Nesne

5.3: Bir Doğrunun Eğimi - Matematik


Öğrenme hedefleri

Bu bölümün sonunda şunları yapabileceksiniz:

  • Bir doğrunun eğimini bulun
  • Bir nokta ve eğim verilen bir doğrunun grafiğini çizin
  • Eğimini ve kesişim noktasını kullanarak bir çizgi çizin
  • Bir çizgiyi grafiklendirmek için en uygun yöntemi seçin
  • Eğim-kesişim uygulamalarının grafiğini çizin ve yorumlayın
  • Paralel ve dik çizgileri belirlemek için eğimleri kullanın

Başlamadan önce, bu hazırlık testini yapın.

  1. Basitleştirin: (frac{(1–4)}{(8−2)}).
    Bu sorunu kaçırdıysanız, gözden geçirin [bağlantı].
  2. Böl: (frac{0}{4}), (frac{4}{0}).
    Bu sorunu kaçırdıysanız, gözden geçirin [bağlantı].
  3. Basitleştirin: (frac{15}{-3}), (frac{-15}{3}), (frac{-15}{-3}).
    Bu sorunu kaçırdıysanız, gözden geçirin [bağlantı].

Bir Doğrunun Eğimini Bulun

Doğrusal denklemlerin grafiğini çizdiğinizde, soldan sağa doğru giderken bazı doğruların yukarı doğru, bazılarının ise aşağı doğru eğildiğini fark edebilirsiniz. Bazı çizgiler çok dik ve bazı çizgiler daha düz.

Matematikte bir doğrunun dikliğinin ölçüsüne denir. eğim çizginin.

Eğim kavramının gerçek dünyada birçok uygulaması vardır. İnşaatta çatının eğimi, tesisat borularının eğimi ve merdivenlerin dikliği eğim uygulamalarıdır. ve kayak yaparken veya bir tepeden aşağı koşarken kesinlikle yokuş yaşarsınız.

Yükselme ve mesafe oranını bularak bir doğrunun eğimine sayısal bir değer atayabiliriz. yükselmek sırasında dikey mesafenin değiştiği miktardır. Çalıştırmak bu çizimde gösterildiği gibi yatay değişimi ölçer. Eğim bir değişim oranıdır. Görmek Şekil.

HAT EĞİMİ

Bir doğrunun eğimi (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) şeklindedir.

Yükseliş dikey değişimi ölçer ve koşu yatay değişimi ölçer.

Bir doğrunun eğimini bulmak için, doğru üzerinde koordinatları tamsayı olan iki noktayı buluruz. Sonra iki noktanın köşe olduğu ve bir kenarı yatay ve bir kenarı dikey olan bir dik üçgen çizeriz.

Doğrunun eğimini bulmak için üçgenin dikey ve yatay kenarları boyunca mesafeyi ölçeriz. Dikey mesafe denir yükselmek ve yatay mesafe denir Çalıştırmak,

(m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) KULLANARAK GRAFİĞİNDEN BİR DOĞRUNUN EĞİMİNİ BULUN

  1. Doğru üzerinde koordinatları tamsayı olan iki nokta bulun.
  2. Bir noktadan başlayarak, ilk noktadan ikinci noktaya giden bir dik üçgen çizin.
  3. Üçgenin bacaklarındaki yükselişi ve koşuyu sayın.
  4. Eğimi bulmak için yükselmenin koşmaya oranını alın: (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).

Örnek (PageIndex{1})

Gösterilen doğrunun eğimini bulun.

Cevap
Grafikte iki nokta bulun.
koordinatlar tam sayılardır.
((0,5)) ve ((3,3))
((0,5)'den başlayarak, bir dik üçgen çizin.
((3,3)) bu grafikte gösterildiği gibi.
Artışı sayın - düştüğü için negatiftir.Artış (−2)'dir.
Koşuyu say.Koşu 3'tür.
Eğim formülünü kullanın.(m=frac{ ext{yükseliş}}{ ext{çalıştır}})
Yükselme ve koşma değerlerini değiştirin.(m=−23)
Basitleştirin.(m=−23)
Doğrunun eğimi (−23).
Yani y 2 birim azalır x 3 birim artar.

Örnek (PageIndex{2})

Gösterilen doğrunun eğimini bulun.

Cevap

(-frac{4}{3})

Örnek (PageIndex{3})

Gösterilen doğrunun eğimini bulun.

Cevap

(-frac{3}{5})

Yatay ve dikey doğruların eğimini nasıl buluruz? (y=4) yatay doğrusunun eğimini bulmak için, doğrunun grafiğini çizebilir, üzerinde iki nokta bulabilir ve yükselişi ve mesafeyi sayabiliriz. Aşağıdaki grafikte gösterildiği gibi bunu yaptığımızda ne olacağını görelim.

( egin{array} {ll} { ext{Artış nedir?}} &{ ext{Artış }0.} { ext{Çalışma nedir?}} &{ ext {Koşu }3.} { ext{Eğim ​​nedir?}} &{m=frac{ ext{yükseliş}}{ ext{koşmak}}} {} &{m= frac{0}{3}} {} &{m=0} {}&{ ext{Yatay çizginin eğimi } y=4 ext{ }0'dır.} end {dizi} umara)

Ayrıca grafikte gösterildiği gibi dikey bir doğru, (x=3) doğrusu düşünelim.

( egin{array} {ll} { ext{Artış nedir?}} &{ ext{Artış }0.} { ext{Çalışma nedir?}} &{ ext {Koşu }3.} { ext{Eğim ​​nedir?}} &{m=frac{ ext{yükseliş}}{ ext{koşmak}}} {} &{m= frac{2}{0}} end{dizi} onumber)

Sıfıra bölme tanımsız olduğundan eğim tanımsızdır. Yani (x=3) dikey çizgisinin eğiminin tanımsız olduğunu söylüyoruz.

