Nesne

5.2: Logaritmik Fonksiyonlar - Matematik


50 sineklik bir popülasyonun her hafta iki katına çıkması ve bunun da (f(x)=50(2)^{x}) biçiminde bir fonksiyona yol açması bekleniyor. x geçen haftaların sayısını temsil eder. Bu nüfus ne zaman 500'e ulaşacak? Bu sorunu çözmeye çalışmak şunlara yol açar:

[500=50(2)^{x} onumber] Üstü izole etmek için her iki tarafı 50'ye bölmek
[10=2^{x} umara]

Biz üstel modeller kurmuş ve bunları tahmin yapmak için kullanmış olsak da, üstel denklemlerin çözümünden henüz bahsedilmediğini fark etmişsinizdir. Nedeni basit: Şimdiye kadar tartışılan cebirsel araçların hiçbiri üstel denklemleri çözmek için yeterli değil. Yukarıdaki (2^{x} =10) denklemini göz önünde bulundurun. (2^{3} =8) ve (2^{4} =16) olduğunu biliyoruz, bu nedenle (x)'nin 3 ile 4 arasında bir değer olması gerektiği açıktır, çünkü (g( x)=2^{x}) artıyor. Çözümü daha iyi tahmin etmek için bir değerler tablosu veya grafik oluşturmak için teknolojiyi kullanabiliriz.

Grafikten, çözümün 3.3 civarında olduğunu daha iyi tahmin edebiliriz. Bu sonuç hala oldukça yetersizdir ve üstel fonksiyon bire bir olduğundan, ters bir fonksiyona sahip olmak harika olurdu. Daha önce tartıştığımız fonksiyonların hiçbiri bir ters fonksiyon olarak hizmet etmeyecek ve bu nedenle adında yeni bir fonksiyon tanıtmalıyız. kayıt üstel bir fonksiyonun tersi olarak. Üstel fonksiyonların farklı tabanları olduğundan, farklı tabanların karşılık gelen logaritmalarını da tanımlayacağız.

tanım: logaritma

logaritma (taban (b)) işlevi, (log _{b} left(xsağ) olarak yazılır), üstel işlevin (taban (b)), (b^{ x}).

Logaritma ve üstel birbirini "geri aldığından" (teknik terimlerle bunlar terstir), şu sonucu verir:

günlüklerin özellikleri: ters özellikler

[log _{b} sol(b^{x} sağ)=x]

[b^{log _{b} x} =x]

Log bir fonksiyon olduğundan, en doğru şekilde (log _b}(c) olarak yazılır), fonksiyon değerlendirmesini belirtmek için parantezler kullanılarak, tıpkı (f(c) ile yaptığımız gibi). Ancak, giriş tek bir değişken veya sayı olduğunda, parantezlerin atıldığını ve ifadenin (log _b c) olarak yazıldığını görmek yaygındır.

üstel bir logaritma eşdeğeri

(b^{a} =c) ifadesi, (log _{b} (c)=a) ifadesine eşdeğerdir.

Alternatif olarak, bunu üstel fonksiyon(c=b^{a} ile başlayıp, ardından her iki tarafın log tabanını (b) alarak, (log _{b} (c) vererek) gösterebiliriz. =log _{b} b^{a}). Günlüklerin ters özelliğini kullanarak, (log _{b} (c)=a) olduğunu görüyoruz.

Log bir fonksiyon olduğundan, en doğru şekilde (log _{b} (c)), fonksiyon değerlendirmesini belirtmek için parantezler kullanılarak, tıpkı (f(c) ile yaptığımız gibi) şeklinde yazılır. Ancak, giriş tek bir değişken veya sayı olduğunda, parantezlerin atıldığını ve ifadenin (log _{b} c) olarak yazıldığını görmek yaygındır.

