)-kesme noktalarını eşitsizlik "küçük veya eşittir" olduğundan dahil ederiz.((-infty,-6] kupa[-2, infty))
Tablo 9.8.1

Alıştırma (PageIndex{3})

  1. (-x^{2}-6 x-5>0) öğesini grafiksel olarak çözün
  2. Çözümü aralık gösteriminde yazın
Cevap


  1. Şekil 9.8.8
  2. ((-1,5))

Alıştırma (PageIndex{4})

  1. (−x^{2}+10x−16≤0)'yi grafiksel olarak çözün
  2. Çözümü aralık gösteriminde yazın
Cevap


  1. Şekil 9.8.9
  2. ((-infty, 2] fincan[8, infty))

İkinci Dereceden Eşitsizlikleri Cebirsel Olarak Çözün

Kullanacağımız cebirsel yöntem, rasyonel eşitsizlikleri çözmek için kullandığımız yönteme çok benzer. İlgili ikinci dereceden denklemin çözümleri olacak eşitsizliğin kritik noktalarını bulacağız. Bir polinom ifadesinin yalnızca ifadenin sıfır olduğu yerde işaretleri değiştirebileceğini unutmayın.

kullanacağız kritik noktalar sayı doğrusunu aralıklara bölmek ve ardından ikinci dereceden ifadenin aralıkta pozitif mi yoksa negatif mi olacağını belirlemek. Daha sonra eşitsizliğin çözümünü belirliyoruz.

Örnek (PageIndex{3}) İkinci Dereceden Eşitsizlikleri Cebirsel Olarak Çözme

(x^{2}-x-12 geq 0)'ı cebirsel olarak çözün. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Çözüm:

Aşama 1: İkinci dereceden eşitsizliği standart biçimde yazın.Eşitsizlik standart biçimdedir.
Adım 2: Kritik noktaları belirleyin--ilgili ikinci dereceden denklemin çözümleri.Eşitsizlik işaretini eşittir işaretiyle değiştirin ve denklemi çözün.
Aşama 3: Sayı doğrusunu aralıklara bölmek için kritik noktaları kullanın.Sayı doğrusunu aralıklara bölmek için (-3) ve (4) tuşlarını kullanın.
4. Adım: Sayı doğrusu üzerinde, orijinal eşitsizlikten ikame edilen her aralıktaki test noktalarını kullanarak her ikinci dereceden ifadenin işaretini gösterin.

Ölçek:

(x=-5)

(x=0)

(x=5)

(egin{array}{ccc}{x^{2}-x-12} & {x^{2}-x-12} & {x^{2}-x-12} {(- 5)^{2}-(-5)-12} & {0^{2}-0-12} & {5^{2}-5-12} {18} & {-12} & { 8}end{dizi})

Adım 5: Eşitsizliğin doğru olduğu aralıkları belirleyin. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Eşitsizlik ilk ve son aralıklarda pozitiftir ve (-4,3) noktalarında (0)'a eşittir.

Çözüm, aralık gösteriminde ((-infty,-3] cup[4, infty)).
Tablo 9.8.2

Alıştırma (PageIndex{5})

(x^{2}+2x−8≥0)'yi cebirsel olarak çözün. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Cevap

((-infty,-4] cup[2, infty))

Alıştırma (PageIndex{6})

(x^{2}−2x−15≤0)'ı cebirsel olarak çözün. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Cevap

([-3,5])

Bu örnekte, (x^{2}−x−12) ifadesi güzel çarpanlarına sahip olduğundan, rasyonel eşitsizlikleri çözdüğümüzde yaptığımız gibi, her aralıktaki işareti de bulabiliriz. Faktörlerin her birinin işaretini ve ardından ürünün işaretini buluruz. Sayı hattımız şunu ister:

Sonuç, diğer yöntemi kullanarak bulduğumuzla aynı.

Adımları burada özetliyoruz.

İkinci Dereceden Bir Eşitsizliği Cebirsel Olarak Çözün

  1. İkinci dereceden eşitsizliği standart biçimde yazın.
  2. Kritik noktaları belirleyin—ilgili ikinci dereceden denklemin çözümleri.
  3. Sayı doğrusunu aralıklara bölmek için kritik noktaları kullanın.
  4. Sayı çizgisinin üzerinde, orijinal eşitsizliğin yerine geçen her aralıktaki test noktalarını kullanarak her ikinci dereceden ifadenin işaretini gösterin.
  5. Eşitsizliğin doğru olduğu aralıkları belirleyin. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Örnek (PageIndex{4})

(x^{2}+6x−7≥0)'yi cebirsel olarak çözün. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Çözüm:

İkinci dereceden eşitsizliği standart biçimde yazın.
Eşitsizliğin her iki tarafını (-1) ile çarpın. Eşitsizlik işaretini tersine çevirmeyi unutmayın.
İlgili ikinci dereceden denklemi çözerek kritik noktaları belirleyin.
Kuadratik Formülü yazın.
Sonra (a, b, c) değerlerini yerine koyun.
Basitleştirin.(x=frac{6 pm sqrt{8}}{2})
Radikal'i basitleştirin.(x=frac{6 pm 2 sqrt{2}}{2})
(2) ortak çarpanını kaldırın.(egin{array}{l}{x=frac{2(3 pm sqrt{2})}{2}} {x=3 pm sqrt{2}} {x =3+sqrt{2}} quad x=3-sqrt{2} {x yaklaşık 1,6}quadquad::: xyaklaşık 4,4end{dizi})
Sayı doğrusunu aralıklara bölmek için kritik noktaları kullanın. Orijinal eşitsizlikteki her aralıktaki sayıları test edin.
Eşitsizliğin doğru olduğu aralıkları belirleyin. Çözümü aralık gösteriminde yazın.
Tablo 9.8.3