Tüm yatay çizgilerin eğimi 0'dır. y-koordinatlar aynı, artış 0.

Herhangi bir dikey çizginin eğimi tanımsızdır. Ne zaman x-bir çizginin koordinatları aynıdır, koşu 0'dır.

YATAY VE DİKEY HATLARIN EĞİMİ

Yatay bir doğrunun eğimi, (y=b), 0'dır.

Dikey bir doğrunun eğimi, (x=a), tanımsızdır.

Örnek (PageIndex{4})

Her doğrunun eğimini bulun: ⓐ (x=8) ⓑ (y=−5).

Cevap

ⓐ (x=8)
Bu dikey bir çizgidir. Eğimi tanımsızdır.
ⓑ (y=−5)
Bu yatay bir çizgidir. 0 eğimi vardır.

Örnek (PageIndex{5})

Doğrunun eğimini bulun: (x=−4).

Cevap

Tanımsız

Örnek (PageIndex{6})

Doğrunun eğimini bulun: (y=7).

Cevap

0

HATLARIN EĞİMLERİ İÇİN HIZLI REHBER

Bazen, yükselişi ve koşuyu saymak için bir grafiğimiz olmadığında, iki nokta arasındaki bir çizginin eğimini bulmamız gerekir. Noktaları ızgara kağıdına çizebilir, ardından yükselişi ve mesafeyi sayabiliriz, ancak göreceğimiz gibi, eğimi grafik çizmeden bulmanın bir yolu var. Buna geçmeden önce, bazı cebirsel gösterimleri tanıtmamız gerekiyor.

(x,y)(x,y) sıralı ikilisinin bir noktanın koordinatlarını verdiğini gördük. Ancak eğimlerle çalıştığımızda iki nokta kullanırız. Aynı sembol (x,y)(x,y) iki farklı noktayı temsil etmek için nasıl kullanılabilir? Matematikçiler noktaları ayırt etmek için indisler kullanırlar.

( egin{array} {ll} {(x_1, y_1)} &{ ext{oku "} x ext{ sub } 1, space y ext{ sub } 1 ext{”}} {(x_2, y_2)} &{ ext{oku "} x ext{ alt } 2, space y ext{ alt } 2 ext{”}} end{dizi} umber)

İlk noktayı belirlemek için ((x_1,y_1)) ve ikinci noktayı belirlemek için ((x_2,y_2)) kullanacağız.

İkiden fazla noktamız olsaydı, ((x_3,y_3)), ((x_4,y_4)) vb. kullanabilirdik.

Gösterildiği gibi ((2,3)) ve ((7,6)) noktaları arasındaki doğrunun eğimine bir kez daha göz atarak yükseliş ve mesafenin iki noktanın koordinatlarıyla nasıl ilişkili olduğunu görelim. bu grafikte.

( egin{array} {ll} { ext{İki noktamız olduğundan, alt simge gösterimini kullanacağız.}} &{ egin{pmatrix} x_1, & y_1 2 & 3 end{pmatrix} start{pmatrix} x_2, & y_2 6 & 6 end{pmatrix}} {} &{m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}} { ext{ Grafikte, 3'ün artışını ve 5'in çalışmasını saydık}} &{m=frac{3}{5}} { ext{3'ün yükselişinin, } çıkarılarak bulunabileceğine dikkat edin. } &{} {y ext{-koordinatlar, 6 ve 3 ve 5'in çalıştırması}} &{} { ext{x-koordinatları 7 ve 2 çıkarılarak bulunabilir}} & {} { ext{Koordinatları girerek yükselmeyi ve koşmayı yeniden yazarız.}} &{m=frac{6-3}{7-2}} {} &{} { metin{Ama 6, } y_2 ext{, ikinci noktanın y koordinatıdır ve 3, }y_1 ext{, y koordinatı}} &{} { ext{ilk noktadır. Yani biz alt simge gösterimini kullanarak eğimi yeniden yazabilir.}} &{m=frac{y_2-y_1}{7-2}} { ext{Ayrıca 7, ikinci noktanın x koordinatıdır ve 2, x- koordinat}} &{} { ext{ilk noktanın. Yani eğimi yeniden yazıyoruz alt simge gösterimini kullanarak.}} &{m=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} end{array} onumber)

(m=frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}) öğesinin gerçekten (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) öğesinin başka bir sürümü olduğunu gösterdik . Doğru üzerinde iki noktamız olduğunda, doğrunun eğimini bulmak için bu formülü kullanabiliriz.

İKİ NOKTA ARASINDAKİ DOĞRU EĞİMİ

((x_1,y_1)) ve ((x_2,y_2)) arasındaki doğrunun eğimi:

(m=frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}).

Eğim:

[y ext{ ikinci noktanın eksi }y ext{ birinci noktanın} onumber] [ ext{fazla} umara] [x ext{ ikinci noktanın eksi }x ilk noktanın { metni} osayı]

Örnek (PageIndex{7})

((−2,−3)) ve ((-7,4)) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulmak için eğim formülünü kullanın.

Cevap

( egin{array} {ll} { ext{1. (−2,−3) noktayı ve (−7,4) 2 numaralı noktayı çağıracağız.}} &{ egin{pmatrix} x_1, & y_1 -2 & -3 end{pmatrix} egin{pmatrix} x_2, & y_2 -7 & 4 end{pmatrix}} { ext{Eğim ​​formülünü kullanın.}} &{m =frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} { ext{Değerleri değiştirin.}} &{} { ext{ikinci noktanın y eksi birinci noktanın y}} &{ } { ext{ikinci noktanın x eksi birinci noktanın x}} &{m=frac{4-(-3)}{-7-(-2)}} { ext{ Basitleştir}}&{m=frac{7}{-5}} {} &{m=frac{-7}{5}} end{dizi} onumber)

Bu eğimi gösterilen grafik üzerinde doğrulayalım.