Örnek (PageIndex{1})

Bu üstel denklemleri logaritmik denklemler olarak yazın:

  1. (2^{3} =8)
  2. (5^{2} =25)
  3. (10^{-4} =dfrac{1}{10000})

Çözüm

a) (2^{3} =8), (log _{2} (8)=3) ile eşdeğerdir

b) (5^{2} =25), (log _{5} (25)=2) ile eşdeğerdir

c) (10^{-4} =dfrac{1}{10000}), (log _{10} left(dfrac{1}{10000} ight)=-4 ile eşdeğerdir )

Örnek (PageIndex{2})

Bu logaritmik denklemleri üstel denklemler olarak yazın:

a) (log _{6} left(sqrt{6} sağ)=dfrac{1}{2}) b) (log _{3} left(9sağ)= 2)

Çözüm

a) (log _{6} left(sqrt{6} ight)=dfrac{1}{2}), (6^{1/2} =sqrt{6} ile eşdeğerdir )

b) (log _{3} left(9 ight)=2), (3^{2} =9) ile eşdeğerdir

Alıştırma (PageIndex{1})

Üstel denklemi (4^{2} =16) logaritmik bir denklem olarak yazın.

Cevap

[log _{4} left(16sağ)=2=log _{4} 4^{2} =2log _{4} 4 umber]

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi kurarak, artık temel logaritmik ve üstel denklemleri yeniden yazarak çözebiliriz.

Örnek (PageIndex{3})

(x) için (log _{4} left(x ight)=2)'yi çözün.

Çözüm

Bu ifadeyi üstel olarak yeniden yazarak, (4^{2} =x), yani (x = 16).

Örnek (PageIndex{4})

(x) için (2^{x} =10)'u çözün.

Çözüm

Bu ifadeyi logaritma olarak yeniden yazarak (x=log _{2} (10)) elde ederiz.

Bu bir çözümü ve kesin bir çözümü tanımlasa da, bu ifadeyi daha önce yaptığımız ondalık tahminle karşılaştırmak zor olduğundan, onu biraz yetersiz bulabilirsiniz. Ayrıca, bir çözüm için tam bir ifade vermek her zaman yararlı değildir - çoğu zaman çözüme gerçekten ondalık bir yaklaşıma ihtiyaç duyarız. Neyse ki, bu bir görev hesaplayıcıları ve bilgisayarlar oldukça usta. Ne yazık ki bizim için çoğu hesap makinesi ve bilgisayar sadece iki tabanın logaritmasını değerlendirecektir. Neyse ki, kısaca göreceğimiz gibi, bu bir sorun olmaktan çıkıyor.

Tanım: yaygın ve doğal logaritmalar

NS ortak günlük 10 tabanlı logaritmadır ve genellikle (log (x)) şeklinde yazılır.

NS doğal kütük tabanı (e) olan logaritmadır ve genellikle (ln (x)) yazılır.

Örnek (PageIndex{5})

Ortak günlüğün tanımını kullanarak (log (1000)) değerini değerlendirin.

Ortak günlüğün değerleri
numaraüstel olarak sayıgünlük(sayı)
1000(10^3)3
100(10^2)2
10(10^1)1
1(10^0)0
0.1(10^{-1})-1
0.01(10^{-2})-2
0.001(10^{-3})-3

Çözüm

(log (1000)'i değerlendirmek için, (x=log (1000)) izin verebilir, ardından 10'luk ortak günlük tabanını kullanarak üstel forma yeniden yazabiliriz:

(10^{x} =1000.)

Bundan, 1000'in 10'un küpü olduğunu anlayabiliriz, yani (x) = 3.

(log _{10} left(10^{3} ight)=3) yazmak için günlüklerin ters özelliğini de kullanabiliriz.

Alıştırma (PageIndex{2})

Değerlendir (log (1.000.000)).

Cevap

[log sol(1000000sağ)=log sol(10^{6} sağ)=6 umber]

Örnek (PageIndex{6})

Değerlendir (ln left(sqrt{e} sağ)).

Çözüm

(ln left(sqrt{e} ight))'ı (ln left(e^{1/2} ight)) olarak yeniden yazabiliriz. ln bir günlük tabanı (e olduğundan), günlükler için ters özelliği kullanabiliriz: [ln left(e^{1/2} ight)=log _{e} left(e^ {1/2} sağ)=dfrac{1}{2} onumber].

Örnek (PageIndex{7})

Hesap makinenizi veya bilgisayarınızı kullanarak günlüğü(500) değerlendirin.

Çözüm

Bir bilgisayar kullanarak (log (500)yaklaşık 2.69897) değerlendirebiliriz.

Logaritma Grafikleri

(f(x) = 2^x) üstel fonksiyonunun bu değerler tablosunu ürettiğini hatırlayın.

