Nesne

13.5E: Çok Değişkenli Fonksiyonlar için Zincir Kuralı (Alıştırmalar)


13.5: Zincir Kuralı

1 - 6 arasındaki alıştırmalarda, sorunu çözmek için verilen bilgileri kullanın.

1) ( w(x,y,z)=xycos z,) olsun burada ( x=t,y=t^2,) ve ( z=arcsin t.) Bul ( dfrac{dw}{dt}).

Cevap:
( dfrac{dw}{dt}=ycos z+xcos z(2t)−dfrac{xysin z}{sqrt{1−t^2}})

2) ( w(t,v)=e^{tv}) olsun, burada ( t=r+s) ve ( v=rs). ( dfrac{∂w}{∂r}) ve ( dfrac{∂w}{∂s}) bulun.

3) Eğer ( w=5x^2+2y^2, quad x=−3u+v,) ve ( y=u−4v,) ise ( dfrac{∂w}{∂u}'yu bulun ) ve ( dfrac{∂w}{∂v}).

Cevap:
( dfrac{∂w}{∂u}=−30x+4y quad = quad -30(-3u + v) + 4(u - 4v) quad = quad 90u -30v + 4u - 16v dörtlü = dörtlü 94u - 46v),
(dfrac{∂w}{∂v}=10x−16y quad = quad 10(-3u + v) - 16(u - 4v) quad = quad -30u +10v - 16u + 64v dörtlü = dörtlü -46u + 74v)

4) ( w=xy^2,x=5cos(2t),) ve ( y=5sin(2t) ise), ( dfrac{∂w}{∂t}'yi bulun ).

5) ( f(x,y)=xy,x=rcos θ,) ve ( y=rsin θ) ise (dfrac{∂f}{∂r}) bulun ve cevabı ( r) ve ( θ) cinsinden ifade edin.

Cevap:
( dfrac{∂f}{∂r}=rsin(2θ))

6) Diyelim ki ( f(x,y)=x+y,u=e^xsin y,quad x=t^2) ve ( y=πt), burada ( x=r cos θ) ve ( y=rsin θ). ( dfrac{∂f}{∂θ}) bulun.

7 - 12 arasındaki alıştırmalarda, ( dfrac{dz}{dt})'yi önce zincir kuralını kullanarak ve sonra doğrudan ikame ile iki yolla bulun.

7) ( z=x^2+y^2, quad x=t,y=t^2)

Cevap:
( dfrac{dz}{dt}=2t+4t^3)

8) ( z=sqrt{x^2+y^2},quad y=t^2,x=t)

9) ( z=xy,quad x=1−sqrt{t},y=1+sqrt{t})

Cevap:
( dfrac{dz}{dt}=−1)

10) ( z=frac{x}{y},quad x=e^t,y=2e^t)

11) ( z=ln(x+y), quad x=e^t,y=e^t)

Cevap:
( dfrac{dz}{dt}=1)

12) ( z=x^4,dörtlü x=t,y=t)

13) ( w(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, quad x=cost,y=sint,) ve ( z=e^t) olsun. ( w)'yi ( t)'nin bir fonksiyonu olarak ifade edin ve doğrudan ( dfrac{dw}{dt}) bulun. Ardından zincir kuralını kullanarak ( dfrac{dw}{dt}) öğesini bulun.

Cevap:
( dfrac{dw}{dt}=2e^{2t}) her iki durumda da

14) ( z=x^2y,) olsun, burada ( x=t^2) ve ( y=t^3). ( dfrac{dz}{dt}) bulun.

15) ( u=e^xsin y,) olsun, burada ( x=-ln 2t) ve ( y=πt). ( x=ln 2) ve ( y=frac{π}{4}) olduğunda ( dfrac{du}{dt}) bulun.

Cevap:
( dfrac{du}{dt} = sqrt{2}ig(pi - 4ig))

16 - 33 arasındaki alıştırmalarda, kısmi türevleri kullanarak ( dfrac{dy}{dx}) bulun.

16) ( sin(6x)+ an(8y)+5=0)

17) ( x^3+y^2x−3=0)

Cevap:
( dfrac{dy}{dx}=−dfrac{3x^2+y^2}{2xy})

18) ( sin(x+y)+cos(x−y)=4)

19) ( x^2−2xy+y^4=4)

Cevap:
( dfrac{dy}{dx}=dfrac{y−x}{−x+2y^3})

20) ( xe^y+ye^x−2x^2y=0)

21) ( x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3})

Cevap:
( dfrac{dy}{dx}=−sqrt[3]{frac{y}{x}})

22) ( xcos(xy)+ycos x=2)

23) ( e^{xy}+ye^y=1)

Cevap:
( dfrac{dy}{dx}=−dfrac{ye^{xy}}{xe^{xy}+e^y(1+y)})

24) ( x^2y^3+cos y=0)

25) Zincir kuralını kullanarak ( dfrac{dz}{dt}) bulun; burada ( z=3x^2y^3,,,x=t^4,) ve ( y=t^2 ).