[m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}} onumber] [m=frac{7}{−5} onumber] [m=frac{−7 }{5} umara]

((−3,4)) ve ((2,−1)) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulmak için eğim formülünü kullanın.

Cevap

(-1)

Örnek (PageIndex{9})

Nokta çiftinden geçen doğrunun eğimini bulmak için eğim formülünü kullanın: ((−2,6))ve ((−3,−4)).

Cevap

10

Bir Nokta ve Eğim Verilen Doğrunun Grafiği

Şimdiye kadar, bu bölümde, noktaları çizerek, kesişme noktaları kullanarak ve yatay ve dikey çizgileri tanıyarak çizgilerin grafiğini çıkardık.

Bir noktayı ve doğrunun eğimini bildiğimizde bir doğrunun grafiğini de çizebiliriz. Noktayı çizerek başlayacağız ve ardından doğrunun grafiğini çizmek için eğim tanımını kullanacağız.

Örnek (PageIndex{10}): Bir Nokta ve Eğim Verilen Bir Doğrunun grafiği nasıl çizilir

Eğimi (m=frac{3}{4}) olan ((1,−1)) noktasından geçen doğrunun grafiğini çizin.

Cevap

Üçüncü bir nokta bularak çalışmanızı kontrol edebilirsiniz. Eğim (m=34) olduğundan, (m=frac{−3}{−4}) olarak da yazılabilir (negatif bölü negatif pozitiftir!). ((1,−1))'ye geri dönün ve yükselişi (−3) ve koşuyu (−4) sayın.

Örnek (PageIndex{11})

((2,−2) noktasından geçen doğruyu (m=frac{4}{3}) eğimi ile çizin.

Cevap

Örnek (PageIndex{12})

((−2,3)) noktasından geçen doğruyu (m=frac{1}{4}) eğimi ile çizin.

Cevap

BİR NOKTADA VERİLEN BİR ÇİZGİ VE EĞİMİN GRAFİĞİ.

  1. Verilen noktayı çizin.
  2. Yükselişi ve mesafeyi belirlemek için eğim formülünü (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) kullanın.
  3. Verilen noktadan başlayarak, yükselişi sayın ve ikinci noktayı işaretlemek için koşun.
  4. Noktaları bir çizgi ile birleştirin.

Eğimini ve Kesişmesini Kullanarak Bir Çizginin Grafiği

Noktaları çizerek, kesişen noktaları kullanarak, yatay ve dikey doğruları tanıyarak ve bir noktayı ve doğrunun eğimini kullanarak doğrusal denklemlerin grafiğini çıkardık. Eğim-kesişim biçimindeki bir denklem ile grafiğinin nasıl ilişkili olduğunu gördüğümüzde, çizgilerin grafiğini çizmek için kullanabileceğimiz bir yöntemimiz daha olacak.

Görmek Şekil. (y=12x+3) denkleminin grafiğine bakalım ve eğimini bulalım ve y-tutmak.

Grafikteki kırmızı çizgiler bize yükselişin 1 olduğunu ve koşunun 2 olduğunu gösteriyor. Eğim formülü yerine:

[m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}} onumber] [m=frac{1}{2} onumber]

y-kesme noktası ((0,3)).

Bu doğrunun denklemine bakın.

Eğime bak ve y-tutmak.

Doğrusal bir denklem çözüldüğünde y, katsayısı x terim eğimdir ve sabit terim ise y- koordinatı y-tutmak. (y=12x+3) denkleminin eğim-kesme noktası biçiminde olduğunu söylüyoruz. Bazen eğim-kesme biçimine "y-form."

BİR DOĞRU DENKLEMİNİN EĞİM KESİŞİMİ FORMU

Eğimi olan bir doğrunun denkleminin eğim-kesişim biçimi m ve y-intercept, ((0,b)) (y=mx+b)'dir.

Eğimin değerlerini bulma alıştırması yapalım ve y-bir doğrunun denkleminden kesme.

Örnek (PageIndex{14})

Eğimi tanımlayın ve y-doğrunun denkleminden kesişme.

ⓐ (y=frac{2}{5}x−1) ⓑ (x+4y=8)

Cevap

ⓐ (m=frac{2}{5}); ((0,−1))
ⓑ (m=−frac{1}{4}); ((0,2))

Örnek (PageIndex{15})

Eğimi tanımlayın ve y-doğrunun denkleminden kesme.

ⓐ (y=−frac{4}{3} x+1) ⓑ (3x+2y=12)

Cevap

ⓐ (m=−frac{4}{3}); ((0,1))
ⓑ (m=−frac{3}{2}); ((0,6))

Eğimi ve bir noktayı kullanarak bir çizgi çizdik. Artık eğimi nasıl bulacağımızı biliyoruz ve y- denkleminden bir çizginin kesişimi, kullanabiliriz y-nokta olarak kesişin ve ardından eğimi oradan sayın.

Örnek (PageIndex{16})

Eğimini kullanarak (y=−x+4) denkleminin doğrusunu çizin ve y-tutmak.

Cevap
(y=mx+b)
Denklem eğim-kesişim biçimindedir.(y=−x+4)
Eğimi tanımlayın ve y-tutmak.(m=−1)
y-kesme noktası ((0,4))
arsa y-tutmak.Grafiğe bakın.
Koşu boyunca yükselişi tanımlayın.(m=−11)
Yükselişi sayın ve ikinci noktayı işaretlemek için koşun.yüksel (-1), çalıştır (1)

Çizgiyi grafikte gösterildiği gibi çizin.