Alıştırma (PageIndex{7})

(−x^{2}+2x+1≥0)'yi cebirsel olarak çözün. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Cevap

([-1-sqrt{2},-1+sqrt{2}])

Alıştırma (PageIndex{8})

(−x^{2}+8x−14<0)'yi cebirsel olarak çözün. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Cevap

((-infty, 4-sqrt{2}) cup(4+sqrt{2}, infty))

Önceki örneklerin her birinde ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümleri ya bir aralıktı ya da iki aralığın birleşimiydi. Bunun nedeni, her durumda karşılık gelen ikinci dereceden denklem (ax^{2}+bx+c=0) için iki çözüm bulmamızdır. Bu iki çözüm daha sonra bize iki (x) verdi.-sayı doğrusunu aralıklara bölmek için grafik veya iki kritik nokta için kesişme noktaları.

Bu, diskriminant kullanan ikinci dereceden bir denklemin çözümlerinin sayısı ve türüyle ilgili önceki tartışmamızla ilişkilidir.

(ax^{2}+bc+c=0, a≠0) biçiminde ikinci dereceden bir denklem için.

Tablonun son satırı bize parabollerin (x)-eksenini ne zaman kesmediğini gösterir. İkinci dereceden denklemi çözmek için İkinci Dereceden Formülü kullanarak, kök sayısı bir negatiftir. İki karmaşık çözüm elde ediyoruz.

Bir sonraki örnekte, ikinci dereceden eşitsizlik çözümleri, ikinci dereceden denklemin çözümünün karmaşık olmasından kaynaklanacaktır.

Örnek (PageIndex{5})

Çöz, herhangi bir çözümü aralık gösteriminde yazarak:

  1. (x^{2}-3 x+4>0)
  2. (x^{2}-3 x+4 leq 0)

Çözüm:

bir.

İkinci dereceden eşitsizliği standart biçimde yazın.0)
İlgili ikinci dereceden denklemi çözerek kritik noktaları belirleyin.
Kuadratik Formülü yazın.
Sonra (a, b, c) değerlerini yerine koyun.
Basitleştirin.(x=frac{3 pm sqrt{-7}}{2})
Radikandı basitleştirin.(x=frac{3 pm sqrt{7 i}}{2})
Karmaşık çözümler bize
parabol (x) eksenini kesmez.
Ayrıca parabol yukarı doğru açılır. Bu
bize parabolün (x) ekseninin tamamen üzerinde olduğunu söyler.

Karmaşık çözümler

Tablo 9.8.4

(x^{2}−3x+4>0) çözümünü bulmalıyız. Tüm (x) değerleri için grafik (x) ekseninin üzerinde olduğundan, (x)'nin tüm değerleri eşitsizliği doğrular. Aralık gösteriminde ((−∞,∞)) yazarız.

b. İkinci dereceden eşitsizliği standart biçimde yazın.

İlgili ikinci dereceden denklemi çözerek kritik noktaları belirleyin.

Karşılık gelen ikinci dereceden denklem (a) bölümündeki ile aynı olduğundan, parabol aynı olacaktır. Parabol yukarı doğru açılır ve (x) ekseninin tamamen üzerindedir—hiçbir parçası (x) ekseninin altında değildir.

(x^{2}−3x+4≤0) çözümünü bulmalıyız. Tüm (x) değerleri için grafik hiçbir zaman (x) ekseninin altında olmadığından, (x)'nin hiçbir değeri eşitsizliği doğru yapmaz. Eşitsizliğin çözümü yok.

Alıştırma (PageIndex{9})

Herhangi bir çözümü aralık gösteriminde çözün ve yazın:

  1. (-x^{2}+2 x-4 leq 0)
  2. (-x^{2}+2 x-4 geq 0)
Cevap
  1. ((-infty, infty))
  2. çözüm yok

Alıştırma (PageIndex{10})

Herhangi bir çözümü aralık gösteriminde çözün ve yazın:

  1. (x^{2}+3 x+3<0)
  2. (x^{2}+3 x+3>0)
Cevap
  1. çözüm yok
  2. ((-infty, infty))

Anahtar kavramlar

  • İkinci Dereceden Bir Eşitsizliği Grafik Olarak Çözün
    1. İkinci dereceden eşitsizliği standart biçimde yazın.
    2. Özellikleri veya dönüşümleri kullanarak (f(x)=ax^{2}+bx+c) fonksiyonunun grafiğini çizin.
    3. Çözümü grafikten belirleyin.
  • İkinci Dereceden Bir Eşitsizlik Cebirsel Olarak Nasıl Çözülür?
    1. İkinci dereceden eşitsizliği standart biçimde yazın.
    2. Kritik noktaları belirleyin -- ilgili ikinci dereceden denklemin çözümleri.
    3. Sayı doğrusunu aralıklara bölmek için kritik noktaları kullanın.
    4. Sayı çizgisinin üzerinde, orijinal eşitsizliğin yerine geçen her aralıktaki test noktalarını kullanarak her ikinci dereceden ifadenin işaretini gösterin.
    5. Eşitsizliğin doğru olduğu aralıkları belirleyin. Çözümü aralık gösteriminde yazın.