Cevap:
( dfrac{dz}{dt}=42t^{13})

26) ( z=3cos x−sin(xy),x=frac{1}{t},) ve ( y=3t.) ( dfrac{dz}{dt'yi bulalım }).

27) ( z=e^{1−xy},,, x=t^{1/3},) ve ( y=t^3) olsun. ( dfrac{dz}{dt}) bulun.

Cevap:
( dfrac{dz}{dt}=−frac{10}{3}t^{7/3}×e^{1−t^{10/3}})

28) Zincir kuralına göre ( dfrac{dz}{dt}) bulun; burada ( z=cosh^2(xy),,,x=frac{1}{2}t,) ve ( y=e^t).

29) ( z=dfrac{x}{y},,, x=2cos u,) ve ( y=3sin v.) ( dfrac{∂z}'ı bulalım {∂u}) ve ( dfrac{∂z}{∂v}).

Cevap:
( dfrac{∂z}{∂u}=dfrac{−2sin u}{3sin v}) ve ( dfrac{∂z}{∂v}=dfrac{−2 çünkü ucos v}{3sin^2v})

30) ( z=e^{x^2y}), nerede ( x=sqrt{uv}) ve ( y=frac{1}{v}) olsun. ( dfrac{∂z}{∂u}) ve ( dfrac{∂z}{∂v}) bulun.

31) ( z=xye^{x/y},,, x=rcos θ,) ve ( y=rsin θ ise), ( dfrac{∂z}{'ı bulun) ∂r}) ve ( dfrac{∂z}{∂θ}) ( r=2) ve ( θ=frac{π}{6}) olduğunda.

Cevap:
( dfrac{∂z}{∂r}=sqrt{3}e^{sqrt{3}}, dfrac{∂z}{∂θ}=(2−4sqrt{3})e ^{sqrt{3}})

32) ( w=4x+y^2+z^3,,,x=e^{rs^2},,, ise ( dfrac{∂w}{∂s}) öğesini bulun y=ln(frac{r+s}{t}),) ve ( z=ilk^2).

33) ( w=sin(xyz),,,x=1−3t,,,y=e^{1−t},) ve ( z=4t) ise, 'yi bulun ( dfrac{∂w}{∂t}).

Cevap:
( dfrac{∂w}{∂t}=-3yzcos(xyz)−xze^{1−t}cos(xyz)+4xycos(xyz))

34 - 36 numaralı alıştırmalarda şu bilgiyi kullanın: Bir fonksiyon ( f(x,y)) derecesinin homojen olduğu söylenir ( n) if ( f(tx,ty)=t^nf(x, y)). Derecenin tüm homojen fonksiyonları için ( n), aşağıdaki denklem doğrudur: ( xdfrac{∂f}{∂x}+ydfrac{∂f}{∂y}=nf(x,y) ). Verilen işlevin homojen olduğunu gösterin ve ( xdfrac{∂f}{∂x}+ydfrac{∂f}{∂y}=nf(x,y)) olduğunu doğrulayın.

34) ( f(x,y)=3x^2+y^2)

35) ( f(x,y)=sqrt{x^2+y^2})

Cevap:
( f(tx,ty)=sqrt{t^2x^2+t^2y^2}=t^1f(x,y), quad dfrac{∂f}{∂y}=xfrac {1}{2}(x^2+y^2)^{−1/2}×2x+yfrac{1}{2}(x^2+y^2)^{−1/2} ×2y=1f(x,y))

36) ( f(x,y)=x^2y−2y^3)

37) Dik dairesel silindirin hacmi ( V(x,y)=πx^2y,) ile verilir; burada ( x) silindirin yarıçapıdır ve ( y) silindir yüksekliğidir. ( x) ve ( y)'nin ( x=frac{1}{2}t) ve ( y=frac{1}{3} tarafından verilen ( t) fonksiyonları olduğunu varsayalım. t) öyle ki ( x) ve ( y) zamanla artıyor. ( x=2) ve ( y=5) olduğunda hacim ne kadar hızlı artıyor? Zamanın saniye cinsinden ölçüldüğünü varsayalım.

Cevap:
( dfrac{dV}{dt} = frac{34π}{3}, ext{birim}^3/ ext{s})

38) Bir gazın basıncı ( P), sıcaklığın kelvin cinsinden ifade edildiği ( PV=kT) formülüyle hacim ve sıcaklıkla ilişkilidir. Gazın basıncını hem ( V) hem de ( T) fonksiyonu olarak ifade edin. ( k=1, dfrac{dV}{dt}=2) cm olduğunda ( dfrac{dP}{dt}) bulun3/dk, ( dfrac{dT}{dt}=12) K/dk, ( V=20 cm^3) ve ( T=20°F).