Örnek (PageIndex{17})

Eğimini kullanarak (y=−x−3) denkleminin doğrusunu çizin ve y-tutmak.

Cevap

Örnek (PageIndex{18})

Eğimini kullanarak (y=−x−1) denkleminin doğrusunu çizin ve y-tutmak.

Cevap

Şimdi eğimi kullanarak doğruların grafiğini çizdiğimize göre ve y-intercept, çizgilerin grafiğini çizmek için kullandığımız tüm yöntemleri özetleyelim.

Çizgi Çizmek için En Uygun Yöntemi Seçin

Artık çizgilerin grafiğini çizmek için kullanabileceğimiz birkaç yöntem gördüğümüze göre, verilen bir denklem için hangi yöntemi kullanacağımızı nasıl bilebiliriz?

Noktaları çizebilirken, eğim-kesme formunu kullanabilir veya hiç denklem, belirli bir denklem türünün grafiğini çizmenin en uygun yolunu tanırsak işimiz daha kolay olacaktır.

Genel olarak, noktaları çizmek bir çizgiyi çizmenin en etkili yolu değildir. Bir çizginin grafiğini çizmek için en uygun yöntemi belirlemeye yardımcı olacak bazı desenler arayalım.

İşte bu bölümde grafiğini çizdiğimiz beş denklem ve her birinin grafiğini oluşturmak için kullandığımız yöntem.

[ egin{array} {lll} {} &{ extbf{Denklem}} &{ extbf{Yöntem}} { ext{#1}} &{x=2} &{ ext{Dikey line}} { ext{#2}} &{y=−1} &{ ext{Yatay çizgi}} { ext{#3}} &{−x+2y=6} &{ ext{Kesme Noktaları}} { ext{#4}} &{4x−3y=12} &{ ext{Kesme Noktaları}} { ext{#5}} &{y=−x+4 } &{ ext{Eğim–kesme noktası}} end{dizi} onumber]

1 ve 2 numaralı denklemlerin her birinin sadece bir değişkeni vardır. Unutmayın, bu formun denklemlerinde bir değişkenin değeri sabittir; diğer değişkenin değerine bağlı değildir. Bu formun denklemleri dikey veya yatay çizgiler olan grafiklere sahiptir.

#3 ve #4 denklemlerinde her ikisi de x ve y denklemin aynı tarafındadır. Bu iki denklem Ax+By=C.Ax+By=C biçimindedir. bulmak için y=0y=0 yerine koyduk. x- kesişme ve x=0x=0 bulmak için y-intercept ve ardından için başka bir değer seçerek üçüncü bir nokta buldu x veya y.

Denklem #5 eğim-kesme noktası biçiminde yazılmıştır. Eğimi belirledikten ve y-çizginin grafiğini çizmek için kullandığımız denklemden kesişir.

Bu, aşağıdaki stratejiye yol açar.

ÇİZGİ ÇİZGİLERİNİ GÖRMEK İÇİN EN UYGUN YÖNTEMİ SEÇME STRATEJİSİ

Denklemin şeklini düşünün.

  • Yalnızca bir değişkeni varsa, dikey veya yatay bir çizgidir.
    • (x=a) içinden geçen dikey bir çizgidir. x-eksen bir.
    • (y=b) içinden geçen yatay bir çizgidir. y-eksen b.
  • Eğer y denklemin bir tarafında (y=mx+b) şeklinde izole edilir ve eğim kullanılarak grafiği çizilir ve y-tutmak.
    • Eğimi tanımlayın ve y-intercept ve ardından grafik.
  • Denklem (Ax+By=C) biçimindeyse, kesişmeleri bulun.
    • Bul x- ve y-kesme noktaları, üçüncü bir nokta ve ardından grafik.

Örnek (PageIndex{19})

Her satırı grafiklendirmek için en uygun yöntemi belirleyin:

ⓐ (y=5) ⓑ (4x−5y=20) ⓒ (x=−3) ⓓ (y=−frac{5}{9}x+8)

Cevap

ⓐ (y=5)
Bu denklemin sadece bir değişkeni vardır, y. Grafiği, çizgiyi geçen yatay bir çizgidir. y-eksen (5) konumunda.
ⓑ (4x−5y=20)
Bu denklem (Ax+By=C) biçimindedir. Grafiğin en kolay yolu kesişen noktaları ve bir noktayı daha bulmak olacaktır.
ⓒ (x=−3)
Tek değişken var, x. Grafik, çizgiyi kesen dikey bir çizgidir. x-ekseni (−3) konumunda.
ⓓ (y=−frac{5}{9}x+8)
Bu denklem (y=mx+b) biçiminde olduğundan, eğimi kullanarak bu doğrunun grafiğini çizmek en kolayı olacaktır. y-keser.

Örnek (PageIndex{20})

Her satırı grafiklendirmek için en uygun yöntemi belirleyin:

ⓐ (3x+2y=12) ⓑ (y=4) ⓒ (y=frac{1}{5}x−4) ⓓ (x=−7).

Cevap

ⓐ kesişme noktaları ⓑ yatay çizgi ⓒ eğim-kesişim noktası ⓓ dikey çizgi

Örnek (PageIndex{21})

Her satırı grafiklendirmek için en uygun yöntemi belirleyin:

ⓐ (x=6) ⓑ (y=−frac{3}{4}x+1) ⓒ (y=−8) ⓓ (4x−3y=−1).

Cevap

ⓐ dikey çizgi ⓑ eğim-kesişim noktası ⓒ yatay çizgi
ⓓ kesişir

Eğim-Kesme Uygulamalarının Grafiklerini Çıkarın ve Yorumlayın

Birçok gerçek dünya uygulaması lineer denklemlerle modellenir. Eğim-kesme noktası biçiminde yazılan denklemlerin gerçek dünya durumlarıyla nasıl ilişkili olduğunu görebilmeniz için burada birkaç uygulamaya göz atacağız.