(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

(f(x))

(frac{1}{8})

(frac{1}{4})

(frac{1}{2})

1

2

4

8

Logaritmik fonksiyon üstel değeri “geri aldığından”, (g(x) = log _2 (x)) değerler tablosunu üretir.

(x)

(frac{1}{8})

(frac{1}{4})

(frac{1}{2})

1

2

4

8

(g(x))

-3

-2

-1

0

1

2

3

Bu ikinci tabloda, dikkat edin

  1. Girdi arttıkça çıktı da artar.
  2. Girdi arttıkça çıktı daha yavaş artar.
  3. Üstel işlev yalnızca pozitif değerler çıkardığı için, logaritma yalnızca pozitif değerleri girdi olarak kabul edebilir, bu nedenle günlük işlevinin etki alanı ((0,infty)) olur.
  4. Üstel fonksiyon tüm gerçek sayıları girdi olarak kabul edebildiğinden, logaritma herhangi bir gerçek sayıyı çıkarabilir, bu nedenle aralığın tümü gerçek sayılardır veya (( - infty ,infty )).

Grafiği çizerken, giriş sağdan sıfıra yaklaştıkça, fonksiyonun çıkışının negatif yönde çok büyüdüğüne ve (x=0'da dikey bir asimptot gösterdiğine) dikkat edin.

Sembolik gösterimde şunu yazıyoruz:

(x o 0^+, f(x) o -infty) ve (x o infty , f(x) o infty) olarak.

Logaritmanın Grafiksel Özellikleri

Grafiksel olarak, (g(x) = log_b(x)) fonksiyonunda:

Grafiğin (1, 0) noktasında yatay bir kesişimi vardır;

Grafiğin dikey bir asimptotu (x=0);

Grafik artıyor ve aşağı doğru içbükey;

Fonksiyonun etki alanı (x > 0) veya ((0,infty));

Fonksiyon aralığının tamamı gerçek sayılardır veya ((- infty ,infty)).

Tabanı (b) olan genel bir logaritma çizerken, grafiğin ((1, 0)) ve ((b, 1)) noktalarından geçeceğini hatırlamak faydalı olabilir.

Tabanın grafiğin şeklini nasıl etkilediğine dair bir fikir edinmek için aşağıdaki grafikleri inceleyin.

Taban ne kadar büyük olursa grafiğin o kadar yavaş büyüdüğüne dikkat edin. Örneğin, ortak log grafiği, sınırsız büyürken, bunu çok yavaş yapar. Örneğin, 8 çıktıya ulaşmak için girdi 100.000.000 olmalıdır.

Yapılan bir diğer önemli gözlem logaritmanın alanıydı. Karşılıklı ve karekök fonksiyonları gibi, logaritma da bir log içeren bir kompozisyonun alanını bulurken göz önünde bulundurulması gereken sınırlı bir alana sahiptir.

Örnek (PageIndex{8})

(f(x) = log (5 - 2x)) fonksiyonunun tanım kümesini bulun.

Çözüm

Logaritma yalnızca giriş pozitif olduğunda tanımlanır, bu nedenle bu işlev yalnızca (5 - 2x > 0) olduğunda tanımlanacaktır. Bu eşitsizliği çözerek,

[egin{align*} - 2x &> - 5 x &< frac{5}{2} end{align*} ]

Bu işlevin etki alanı (x < frac{5}{2}) veya aralık gösteriminde (left( - infty ,frac{5}{2} ight)).

Logaritma Özellikleri

(log _{2} (10)) gibi ifadeleri değerlendirmek için ortak veya doğal logaritma işlevlerini kullanmak için bazı ek özellikler oluşturmamız gerekir.

günlüklerin özellikleri: üs özelliği

[log _{b} left(A^{r} sağ)=rlog _{b} left(Asağ)]

Bunun neden doğru olduğunu göstermek için bir kanıt sunuyoruz:

Logaritmik ve üstel fonksiyonlar ters olduğundan, (b^{log _{b} A} =A).

Her iki tarafı da yükselterek r güç, (A^{r} =left(b^{log _{b} A} sağ)^{r}) elde ederiz.