Sözlük

ikinci dereceden eşitsizlik
İkinci dereceden bir eşitsizlik, ikinci dereceden bir ifade içeren bir eşitsizliktir.

Cebir II : İkinci Dereceden Eşitsizlikler

Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliği çözün ve cevabınızı aralık formunda bildirin:

Sorun zaten standart formda, bu yüzden ilk başta yapmamız gereken tek şey ikinci dereceden ifadeyi = 0 ve faktörü normal olarak ayarlamak.

Negatif x^2'lerle çalışmak zordur, bu yüzden -1 ile çarparız.

Sıfır çarpım özelliği ile bu faktörlerin her biri 0'a eşit olacaktır.

-9 ve 1 bizim sıfırlarımız olduğundan, cevap setimizin hangi bölgeye girdiğini bulmak için aralarındaki bölgede bir noktayı test etmemiz yeterli. Orijinal eşitsizlikte x = 0'ı test edelim.

Bu ifade yanlış olduğu için -9 ile 1 arasındaki bölge doğru değildir. Yani bu noktaların her iki tarafındaki bölge olmalı. Orijinal eşitsizlik eşit veya küçük olduğundan, sınır noktaları dahil edilmiştir. Yani -sonsuzdan -9 dahile ve 1 dahilden sonsuza kadar olan tüm değerler çözümdür. Aralık gösteriminde bunu şöyle yazarız:

Örnek Soru #516 : Ara Tek Değişkenli Cebir

Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliği çözün:

İlk önce ikinci dereceden ifadeyi standart biçimde yeniden yazmak istiyoruz:

Şimdi onu = 0 ve çarpanlara ayırıp normal gibi çözmek istiyoruz.

Sıfır çarpım özelliğini kullanarak, her iki faktör de bir sıfır üretir:

Yani iki sıfır -2 ve 3'tür ve cevap aralığımızın sınırlarını işaretler. Aralığın -2 ile 3 arasında mı yoksa her iki tarafta mı olduğunu bulmak için -2 ile 3 arasında bir test noktası alırız (örneğin, x = 0) ve orijinal eşitsizliği değerlendiririz.

Yukarıdakiler doğru bir ifade olduğundan, çözüm aralığının test noktamızı seçtiğimiz bölge olan -2 ile 3 arasında olduğunu biliyoruz. Orijinal eşitsizlik eşit veya küçük olduğundan, uç noktaları dahil ettik.

Örnek Soru #517 : Ara Tek Değişkenli Cebir

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemin diskriminantı nedir:

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı eşittir. Ancak verilen denklem bu formda değil, bu yüzden onu bu forma sokmak için önce onu çarpmamız gerekiyor. Bu nedenle şunları elde ederiz:

Bu nedenle , ve 'ye sahibiz. Diskriminantımız bu nedenle:

Doğru cevap bu nedenle

Örnek Soru #518 : Ara Tek Değişkenli Cebir

Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliği çözün:

1. Denklemi standart biçimde yeniden yazın.

2. Denklemi eşitleyin ve çarpanlara ayırarak çözün.

3. Çözüm aralığının sıfırlar arasında mı yoksa iki yanında mı olduğunu anlamak için sıfırlarınız arasında bir noktayı test edin. (Orijinal eşitsizliğinize takarak test etmeyi deneyin.)

Yukarıdaki ifade doğru olduğundan, çözüm ve arasındaki aralıktır.

Örnek Soru #519 : Ara Tek Değişkenli Cebir

Sıfırlar 3 ve 8 olduğundan bir sayı doğrusu 3 bölüme ayrılabilir.

X<3 çalışıyor, 3<x<8 çalışmıyor ve x>8 çalışıyor

Örnek Soru #520 : Ara Tek Değişkenli Cebir

Eşitsizliği sıfıra ayarlayarak ve için çözerek başlayın.

Şimdi, bu iki noktayı bir sayı doğrusuna çizin.

Bu iki sayının sayı doğrusunu etkin bir şekilde üç bölgeye ayırdığına dikkat edin:

Şimdi, bu bölgelerin her birinde bir sayı seçin ve hangi durumların doğru olduğunu görmek için onu çarpanlara ayrılmış eşitsizliğe geri koyun.

Bu, 'den az olmadığı için bu eşitsizliğin çözümü bu bölgede olamaz.

Bu eşitsizliği gerçekleştireceği için çözüm bu bölgede olabilir.

Bu sayı sıfırdan küçük olmadığı için çözüm bu bölgede olamaz.

Buna göre bu eşitsizliğin çözümü

Örnek Soru #1 : İkinci Dereceden Eşitsizlikler

Çözüm verilen bilgilerle belirlenemez.

İlk önce eşitsizliği sıfıra ayarlayın ve için çözün.

Şimdi, bu iki sayıyı bir sayı doğrusuna çizin.

Bu sayıların sayı doğrusunu nasıl üç bölgeye ayırdığına dikkat edin:

Şimdi, eşitsizliğin doğru olup olmadığını görmek için eşitsizliğe geri dönmek için test etmek için bu bölgelerin her birinden bir sayı seçeceksiniz.

Bu sıfırdan küçük olmadığı için eşitsizliğin çözümü bu bölgede bulunamaz.