Genellikle, bir lineer denklem modelleri gerçek dünya verilerini kullandığında, değişkenler için yalnızca harfler yerine farklı harfler kullanılır. x ve y. Değişken isimleri bize hangi niceliklerin ölçüldüğünü hatırlatır.

Ayrıca, uygulamada verileri barındırmak için genellikle dikdörtgen koordinat sistemimizdeki eksenleri daha büyük pozitif ve negatif sayılara genişletmemiz gerekecek.

Örnek (PageIndex{22})

(F=frac{9}{5}C+32) denklemi sıcaklıkları dönüştürmek için kullanılır, C, Santigrat ölçeğinde sıcaklıklara, F, Fahrenheit ölçeğinde.

ⓐ 0 Santigrat sıcaklığı için Fahrenhayt sıcaklığını bulun.

ⓑ 20 Santigrat sıcaklığı için Fahrenhayt sıcaklığını bulun.

ⓒ Eğimi yorumlayın ve F- denklemin kesişimi.

ⓓ Denklemin grafiğini çizin.

Cevap

( egin{array} {ll} { ext{0 Santigrat sıcaklığı için Fahrenhayt sıcaklığını bulun}} &{F=frac{9}{5}C+32} { ext{Bul C=0.}} &{F=frac{9}{5}(0)+32} { ext{Basitleştir.}} &{F=32} end{dizi} olduğunda F numara yok)

( egin{array} {ll} { ext{20 Santigrat sıcaklığı için Fahrenhayt sıcaklığını bulun}} &{F=frac{9}{5}C+32} { ext{Bul C=20.}} &{F=frac{9}{5}(20)+32} { ext{Basitleştir.}} &{F=36+32} { ext{ olduğunda F Basitleştirin.}} &{F=68} end{dizi} onumber)


Eğimi yorumlayın ve F- denklemin kesişimi.
Bu denklemi kullanmasına rağmen F ve C, hala eğim-kesişim formundadır.

Eğim, (frac{9}{5}), Fahrenheit sıcaklığının (F) sıcaklık Celsius olduğunda 9 derece artar (C) 5 derece artar.
F-intercept, sıcaklığın Celsius ölçeğinde (0°) olduğunda, Fahrenheit ölçeğinde (32°) olduğu anlamına gelir.
ⓓ Denklemin grafiğini çizin.
Normalden daha büyük bir ölçek kullanmamız gerekecek. Şuradan başla: F-intercept ((0,32)) ve ardından grafikte gösterildiği gibi ikinci bir nokta elde etmek için 9'un yükselişini ve 5'in koşusunu sayın.

Örnek (PageIndex{23})

(h=2s+50) denklemi, bir kadının boyunu inç cinsinden tahmin etmek için kullanılır, h, ayakkabı numarasına göre, s.

ⓐ 0 numara kadın ayakkabısı giyen bir çocuğun boyunu tahmin edin.

ⓑ Ayakkabı numarası 8 olan bir kadının boyunu tahmin edin.

ⓒ Eğimi yorumlayın ve h- denklemin kesişimi.

ⓓ Denklemin grafiğini çizin.

Cevap

ⓐ 50 inç
ⓑ 66 inç
ⓒ Eğim, 2, yükseklik, h, ayakkabı boyu 2 inç artar, s, 1 artar. h-intercept, ayakkabı numarası 0 olduğunda yüksekliğin 50 inç olduğu anlamına gelir.

Örnek (PageIndex{24})

(T=frac{1}{4}n+40) denklemi, sıcaklığı Fahrenheit derece olarak tahmin etmek için kullanılır, T, kriket cıvıltılarının sayısına göre, n, bir dakika içinde.

ⓐ Cıvıltı olmadığında sıcaklığı tahmin edin.

ⓑ Bir dakikadaki cıvıltı sayısı 100 olduğunda sıcaklığı tahmin edin.

ⓒ Eğimi yorumlayın ve T- denklemin kesişimi.

ⓓ Denklemin grafiğini çizin.

Cevap

ⓐ 40 derece
ⓑ 65 derece
ⓒ Eğim, (frac{1}{4}), Fahrenheit sıcaklığının (F) Cıvıltı sayısı 1 derece arttığında, n, 4 artar. T-intercept, cıvıltı sayısı 0 olduğunda sıcaklığın 40° olduğu anlamına gelir.

Bazı işletme türlerini yürütmenin maliyetinin iki bileşeni vardır: sabit ücret ve bir değişken maliyet. Sabit maliyet, kaç adet üretildiğine bakılmaksızın her zaman aynıdır. Bu, düzenli olarak ödenmesi gereken kira, sigorta, ekipman, reklam ve diğer kalemlerin maliyetidir. Değişken maliyet, üretilen birim sayısına bağlıdır. Her bir öğeyi üretmek için gereken malzeme ve işçilik içindir.

Örnek (PageIndex{25})

Sam bir teslimat minibüsü kullanıyor. (C=0.5m+60) denklemi, haftalık maliyeti, C, dolar ve mil sayısı olarak, m, o sürüyor.

ⓐ Sam'in 0 mil sürdüğü bir haftalık maliyetini bulun.

ⓑ 250 mil sürdüğü bir haftanın maliyetini bulun.

ⓒ Eğimi yorumlayın ve C- denklemin kesişimi.

ⓓ Denklemin grafiğini çizin.