(left(x^{p} ight)^{q} =x^{pq}), (A^{r} =left(b^{log _{) belirten üstel kuralı kullanarak b} A} sağ)^{r} =b^{rlog _{b} A})

Her iki tarafın logunu alarak, (log _{b} left(A^{r} ight)=log _{b} left(b^{rlog _{b} A} ight) ))

Sağ taraftaki ters özelliği kullanmak şu sonucu verir: (log _{b} left(A^{r} ight)=rlog _{b} A)

Örnek (PageIndex{9})

Günlükler için üs özelliğini kullanarak (log _{3} left(25 ight)) öğesini yeniden yazın.

Çözüm

25 = 5({}^{2}) olduğundan,

[log _{3} left(25sağ)=log _{3} left(5^{2} ight)=2log _{3} left(5sağ) onumber ]

Örnek (PageIndex{10})

Günlükler için üs özelliğini kullanarak (4ln (x)) yeniden yazın.

Çözüm

Özelliği tersine kullanarak, (4ln (x)=ln left(x^{4} ight)).

Alıştırma (PageIndex{3})

Günlükler için üs özelliğini kullanarak yeniden yazın: (ln left(dfrac{1}{x^{2} } ight)).

Cevap

[3. ln left(dfrac{1}{x^{2} } sağ)=ln left(x^{-2} sağ)=-2ln (x) onumber ]

Üs özelliği, logaritmik bir ifadenin tabanını değiştirmek için bir yöntem bulmamızı sağlar.

günlüklerin özellikleri: temel değişikliği

[log _{b} left(Asağ)=dfrac{log _{c} (A)}{log _{c} (b)} umber]

Kanıt

(log _{b} left(Asağ)=x) olsun.

Üstel olarak yeniden yazmak (b^{x} =A) verir.

Günlük tabanını almak C bu denklemin her iki tarafının verir

[log _{c} b^{x} =log _{c} A umara]

Şimdi sol taraftaki günlükler için üs özelliğini kullanarak,

[xlog _{c} b=log _{c} A umara]

Bölerek, (x=dfrac{log _{c} A}{log _{c} b}) elde ederiz. (x) için orijinal ifademizi değiştirerek,

[log _{b} A=dfrac{log _{c} A}{log _{c} b} onumber]

Bu temel formül değişikliğiyle, nihayet bölümün başından itibaren sorumuza iyi bir ondalık yaklaşım bulabiliriz.

Örnek (PageIndex{11})

Temel formülün değişimini kullanarak (log _{2} (10)) değerini değerlendirin.

Çözüm

Temel formülün değişimine göre, log tabanı 2'yi herhangi bir diğer bazın logaritması olarak yeniden yazabiliriz. Hesaplayıcılarımız doğal logaritmayı değerlendirebildiğinden, log tabanı (e) olan doğal logaritmayı kullanmayı seçebiliriz:

[log _{2} 10=dfrac{log _{e} 10}{log _{e} 2} =dfrac{ln 10}{ln 2} umber]

Bunu değerlendirmek için hesap makinelerimizi kullanarak,

[dfrac{ln 10}{ln 2} yaklaşık dfrac{2.30259}{0.69315} yaklaşık 3.3219 umber]

Bu nihayet asıl sorumuzu yanıtlamamıza izin veriyor - bölümün başında tartıştığımız sinek popülasyonunun 500'e çıkması 3.32 hafta sürecek.

Örnek (PageIndex{12})

Temel formülün değişimini kullanarak (log _{5} (100)) değerini değerlendirin.

Çözüm

Bu ifadeyi başka bir taban kullanarak yeniden yazabiliriz. Hesaplayıcılarımız ortak logaritmayı değerlendirebiliyorsa, ortak logu, taban 10'u kullanarak yeniden yazabiliriz.

[log _{5} (100)=dfrac{log _{10} 100}{log _{10} 5} yaklaşık dfrac{2}{0.69897} =2.861 onumber]

Temel üstel denklemi (2^{x} =10) logaritmik biçimde yeniden yazarak ve ardından logaritmayı değerlendirmek için temel formülün değişimini kullanarak çözebilsek de, temel formülün değişiminin kanıtı, aşağıdakilere alternatif bir yaklaşımı aydınlatır: üstel denklemleri çözme.