Bu sıfırdan küçük olduğu için çözüm bu bölgede bulunur.

Bu sıfırdan küçük olmadığı için bu bölgede çözüm bulunmaz.

O halde bu eşitsizliğin çözümü

Örnek Soru #2 : İkinci Dereceden Eşitsizlikler

Küçüktür işaretini eşittir işaretiyle değiştirerek başlayın ve için çözün.

Şimdi, bu iki sayıyı bir sayı doğrusuna çizin.

Sayı doğrusunun nasıl üç bölgeye ayrıldığına dikkat edin:

Şimdi, eşitsizliğin geçerli olup olmadığını test etmek için bu bölgelerin her birinden bir sayı seçin.

Bu sayı sıfırdan küçük olmadığı için bu bölgede çözüm bulunamaz.

Bu sayı sıfırdan küçük olduğu için çözüm bu bölgede bulunabilir.

Bu sayı sıfırdan küçük olmadığı için bu bölgede çözüm bulunamaz.

Çözüm yalnızca aralıkta negatif olduğundan, çözüm bu olmalıdır.

Örnek Soru #3 : İkinci Dereceden Eşitsizlikler

İlk önce eşitsizliği sıfıra ayarlayın ve için çözün.

Şimdi, bu iki sayıyı bir sayı doğrusuna çizin.

Bu sayıların sayı doğrusunu nasıl üç bölgeye ayırdığına dikkat edin:

Şimdi, eşitsizliğin doğru olup olmadığını görmek için eşitsizliğe geri dönmek için test etmek için bu bölgelerin her birinden bir sayı seçeceksiniz.

Bu çözüm 'den büyük veya eşit olduğundan, çözüm bu bölgede bulunabilir.

Bu, 'den küçük veya eşit olduğundan, çözüm bu bölgede bulunamaz.

Bu, 'den büyük veya eşit olduğundan, çözüm bu bölgede bulunabilir.

Çözüm her bölgede bulunabileceği için bu eşitsizliğin cevabı şudur:

Örnek Soru 4 : İkinci Dereceden Eşitsizlikler

Eşitsizliği sağlayan değer hangisidir?

Çözmek için yeterli bilgi yok

İlk olarak, grafiğini daha iyi anlamamızı sağlamak için ikinci dereceden faktörü çarpanlarına ayırabiliriz. Faktoring bize verir: . Artık ikinci dereceden ifadenin ve 'de sıfırları olduğunu biliyoruz. Ayrıca bu bilgi, ikinci dereceden pozitif olduğunu ortaya koymaktadır. Bu bilgiyi kullanarak aşağıdaki gibi bir grafik çizebiliriz:

Parabolün bu iki sıfır ve arasında x ekseninin altında (diğer bir deyişle 'den küçük) olduğunu görebiliriz.

Eşitsizliği sağlayan tek x değeri .

Eşitsizlik kapsayıcı olsaydı değeri işe yarardı, ancak küçük veya eşittir yerine kesinlikle küçüktür olduğundan, bu değer çalışmayacaktır.

Tüm Cebir II Kaynakları

Bu soruyla ilgili bir sorunu bildirin

Bu soruyla ilgili bir sorun bulduysanız, lütfen bize bildirin. Topluluğun yardımıyla eğitim kaynaklarımızı geliştirmeye devam edebiliriz.


İkinci Dereceden Eşitsizlikleri Çözme

Cebir ve 9. Sınıf öğrencilerinin ikinci dereceden eşitsizlikleri nasıl çözeceklerini öğrenmelerine yardımcı olacak videolar, çalışma sayfaları, oyunlar ve etkinlikler.

İkinci Dereceden Eşitsizlikler (Görsel Açıklama)
İkinci dereceden bir eşitsizlik nasıl çözülür?
İkinci dereceden bir eşitsizliğin ne anlama geldiğine dair görsel sezgi.

Çeşitli matematik konularını uygulamak için aşağıdaki ücretsiz Mathway hesap makinesini ve problem çözücüyü deneyin. Verilen örnekleri deneyin veya kendi probleminizi yazın ve adım adım açıklamalarla cevabınızı kontrol edin.

Bu site veya sayfayla ilgili geri bildirimlerinizi, yorumlarınızı ve sorularınızı bekliyoruz. Lütfen geri bildiriminizi veya sorularınızı Geri Bildirim sayfamız aracılığıyla gönderin.


19.5: İkinci Dereceden Eşitsizlikleri Çöz - Matematik

İkinci dereceden işlevi düşünün

O zaman $f'(u)=2u[(v^2+3)(w^2+3)-4]-8(v+w+1).,$ Dolayısıyla, $f,$ bir minimum kabul eder $displaystyle u=frac<4(v+w+1)><(v^2+3)(w^2+3)-4>.$ değerindeki değer

$alpha=(v^2+3)(w^2+3)ge 9,$ ve $eta=v+w+1 olsun.,$

$16eta^2+3(alpha-4)^2]alphage 4alpha^2eta^2$'ın $16eta^2+3( alpha-4)^2ge 4eta^2alpha,,$ veya $(3alpha-4eta^2-12)(alpha-4)ge 0.,$ Ama $ alpha -4ge 0,,$ bu nedenle, $3alpha-4eta^2-12ge 0.,$ Açıkça,

İkinci dereceden fonksiyonun ($w cinsinden),$ soldaki diskriminantı eşittir

böylece fonksiyon asla işaretini değiştirmez ve tüm $w,,$ için negatif olmaz, böylece eşitsizliği ispatlar.