Cevap


( egin{array} {ll} { ext{Sam'in 0 mil giderken bir haftalık maliyetini bulun.}} &{C=0.5m+60} { ext{m=0 olduğunda C'yi bulun. }} &{C=0.5(0)+60} { ext{Basitleştirin.}} &{C=60} {} &{ ext{Sam'in araba kullandığında maliyeti }$ ext{60 olur 0 mil.}} end{dizi} onumber )

( egin{array} {ll} { ext{Sam'in 250 mil giderken bir haftalık maliyetini bulun.}} &{C=0.5m+60} { ext{m=250 olduğunda C'yi bulun. }} &{C=0.5(250)+60} { ext{Basitleştirin.}} &{C=185} {} &{ ext{Sam'in araba kullanırken maliyeti }$ ext{185 250 mil.}} end{dizi} onumber )
ⓒ Eğimi yorumlayın ve C- denklemin kesişimi.

Eğim 0,5, haftalık maliyetin, C, gidilen mil sayısı arttıkça 0,50 dolar artar, n, 1 artar.
C-intercept, gidilen mil sayısı 0 olduğunda, haftalık maliyetin 60 $ olduğu anlamına gelir.
ⓓ Denklemin grafiğini çizin.
Normalden daha büyük bir ölçek kullanmamız gerekecek. Şuradan başla: C-kesme ((0,60)).

Eğimi (m= 0.5) hesaplamak için, grafiğimizi daha kolay hale getirecek eşdeğer bir kesir olarak yeniden yazarız.

( egin{array} {ll} {} &{m=0.5} { ext{Kesir olarak yeniden yaz.}} &{m=frac{0.5}{1}} { ext{ Pay ve}} &{} { ext{payda ile 100}} &{m=frac{0.5(100)}{1(100)}} { ext{Basitleştir.}} ve{ çarp m=frac{50}{100}} end{dizi} onumber )

Yani bir sonraki noktanın grafiğini çizmek için 60'ın kesişim noktasından 50 yukarı ve sonra sağ 100'e gidin. İkinci nokta ((100, 110) olacaktır).

Örnek (PageIndex{26})

Stella'nın gurme pizzalar satan bir ev işi var. (C=4p+25) denklemi, haftalık maliyeti, C, dolar ve pizza sayısı olarak, p, sattığını.

ⓐ Stella'nın hiç pizza satmadığı bir haftalık maliyetini bulun.

ⓑ 15 pizza sattığı bir haftanın maliyetini bulun.

ⓒ Eğimi yorumlayın ve C- denklemin kesişimi.

ⓓ Denklemin grafiğini çizin.

Cevap

ⓐ $25
ⓑ $85
ⓒ Eğim, 4, haftalık maliyetin, C, satılan pizza sayısı 4 dolar arttığında, p, 1 artar. C-intercept, satılan pizza sayısı 0 olduğunda haftalık maliyetin 25 $ olduğu anlamına gelir.

Örnek (PageIndex{27})

Loreen'in bir hat işi var. (C=1.8n+35) denklemi, haftalık maliyeti, C, dolar ve düğün davetiyesi sayısı olarak, n, o yazıyor.

ⓐ Loreen'in davetiye yazmadığı bir haftalık ücretini bulun.

ⓑ 75 davetiye yazdığı bir haftanın maliyetini bulun.

ⓒ Eğimi yorumlayın ve C- denklemin kesişimi.

ⓓ Denklemin grafiğini çizin.

Cevap

ⓐ $35
ⓑ $170
ⓒ Eğim, (1.8), haftalık maliyetin, C, davet sayısı arttığında ($1,80) artar, n, 1 artar.
C-intercept, davetiye sayısı 0 olduğunda haftalık maliyetin 35 $ olduğu anlamına gelir.

Paralel ve Dik Çizgileri Tanımlamak için Eğimleri Kullanın

Eğimi aynı olan iki doğruya denir paralel çizgiler. Paralel çizgiler aynı dikliğe sahiptir ve asla kesişmez.

Bunu daha resmi olarak dikdörtgen koordinat sistemi açısından söylüyoruz. Eğimi aynı ve farklı iki doğru y-Kesme noktalarına paralel doğrular denir. Görmek Şekil.

Her iki doğrunun da aynı eğime sahip olduğunu, (m=frac{2}{5}) ve farklı olduğunu doğrulayın y-keser.

Peki ya dikey çizgiler? Dikey bir çizginin eğimi tanımsızdır, bu nedenle dikey çizgiler yukarıdaki tanıma uymaz. Farklı olan dikey çizgiler diyoruz. x-kesme noktaları, bu grafikte gösterilen çizgiler gibi paraleldir.

PARALEL ÇİZGİLER

Paralel çizgiler aynı düzlemde kesişmeyen doğrulardır.

  • Paralel doğrular aynı eğime ve farklı y-keser.
  • m1m1 ve m2m2 iki paralel doğrunun eğimleri ise m1=m2.m1=m2 olur.
  • Paralel dikey çizgiler farklı x-keser

Paralel doğruların eğimi aynı ve farklı olduğundan y-kesme noktaları, şimdi sadece doğru denklemlerinin eğim-kesişim biçimine bakabilir ve doğruların paralel olup olmadığına karar verebiliriz.

Örnek (PageIndex{28})

Eğimleri kullanın ve y-çizgilerin paralel olup olmadığını belirlemek için kesişir:

ⓐ (3x−2y=6) ve (y=frac{3}{2}x+1) ⓑ (y=2x−3) ve (−6x+3y=−9) .