Üstel Denklemleri Çözme

  1. Mümkün olduğunda üstel ifadeleri ayırın
  2. Her iki tarafın logaritmasını alın
  3. Değişkeni üssün dışına çıkarmak için logaritmalar için üs özelliğini kullanın
  4. Değişkeni çözmek için cebir kullanın.

Örnek (PageIndex{13})

(x) için (2^{x} =10)'u çözün.

Çözüm

Bu alternatif yaklaşımı kullanarak, bu üstel değeri logaritmik biçimde yeniden yazmak yerine, denklemin her iki tarafının da logaritmasını alacağız. Sonucu genellikle ondalık bir yanıt olarak değerlendirmek istediğimizden, genellikle ya genel günlük ya da doğal günlük kullanırız. Bu örnek için doğal günlüğü kullanacağız:

[ln left(2^{x} ight)=ln (10) onumber] Günlükler için üs özelliğini kullanarak,
[xln left(2 ight)=ln (10) onumber] Şimdi ln(2)'ye bölünerek,
[x=dfrac{ln (10)}{ln left(2sağ)} yaklaşık 3.3219 umber]

Bu sonucun, temel formülün değişimini kullanarak bulduğumuz sonuçla eşleştiğine dikkat edin.

Örnek (PageIndex{14})

İlk bölümde, (f(t)=1.14(1+0.0134)^{t}) işlevini kullanarak 2008'den (t) yıl sonra Hindistan'ın nüfusunu (milyar olarak) tahmin ettik. Nüfus bu trendi takip etmeye devam ederse, nüfus ne zaman 2 milyara ulaşacak?

Çözüm

(t) zamanını (f(t) = 2) için çözmemiz gerekiyor.

[2=1.14(1.0134)^{t} onumber] Üstel ifadeyi izole etmek için 1,14'e bölün
[dfrac{2}{1.14} =1.0134^{t} onumber] Denklemin her iki tarafının logaritmasını alın
[ln left(dfrac{2}{1.14} ight)=ln left(1.0134^{t} ight) onumber] üs özelliğini sağ tarafa uygulayın
[ln left(dfrac{2}{1.14} ight)=tln left(1.0134 ight) onumber] Her iki tarafı ln(1.0134) ile böl
[t=dfrac{ln left(dfrac{2}{1.14} ight)}{ln left(1.0134 ight)} yaklaşık 42.23 ext{ yıl} umber]

Bu büyüme hızı devam ederse, model Hindistan nüfusunun 2008'den yaklaşık 42 yıl sonra veya yaklaşık olarak 2050 yılında 2 milyara ulaşacağını tahmin ediyor.

Alıştırma (PageIndex{4})

(5(0.93)^{x} =10) çöz.

Cevap

[5(0.93)^{x} =10(0.93)^{x} =2ln left(0.93^{x} sağ)=ln sol(2sağ)xln left( 0.93sağ)=ln left(2sağ)dfrac{ln (2)}{ln (0,93)} yaklaşık -9,5513 umber]

Örnek (PageIndex{14})

(5(1.07)^{3t} =2) çöz

Çözüm

Başlamak için, ifadenin üstel kısmını, ((1.07)^{3t}) izole etmek istiyoruz, bu yüzden denklemin bir tarafında yalnızdır. Sonra denklemi çözmek için günlüğü kullanabiliriz. Herhangi bir temel günlüğü kullanabiliriz; bu sefer ortak günlüğü kullanacağız.

[5(1.07)^{3t} =2 onumber] Üstü yalnız bırakmak için her iki tarafı 5'e bölün
[(1.07)^{3t} =dfrac{2}{5} onumber] Her iki tarafın logunu alın.
[log left((1.07)^{3t} ight)=log left(dfrac{2}{5} ight) onumber] Günlükler için üs özelliğini kullanın
[3tlog left(1.07 ight)=log left(dfrac{2}{5} ight) onumber] ile böl (3log left(1.07 ight)) üzerinde İki taraf da
[dfrac{3tlog sol (1.07sağ)}{3log left(1.07sağ)} =dfrac{log left(dfrac{2}{5} sağ)}{ 3log left(1.07 ight)} onumber] Basitleştirin ve değerlendirin
[t=dfrac{log left(dfrac{2}{5} sağ)}{3log left(1.07sağ)} yaklaşık -4.5143 onumber]