Kanıt 2

ve türevlere başvurmadan ilerleyin. Eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

$(alpha-4)w^2-8eta w+3alpha-4eta^2ge 0,$

burada $alpha=(u^2+3)(v^2+3)gt 4,$ ve $eta=u+v+1.,$ Sol tarafın diskriminantı

$aşlangıç Delta &= (8eta)^2-4(alpha-4)(3alpha-4eta^2) &= 4alpha(-3alpha+4eta^2+12 ) &= 4alpha(-3u^2v^2-5u^2-5v^2+8uv+8u+8v-11) &=-4alpha[(uv-1)^2+( uv)^2+4(u-1)^2+4(v-1)^2] &le 0, end$

Kanıt 1'deki ile aynı sonuca sahip.

Teşekkür

Leo Giugiuc, Nguyen Viet Hung'a atfettiği sorunu, kendisinin bir çözümüyle bana nazikçe iletti (Kanıt 1). Problem, Mihai Dicu tarafından başka bir çözümle (Kanıt 2) yorumlandığı matematiksel eşitsizlikler facebook grubunda yayınlandı.


İkinci Dereceden Denklemleri Çözmenin Kolay Yolları

Bu cebir dersinde, parabol şeklindeki ikinci dereceden fonksiyonların grafiklerini çizmeyi, incelemeyi ve bunlardan çıkarımlar yapmayı öğrenin.

Bu cebir dersinde, parabol şeklindeki ikinci dereceden fonksiyonların grafiklerini çizmeyi, incelemeyi ve bunlardan çıkarımlar yapmayı öğrenin.

İkinci dereceden denklemleri grafik çizerek çözmek, x ve y kesişimlerini bulmanın, bir parabolün simetri eksenini tanımlamanın ve daha fazlasının harika bir yoludur. Bu derste nasıl yapılacağını öğrenin!

İkinci dereceden denklemleri grafik çizerek çözmek, x ve y kesişimlerini bulmanın, bir parabolün simetri eksenini tanımlamanın ve daha fazlasının harika bir yoludur. Bu derste nasıl yapılacağını öğrenin!

İkinci dereceden eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini ve çizileceğini öğrenmek, üç örnek problem ve Wiederhold'un Harika Matematik Dünyası'nın adım adım yardımı ile kolaydır.

İkinci dereceden eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini ve çizileceğini öğrenmek, üç örnek problem ve Wiederhold'un Harika Matematik Dünyası'nın adım adım yardımı ile kolaydır.

Wiederhold'un Harika Matematik Dünyası size adım adım ikinci dereceden denklemleri çarpanlara ayırarak nasıl çözeceğinizi ve "a" değeri bire eşit olduğunda göstersin.

Wiederhold'un Harika Matematik Dünyası size adım adım ikinci dereceden denklemleri çarpanlara ayırarak nasıl çözeceğinizi ve "a" değeri bire eşit olduğunda göstersin.

Bu adım adım cebir dersinde, "kota" değeri birden büyük bir katsayıya sahip olduğunda ikinci dereceden denklemleri çarpanlara ayırarak nasıl çözeceğinizi öğrenin.

Bu adım adım cebir dersinde, "kota" değeri birden büyük bir katsayıya sahip olduğunda ikinci dereceden denklemleri çarpanlara ayırarak nasıl çözeceğinizi öğrenin.

  • Önerilen Önerilen
  • Tarih ve Devam Eden Geçmiş
  • Kütüphaneye Gözat
  • En Popüler Kütüphane

Kişiselleştirilmiş Öneriler Alın

Ne öğreneceğinizi anlamanıza yardımcı olalım! Kısa bir röportaj yaparak öğrenme ilgi alanlarınızı ve hedeflerinizi belirleyebileceksiniz, böylece bir sonraki denemeniz için mükemmel kursları ve dersleri önerebiliriz.

Tarihinizde hiç dersiniz yok.
Sadece ilginç görünen bir şey bulun ve öğrenmeye başlayın!


İkinci Dereceden Eşitsizlikleri Grafik Olarak Çözün

gözden geçirmek
Bir uygulama, y ​​= ax 2 + bx + c grafiğini çizer ve grafiğin x ekseninin (y < 0) altındaki kısmını mavi renkte ve grafiğin x ekseninin üzerindeki kısmını (y > 0) kırmızı. İkinci dereceden bir eşitsizliği çözmek için, çözülecek eşitsizliğe bağlı olarak y < 0 veya y > 0'a karşılık gelen aralığı okumanız yeterlidir.

Etkileşimli Eğitimler

uygulamayı başlatmak için yukarıdaki "başlamak için burayı tıklayın" düğmesine tıklayın ve MAKSİMUM elde edilen pencere.