Cevap


( egin{array} {llll} {} &{3x−2y=6} &{ ext{and}} &{y=frac{3}{2}x+1} {} &{ −2y=−3x+6} &{} &{} { ext{y için ilk denklemi çözün.}} &{frac{-2y}{-2}=frac{-3x+6} {-2}} &{} &{} { ext{Denklem şimdi eğim-kesişim biçimindedir.}} &{y=frac{3}{2}x−3} &{} &{ } { ext{İkinci satırın denklemi zaten}} &{} &{} &{} { ext{eğim-kesişim biçiminde.}} &{} &{} &{y= frac{3}{2}x+1} {} &{} &{} &{} {} &{y=frac{3}{2}x−3} &{} &{ y=frac{3}{2}x+1} {Her iki doğrunun eğimi ve y-kesişimini belirleyin.} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} { } &{m=frac{3}{2}} &{} &{y=frac{3}{2}} {} &{ ext{y-kesişim noktası }(0,−3) } &{} &{ ext{y-kesişim noktası }(0,1)} end{dizi} onumber)
Çizgiler aynı eğime ve farklı y-kesişmeler ve bu yüzden paraleldirler.
Paralel olup olmadıklarını doğrulamak için çizgilerin grafiğini çizmek isteyebilirsiniz.


( egin{array} {llll} {} &{y=2x−3} &{ ext{and}} &{−6x+3y=−9} { ext{İlk denklem zaten eğim–kesme formu.}} &{y=2x−3} &{} &{} {} &{} &{} &{−6x+3y=−9} {} &{} &{ } &{3y=6x−9} { ext{y için ikinci denklemi çözün.}} &{} &{} &{frac{3y}{3}=frac{6x−9}{3 }} {} &{} &{} &{y=2x−3} { ext{İkinci denklem şimdi eğim-kesme noktasındadır.}} &{} &{} &{y=2x −3} {} &{} &{} &{} {} &{y=2x−3} &{} &{y=2x−3} { ext{Eğimi tanımlayın andy- her iki çizginin kesişimi.}} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} {} &{m=2} &{} &{m=2} {} & { ext{y kesme noktası }(0,−3)} &{} &{ ext{y kesme noktası }(0,-3)} end{dizi} onumber)
Doğrular aynı eğime sahiptir, fakat aynı zamanda aynı eğime sahiptirler. y-keser. Denklemleri aynı doğruyu temsil ediyor ve biz bu doğruların çakışık olduğunu söylüyoruz. Paralel değiller; onlar aynı çizgi.

Örnek (PageIndex{29})

Eğimleri kullanın ve y-çizgilerin paralel olup olmadığını belirlemek için kesişir:

ⓐ (2x+5y=5) ve (y=−frac{2}{5}x−4) ⓑ (y=−frac{1}{2}x−1) ve (x+2y=−2).

Cevap

ⓐ paralel ⓑ paralel değil; aynı çizgi

Örnek (PageIndex{30})

Eğimleri kullanın ve y-çizgilerin paralel olup olmadığını belirlemek için kesişir:

ⓐ (4x−3y=6) ve (y=frac{4}{3}x−1) ⓑ (y=frac{3}{4}x−3) ve (3x -4y=12).

Cevap

ⓐ paralel ⓑ paralel değil; aynı çizgi

Örnek (PageIndex{31})

Eğimleri kullanın ve y-çizgilerin paralel olup olmadığını belirlemek için kesişir:

ⓐ (y=−4) ve (y=3) ⓑ (x=−2) ve (x=−5).

Cevap

ⓐ (y=−4) ve (y=3)

Bunların yatay doğrular olduğunu denklemlerden hemen anlıyoruz ve bu nedenle eğimlerinin ikisinin de 0 olduğunu biliyoruz.
yatay çizgiler kesiştiği için y-ekseni y=−4y=−4'te ve y=3,y=3'te, biliyoruz ki y-kesme noktaları (0,−4)(0,−4) ve (0,3).(0,3)'tür.
Çizgiler aynı eğime ve farklı y-kesişmeler ve bu yüzden paraleldirler.

ⓑ (x=−2) ve (x=−5)

Bunların dikey doğrular olduğunu denklemlerden hemen anlıyoruz ve dolayısıyla eğimlerinin tanımsız olduğunu biliyoruz.
Dikey çizgiler kesiştiği için x-ekseni (x=−2) ve (x=−5'de), biliyoruz ki y-kesme noktaları ((−2,0)) ve ((−5,0)).
Çizgiler dikeydir ve farklı x-kesişmeler ve bu yüzden paraleldirler.

Örnek (PageIndex{32})

Eğimleri kullanın ve y-çizgilerin paralel olup olmadığını belirlemek için kesişir:

ⓐ (y=8) ve (y=−6) ⓑ (x=1) ve (x=−5).

Cevap

ⓐ paralel ⓑ paralel

Örnek (PageIndex{33})

Eğimleri kullanın ve y-çizgilerin paralel olup olmadığını belirlemek için kesişir:

ⓐ (y=1) ve (y=−5) ⓑ (x=8) ve (x=−6).

Cevap

ⓐ paralel ⓑ paralel

Denklemleri (y=frac{1}{4}x−1) ve (y=−4x+2) olan doğrulara bakalım. Şekil.

Bu doğrular aynı düzlemde yer alır ve dik açılarla kesişir. Bu çizgilere dik çizgi diyoruz.

İlk doğrunun eğimine, (m_1=frac{1}{4}) ve ikinci doğrunun eğimine, (m_2=−4) bakarsak, bunların olduğunu görebiliriz. olumsuz karşılıklı birbirinden. Bunları çarparsak, çarpımı (−1) olur.

[egin{dizi} {l} {m_1·m_2} {14(−4)} {−1} end{dizi} umber]

Bu her zaman için geçerlidir Dikey çizgiler ve bizi bu tanıma götürür.

DİKEY ÇİZGİLER

Dikey çizgiler aynı düzlemde dik açı oluşturan doğrulardır.