39) Bir dik dairesel koninin yarıçapı ( 3) cm/dak'da artarken, koninin yüksekliği ( 2) cm/dak'da azalmaktadır. Yarıçap ( 13) cm ve yükseklik ( 18) cm olduğunda koninin hacminin değişim oranını bulun.

Cevap:
( frac{dV}{dt}=frac{1066π}{3}, ext{cm}^3/ ext{min})

40) Bir koninin kesik kesik hacmi, ( V=frac{1}{3}πz(x^2+y^2+xy),) formülüyle verilir, burada ( x) küçük dairenin yarıçapı, ( y) daha büyük dairenin yarıçapıdır ve ( z) kesikli dairenin yüksekliğidir (şekle bakın). ( x=10) inç, (y=12) inç ve ( z=18) inç olduğunda bu kesiğin hacminin değişim oranını bulun.

41) Kapalı bir kutu, boyutları ( x,y,) ve ( z) olan dikdörtgen bir katı şeklindedir. (Boyutlar inç cinsindendir.) Her boyutun ( 0,5) inç/dak oranında değiştiğini varsayalım. ( x=2) inç, (y=3) inç ve ( z=1) inç olduğunda kutunun toplam yüzey alanının değişim oranını bulun.

Cevap:
( frac{dA}{dt}=12, ext{in.}^2/ ext{min})

42) ( x,y,) ve ( z) ile temsil edilen üç ayrı dirence sahip bir devredeki toplam direnç, ( R(x,y,z)=dfrac{xyz} formülüyle verilir. {yz+xz+xy}). Belirli bir zamanda ( x) direncinin ( 100,Ω), ( y) direncinin ( 200,Ω,) ve ( z) direncinin ( olduğunu varsayalım. 300,Ω.) Ayrıca, ( x) direncinin ( 2,Ω/ ext{min},) oranında değiştiğini varsayalım, ( y) direncinin hızda değiştiğini varsayalım. ( 1,Ω/ ext{min}) ve ( z) direncinde değişiklik yok. Bu devredeki toplam direncin bu andaki değişim hızını bulunuz.

43) ( (x,y)) noktasındaki ( T) sıcaklığı ( T(x,y))'dir ve Celsius ölçeği kullanılarak ölçülür. Bir sinek, ( t) saniyeden sonraki konumu ( x=sqrt{1+t}) ve ( y=2+frac{1}{3}t) ile verilecek şekilde sürünür, burada ( x) ve ( y) santimetre cinsinden ölçülür. Sıcaklık fonksiyonu, ( T_x(2,3)=4) ve ( T_y(2,3)=3) değerlerini sağlar. ( 3) saniye sonra sineğin yolundaki sıcaklık ne kadar hızlı artıyor?

Cevap:
( 2)°C/sn

44) İki boyutta hareket eden bir akışkanın ( x) ve ( y) bileşenleri aşağıdaki fonksiyonlarla verilir: ( u(x,y)=2y) ve ( v(x,y) =−2x) ile (x≥0) ve (y≥0). Akışkanın ( (x,y)) noktasındaki hızı ( s(x,y)=sqrt{u(x,y)^2+v(x,y)^2}) . Zincir kuralını kullanarak ( dfrac{∂s}{∂x}) ve ( dfrac{∂s}{∂y})'yi bulun.

45) ( u=u(x,y,z),) olsun burada ( x=x(w,t),, y=y(w,t),, z=z(w,t) ),, w=w(r,s)) ve ( t=t(r,s).) ( dfrac{∂u} için bir ifade bulmak için bir ağaç diyagramı ve zincir kuralı kullanın. {∂r}).

Cevap:
( frac{∂u}{∂r}=frac{∂u}{∂x}(frac{∂x}{∂w}frac{∂w}{∂r}+frac{∂x) }{∂t}frac{∂t}{∂r})+frac{∂u}{∂y}(frac{∂y}{∂w}frac{∂w}{∂r}+ frac{∂y}{∂t}frac{∂t}{∂r})+frac{∂u}{∂z}(frac{∂z}{∂w}frac{∂w}{∂n} r}+frac{∂z}{∂t}frac{∂t}{∂r}))

Katkıda Bulunanlar

  • Gilbert Strang (MIT) ve Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd), katkıda bulunan birçok yazarla birlikte. OpenStax'ın bu içeriği bir CC-BY-SA-NC 4.0 lisansı ile lisanslanmıştır. http://cnx.org adresinden ücretsiz olarak indirin.

  • Paul Seeburger (Monroe Community College) LaTeX'i düzenledi.