Örnek 1 : İkinci dereceden eşitsizliği grafiksel ve analitik olarak çözün

Örnek 1'in Çözümü:

Grafik çözüm: a = -1, b = 3 ve c = 4 katsayılarını ayarlamak için uygulamayı kullanın ve y = - x 2 + 3x + 4 denkleminin grafiğini çizin. x koordinatları grafikte y < 0 olan noktaların MAVİ. y < 0 olan iki aralığımız var:

    Verilen eşitsizliğin soldaki terimini çarpanlarına ayırın
    - x 2 + 3x + 4 = (x + 1)(-x + 4)

(x + 1)(-x + 4)
(-∞ , -1), (-1 , 4) ve (4 , +∞) aralıklarında, burada -1 ve 4 (x + 1)(-x + 4)'ün sıfırlarıdır.

x = -2 (-∞ , -1) aralığında bir x değeri olsun. Bu değer için - x 2 + 3x + 4 = -(-2) 2 + 3(-2) + 4 = -6 negatiftir. (-∞ , -1) aralığı bir çözüm kümesidir. (-1 , 4) aralığında x = 0 olsun. Bu değer için - x 2 + 3x + 4 = 4 pozitiftir. x = 5 (4 , +∞) aralığındadır. Bu x değeri için - x 2 + 3x + 4 = -6 negatiftir. (4 , +∞) aralığı, verilen eşitsizlik için bir çözüm kümesidir.

Dolayısıyla eşitsizliğin çözüm kümesi, - x 2 + 3x + 4'ün negatif olduğu tüm aralıkların birleşimi ile verilir:

Örnek 2: Denklemi grafiksel ve analitik olarak çözün

Örnek 2'nin Çözümü:

    -x 2 + 4x - 5 reel sayılar üzerinde çarpanlara ayrılamaz. Bu nedenle -x 2 + 4x - 5'in sıfırı yoktur ve işareti değişmez. -x 2 + 4x - 5'in işaretini bulmak için onu tek bir x değeri için değerlendirmeniz gerekir. x = 0'da -x 2 + 4x - 5'i değerlendirelim
    -(0) 2 + 4(0) - 5 = - 5.

Egzersizler: Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizlikleri grafiksel (applet kullanarak) ve analitik olarak çözün.


İkinci dereceden eşitsizliklerin tanımlanması ve aralıklarının grafiğinin çizilmesi

İkinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için ikinci dereceden denklemi nasıl çözebileceğimizi hatırlamalıyız. İkinci dereceden denklem için:

$ ax^2 + bx + c = 0$, çözüm:

çözme sorunu ikinci dereceden eşitsizlikler ikinci dereceden fonksiyonun sıfırlarını çözmeye ve fonksiyonun pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu belirlemeye çok bağlıdır.

Bunlar formda gelen eşitsizliklerdir:

$x$ değişkeni $ ax^2 + bx + c > 0$ eşitsizliğini sağlıyorsa, o zaman $x$ değişkeni $x$- ekseninin üzerinde yer alır ve $x$ eşitsizliğini sağlarsa $ ax^2 + bx + c < 0$ ise $x$ – ekseninin altında bulunur.

Ve elbette, $x$ $ ax^2 + bx + c = 0$ denklemini sağlıyorsa, $x$ değişkeninin bu denklemin sıfırı olduğunu ve $x$- ekseninde bulunduğunu biliyoruz.

İkinci dereceden eşitsizliği çözmek, eşitsizliğimizin nasıl göründüğüne bağlı olarak f fonksiyonunun pozitif veya negatif sayılar aldığı $x$ gerçek sayılar kümesini bulmak demektir.

Örnek 1. Aşağıdaki eşitsizliği çözün.

İkinci dereceden eşitsizlikleri çözerken yaptığınız ilk şey, ikinci dereceden denklemleri çözerken yaptığınızla aynıdır. İlk önce sıfırları bulun ve fonksiyonunuzu çizin.

Önde gelen katsayı, pozitif bir sayı olan $1$ sayısıdır. Bu, bu parabolün “yukarıya baktığı” olduğu anlamına gelir.

Köşesinin $x$ koordinatı:

$frac<1 + (-2)> <2>= -frac<1><2>$ ve $y$ koordinatı:

Artık ihtiyacımız olan tüm verileri bildiğimize göre, bu fonksiyonun grafiğini çizebiliriz.

Şimdi eşitsizliğimizin ne anlama geldiğini biraz düşünelim. Bu fonksiyonun değerlerinin pozitif sayılar olduğu tüm sayıları arıyoruz. Grafiği gözlemleyin - ihtiyacınız olan her şeyi hemen okuyabilirsiniz. Bu grafiğin $x$ ekseninin üzerinde olduğu aralıklara ihtiyacınız var.

Verilen eşitsizlik sadece sıfırdan büyük olduğundan, bu çözüme sıfırlar dahil edilmemiştir. Bu eşitsizliğin çözümü:

Örnek 2. Ya bir önceki göreve biraz farklı ve eşitsizlik işareti verilmişse?

Çözme prosedürü aynıdır, ancak şimdi fonksiyon değerlerinin negatif olduğu x değerlerini arıyoruz – grafiğin $x$ – ekseninin altında olduğu aralık.

Bu eşitsizliğin çözümü şu aralıktır: $xin < – 2, 1 >$.

Örnek 3. Aşağıdaki eşitsizliği çözün.

Yine, önce sıfırları, tepe noktasını bulun ve ardından grafiği çizin. Diskriminantın sıfırdan küçük olduğunu (kompleks sayılar) göreceksiniz, bu da bu grafiğin $x$- eksenini kesmediği anlamına gelir. Bu grafik aşağı dönüktür ve $x$- ekseninin altındadır. Yani bu eşitsizlikler için bir kümemiz yok.

Örnek 4. Aşağıdaki eşitsizliği çözün.