  • (m_1) ve (m_2) iki dik doğrunun eğimleri ise, o zaman:
    • eğimleri birbirlerinin negatif karşılıklılarıdır, (m_1=−frac{1}{m_2}).
    • eğimlerinin çarpımı (−1), (m_1·m_2=−1).
  • Dikey çizgi ve yatay çizgi her zaman birbirine diktir

Doğrusal denklemlerin eğim-kesişim biçimine bakabildik ve doğruların paralel olup olmadığını belirleyebildik. Aynı şeyi dik çizgiler için de yapabiliriz.

Denklemin eğim-kesişim biçimini buluruz ve sonra eğimlerin karşılıklı olup olmadığına bakarız. Eğimlerin çarpımı (−1) ise, çizgiler diktir.

Örnek (PageIndex{34})

Çizgilerin dik olup olmadığını belirlemek için eğimleri kullanın:

ⓐ (y=−5x−4) ve (x−5y=5) ⓑ (7x+2y=3) ve (2x+7y=5)

Cevap


İlk denklem eğim-kesme noktası biçimindedir.İkinci denklemi fory çözün.Her doğrunun eğimini belirleyin.y=-5x-4yym1=-5x-4=mx+b=-5x-5y-5y-5y-5y= 5=−x+5=−x+5−5=15x−1yym2=15x−1=mx+b=15İlk denklem eğim-kesme noktasındadır.y=−5x−4İkinci denklemi fory.x−5y için çözün =5−5y=−x+5−5y−5=−x+5−5y=15x−1Her doğrunun eğimini belirleyin.y=−5x−4y=mx+bm1=−5y=15x−1y=mx+ bm2=15
Eğimler birbirinin negatif karşılıklılarıdır, bu nedenle çizgiler diktir. Eğimleri çarparak kontrol ederiz, −5(15)=−1,−5(15)=−1 olduğundan, kontrol eder.


fory denklemlerini çözün.Her bir doğrunun eğimini belirleyin.7x+2y2y2y2y=3=−7x+3=−7x+32=−72x+32ym1=mx+b=−722x+7y7y7y7y=5=−2x+5=− 2x+57=−27x+57ym1=mx+b=−27Fory.7x+2y=32y=−7x+32y2=−7x+32y=−72x+322x+7y=57y=−2x+57y7=− denklemlerini çözün 2x+57y=−27x+57Her doğrunun eğimini belirleyin.y=mx+bm1=−72y=mx+bm1=−27
Eğimler birbirinin tersidir, ancak aynı işarete sahiptirler. Negatif karşılıklı olmadıkları için çizgiler dik değildir.

Örnek (PageIndex{3})

Çizgilerin dik olup olmadığını belirlemek için eğimleri kullanın:

ⓐ (y=−3x+2) ve (x−3y=4) ⓑ (5x+4y=1) ve (4x+5y=3).

Cevap

ⓐ dik ⓑ dik değil

Örnek (PageIndex{3})

Çizgilerin dik olup olmadığını belirlemek için eğimleri kullanın:

ⓐ (y=2x−5) ve (x+2y=−6) ⓑ (2x−9y=3) ve (9x−2y=1).

Cevap

ⓐ dik ⓑ dik değil

Anahtar kavramlar

  • Bir Çizginin Eğimi
    • Bir doğrunun eğimi (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) şeklindedir.
    • Yükseliş dikey değişimi ölçer ve koşu yatay değişimi ölçer.
  • Kullanılarak grafiğinden bir doğrunun eğimi nasıl bulunur (m=frac{ ext{yükseliş}}{ ext{çalıştır}}).
    1. Doğru üzerinde koordinatları tamsayı olan iki nokta bulun.
    2. Bir noktadan başlayarak, ilk noktadan ikinci noktaya giden bir dik üçgen çizin.
    3. Üçgenin bacaklarındaki yükselişi ve koşuyu sayın.
    4. Eğimi bulmak için yükselmenin koşmaya oranını alın: (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}).
  • İki nokta arasındaki doğrunun eğimi.
    • ((x_1,y_1)) ve ((x_2,y_2)) arasındaki doğrunun eğimi:

      [m=frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} onumber].

  • Bir nokta ve eğim verilen bir doğrunun grafiği nasıl çizilir?
    1. Verilen noktayı çizin.
    2. Yükselişi ve mesafeyi belirlemek için eğim formülünü (m=frac{ ext{rise}}{ ext{run}}) kullanın.
    3. Verilen noktadan başlayarak, yükselişi sayın ve ikinci noktayı işaretlemek için koşun.
    4. Noktaları bir çizgi ile birleştirin.
  • Bir Doğrunun Denklemin Eğim Kesişme Formu
    • Eğimi olan bir doğrunun denkleminin eğim-kesişim şekli m ve y-intercept, ((0,b)) (y=mx+b)'dir
  • Paralel çizgiler
    • Paralel doğrular, aynı düzlemde kesişmeyen doğrulardır.
      Paralel doğrular aynı eğime ve farklı y-keser.
      (m_1) ve (m_2) iki paralel doğrunun eğimleri ise (m_1=m_2).
      Paralel dikey çizgiler farklı x-keser.
  • Dikey çizgiler
    • Dik çizgiler, aynı düzlemde dik açı oluşturan çizgilerdir.
    • (m_1) ve (m_2) iki dik doğrunun eğimleri ise, o zaman:
      eğimleri birbirlerinin negatif karşılıklılarıdır, (m_1=−frac{1}{m_2}).
      eğimlerinin çarpımı (−1), (m_1·m_2=−1).
    • Dikey çizgi ve yatay çizgi her zaman birbirine diktir.

Sözlük

paralel çizgiler
Paralel doğrular, aynı düzlemde kesişmeyen doğrulardır.
Dikey çizgiler
Dik çizgiler, aynı düzlemde dik açı oluşturan çizgilerdir.