Şimdi grafiğimizin $x$- ekseninin altında olduğu ve tamamen onun altında olduğu aralığı arıyoruz, bu, bu eşitsizliğin çözümünün gerçek sayılar kümesinin tamamı olduğu anlamına gelir.

Örnek 5. Aşağıdaki eşitsizliği çözün.

Dikkatli olmanız gereken yer burasıdır çünkü bu eşitsizliği $x – 3$ ile basitçe çarpamaz ve kesirden kolayca kurtulamazsınız çünkü bunun ne olduğu ve bunun eşitsizlik işaretini nasıl etkileyebileceği hakkında hiçbir fikriniz yoktur. .

Yapacağınız ilk şey, bu eşitsizlik biçimini standart bir $ b > 0$ biçimine ayarlamaya çalışmaktır. Bu, her şeyi sol tarafa aktarmanız ve ortak paydayı bulmanız gerektiği anlamına gelir.

Şimdi, koşullarınızı belirlemelisiniz. Paydası $x – 3$ olan yalnızca bir kesirimiz var, bu da $ x ot= 3$ anlamına geliyor.

Bu eşitsizlik $ (x + 2)(x – 3) geq 0$'a eşdeğerdir, çünkü iki sayının bölümü, ancak ve ancak onların çarpımı da pozitif bir sayıysa pozitiftir.

Bu fonksiyonların sıfırları $-2$ ve $3$'dır ve önde gelen katsayı pozitif bir sayıdır, yani bu eşitsizliğin çözümü şudur: $ < – infty, -2 > cup < 3, + infty>$ .

Örnek 6. Aşağıdaki eşitsizliği çözün.

Şimdi elimizde negatif bir kesir var. Bu, iki duruma sahip olabileceğimiz anlamına gelir: birincisi, payın negatif ve paydanın negatif olduğu ve ikincisi, payın pozitif ve paydanın negatif olduğu. Dikkatli ol, payda asla sıfır olamaz.

Bu eşitsizlik daha sonra iki ikinci dereceden eşitsizlik sistemine eşdeğerdir.

a) $ (x – 2)(x + 2) leq 0 , (x – 1)(x + 3) > 0$

b) $ (x – 2)(x + 2) geq 0 , (x – 1)(x + 3) < 0$

Çözüm kümesi, bu iki sistemin çözümlerinin birleşimidir. Bu eşitsizlikleri çözmenin en kolay yolu, grafiklerini çizmek ve çözümlerini okumaktır.


Öğretim kaynakları

AQA, yeni 2017 GCSE Matematik spesifikasyonumuz için ücretsiz teşhis soruları değerlendirmesini paylaşmak üzere Craig Barton'ın Teşhis Soruları web sitesiyle birlikte çalıştı.

Linki aç

AQA, yeni 2017 GCSE Matematik spesifikasyonumuz için ücretsiz teşhis soruları değerlendirmesini paylaşmak üzere Craig Barton'ın Teşhis Soruları web sitesiyle birlikte çalıştı.

Linki aç

AQA, yeni 2017 GCSE Matematik spesifikasyonumuz için ücretsiz teşhis soruları değerlendirmesini paylaşmak üzere Craig Barton'ın Teşhis Soruları web sitesiyle birlikte çalıştı.

Linki aç

Öğrencilerin sayı işlemleriyle ilgili ifadeleri değerlendirmek için işbirlikçi etkinlikler üzerinde çalıştıkları bir ders planı ve ilgili kaynaklar.

Linki aç

Izgaralar üzerinde bölgeleri belirlemek için düz çizgiler çizmeyi ve işbirlikçi eşitsizlik oyunlarını içeren bir ders planı ve ilgili kaynaklar.

Linki aç

Öğrencilerin bir koordinat ızgarasında bölgeleri çizmesi ve önceden çizilmiş bölgeleri tanıması gereken bir çalışma sayfası (gerekli bölgenin bu kaynaklarda gölgeli olduğuna dikkat edin - AQA için Öğretmen Kılavuzu belgesi (A22h, sayfa 83) gerekli olmayan bölgenin gölgelenmesini önerir. Bu kaynağa erişmek için bir TES hesabına kaydolmanız gerekecek, bu ücretsizdir.

Linki aç

Öğrencilerin sayı doğrusunda verilen eşitsizlikleri temsil etmek için doğru okları sürüklediği etkileşimli bir kaynak.

Linki aç

Doğrusal eşitsizlikleri çözmeyi içeren altıgen bir tarsia. Bu kaynağa erişmek için bir TES hesabına kaydolmanız gerekecek, bu ücretsizdir.

Linki aç

Çikolatalarla ilgili yazılı ifadelerle ilgili doğrusal eşitsizlikleri oluşturmayı ve çözmeyi içeren eğlenceli bir powerpoint. Bu kaynağa erişmek için bir TES hesabına kaydolmanız gerekecek, bu ücretsizdir.

Linki aç

Öğrencilerin, kesikli ve düz çizgiler kurallarını kullanarak bir koordinat ızgarasında temsil edilen iki değişkendeki eşitsizlikleri çözdüğü çevrimiçi bir sınav.

Linki aç

Öğrencilerin açık ve kapalı daire kurallarını kullanarak bir sayı doğrusu üzerinde bölgeleri belirledikleri çevrimiçi bir sınav.

Linki aç

A lesson plan and associated resources in which students work on collaborative activities to evaluate worded statements about number operations.

Open link

A lesson plan and associated resources which involve drawing straight lines to identify regions on grids and includes collaborative inequality games.

Open link

A geogebra animation which illustrates the solution region for any quadratic inequality, which can be entered into the animation by moving the sliders for the coefficients a, b and c.

Open link

An introduction to solving linear inequalities followed by ten online questions.

Open link

A worksheet which illustrates clearly how the method of solving quadratic inequalities should be presented - however, students must identify where the errors occur in the solutions provided and correct these. You will need to register for a TES account to access this resource, this is free of charge.

Open link

A straightforward worksheet in which students must convert between inequalities represented on number lines and set notation. You will need to register for a TES account to access this resource, this is free of charge.


DMCA Şikayeti

Web Sitesi aracılığıyla sunulan içeriğin (Hizmet Koşullarımızda tanımlandığı gibi) bir veya daha fazla telif hakkınızı ihlal ettiğini düşünüyorsanız, lütfen aşağıda açıklanan bilgileri içeren yazılı bir bildirimde bulunarak ("İhlal Bildirimi") belirtilen kişilere bildirin. ajan aşağıda listelenmiştir. Varsity Eğitmenleri bir İhlal Bildirimine yanıt olarak harekete geçerse, bu tür içeriği kullanıma sunan tarafla, varsa, söz konusu taraf tarafından Varsity Eğitmenlerine sağlanan en son e-posta adresi aracılığıyla iletişim kurmaya iyi niyetle girişecektir.

İhlal Bildiriminiz, içeriği kullanıma sunan tarafa veya ChillingEffects.org gibi üçüncü taraflara iletilebilir.

Bir ürün veya faaliyetin telif haklarınızı ihlal ettiğini maddi olarak yanlış beyan ederseniz, zararlardan (masraflar ve avukatlık ücretleri dahil) sorumlu olacağınızı lütfen unutmayın. Bu nedenle, Web Sitesinde bulunan veya Web Sitesi tarafından bağlantı verilen içeriğin telif hakkınızı ihlal ettiğinden emin değilseniz, önce bir avukatla görüşmeyi düşünmelisiniz.

Bir bildirimde bulunmak için lütfen şu adımları izleyin:

Aşağıdakileri eklemelisiniz:

Telif hakkı sahibinin veya onlar adına hareket etmeye yetkili bir kişinin fiziksel veya elektronik imzası İhlal edildiği iddia edilen telif hakkının kimliği Telif hakkınızı ihlal ettiğini iddia ettiğiniz içeriğin doğasının ve tam konumunun tanımı, yeterli Varsity Eğitmenlerinin bu içeriği bulmasına ve olumlu bir şekilde tanımlamasına izin vermek için ayrıntı örneğin, içeriği ve sorunun hangi bölümünün bir açıklamasını içeren belirli soruya (yalnızca sorunun adını değil) bir bağlantıya ihtiyacımız var - bir resim, bir bağlantı, metin vb. – şikayetiniz adınız, adresiniz, telefon numaranız ve e-posta adresiniz ile ilgilidir ve tarafınızdan yapılan bir beyan: (a) telif hakkınızı ihlal ettiğini iddia ettiğiniz içeriğin kullanımının iyi niyetle olduğuna inandığınız (b) İhlal Bildiriminizde yer alan tüm bilgilerin doğru olduğuna ve (c) yalan yere yemin etme cezasına tabi olduğuna dair yasa veya telif hakkı sahibi veya bu tür bir sahibin temsilcisi tarafından yetkilendirilmemiş telif hakkı sahibi veya onlar adına hareket etmeye yetkili bir kişi.

Şikayetinizi aşağıdaki adresten atanmış temsilcimize gönderin:

Charles Cohn Üniversite Öğretmenleri LLC
101 S. Hanley Yolu, Süit 300
Louis, MO 63105


Şimdi İndirin!

Herhangi bir kazma yapmadan bir PDF E-Kitap bulmanızı kolaylaştırdık. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Algebra 2 Answers Solving Quadratic Inequalities Practice . To get started finding Algebra 2 Answers Solving Quadratic Inequalities Practice , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
Kütüphanemiz, kelimenin tam anlamıyla yüz binlerce farklı ürünün temsil edildiği bunların en büyüğüdür.

Finally I get this ebook, thanks for all these Algebra 2 Answers Solving Quadratic Inequalities Practice I can get now!

Bunun işe yarayacağını düşünmemiştim, en iyi arkadaşım bana bu web sitesini gösterdi ve işe yarıyor! En çok aranan e-Kitabımı alıyorum

bu harika e-kitap ücretsiz mi?!

Arkadaşlarım o kadar kızgın ki, sahip olmadıkları tüm yüksek kaliteli e-kitaba nasıl sahip olduğumu bilmiyorlar!

Kaliteli e-kitaplar almak çok kolay )

o kadar çok fake site var ki bu işe yarayan ilk şey! Çok teşekkürler

wtffff bunu anlamıyorum!

Tıkla sonra indir düğmesini seçin ve e-kitabı indirmeye başlamak için bir teklifi tamamlayın. Bir anket varsa, yalnızca 5 dakika sürer, sizin için uygun olan herhangi bir anketi deneyin.


Videoyu izle: 2. DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER. ŞENOL HOCA (Ekim 2021).