Bu ifadeyi hesap makinenize girerken, doğru işlem sırasını sağlamak için tüm paydanın etrafına parantezler koymayı unutmayın:

log(2/5)/(3*log(1.07))

Logaritmaların Ek Özellikleri

Bazı durumlar, daha önce tartışılan özellikler kullanılarak ele alınamaz. Bunlar için bazı ek özelliklere ihtiyacımız var.

günlüklerin özellikleri

Günlük Toplamı Özelliği:

[log _{b} left(Asağ)+log _{b} left(Csağ)=log _{b} (AC)]

Günlüklerin Farkı Özelliği:

[log _{b} left(Asağ)-log _{b} left(C ight)=log _{b} left(dfrac{A}{C} sağ) ]

Yukarıda listelenen geçerli özellikleri ezberlemek kadar, logaritmaların hangi özellikleri karşılamadığını bilmek de önemlidir. Özellikle, logaritma doğrusal bir fonksiyon değildir, yani aşağıdakileri dağıtmaz:

[log A + B e log A + log B. label{distr1}]

Bu özelliklerle, birden çok günlük içeren ifadeleri tek bir günlük olarak yeniden yazabilir veya tek bir günlük içeren bir ifadeyi birden çok günlük içeren ifadelere bölebiliriz.

Örnek (PageIndex{15})

(log _{3} left(5 ight)+log _{3} left(8 ight)-log _{3} left(2 ight)) tek bir logaritma olarak yazın .

Çözüm

İlk iki terimdeki logs toplamı özelliğini kullanarak,

[log _{3} left(5sağ)+log _{3} left(8sağ)=log _{3} left(5cdot 8sağ)=log _ {3} sol(40sağ) umara]

Bu, orijinal ifademizi şu şekilde azaltır:

[log _{3} sol(40sağ)-log _{3} left(2sağ) onumber]

Ardından, günlükler özelliğinin farkını kullanarak,

[log _{3} left(40sağ)-log _{3} left(2 ight)=log _{3} left(dfrac{40}{2} sağ) =log _{3} sol(20sağ) onumber]

Örnek (PageIndex{16})

İlk önce tek bir logaritma olarak yeniden yazarak hesap makinesi olmadan (2log left(5 ight)+log left(4 ight)) değerini değerlendirin.

Çözüm

İlk terimde, yazmak için günlüklerin üs özelliğini kullanabiliriz.

[2log sol(5sağ)=log left(5^{2} sağ)=log sol(25sağ) onumber]

İfadenin iki günlük toplamına indirgenmesiyle, (log left(25 ight)+log left(4 ight)), sum of logs özelliğini kullanabiliriz

[log sol(25sağ)+log sol(4sağ)=log (4cdot 25)=log (100) umara]

(100 = 10^2) olduğundan, bu günlüğü hesap makinesi olmadan değerlendirebiliriz:

[log (100)=log sol(10^{2} sağ)=2 umara]

Örnek (PageIndex{17})

(ln left(dfrac{x^{4} y}{7} ight)) öğesini günlüklerin toplamı veya farkı olarak yeniden yazın

Çözüm

İlk olarak, iki ifadenin bir bölümü olduğunu fark ederek, yazmak için günlüklerin fark özelliğini kullanabiliriz.

[ln left(dfrac{x^{4} y}{7} sağ)=ln left(x^{4} ysağ)-ln (7) onumber]

Daha sonra ürünü ilk terimde gördüğümüzde sum özelliğini kullanırız.

[ln left(x^{4} ysağ)-ln (7)=ln left(x^{4} sağ)+ln (y)-ln (7) onumber ]

Son olarak, birinci terimde üs özelliğini kullanabiliriz.

[ln left(x^{4} sağ)+ln (y)-ln (7)=4ln (x)+ln (y)-ln (7) umara]

Denklemleri çözmede log özellikleri

Logaritma özellikleri, genellikle logaritma içeren problemleri çözerken ortaya çıkar.

Örnek (PageIndex{18})

(log (50x+25)-log (x)=2) çözümünü yapın.

Çözüm

Üstel biçimde yeniden yazmak için denklemin sol tarafında tek bir logaritmik ifadeye ihtiyacımız var. Günlüklerin farkı özelliğini kullanarak sol tarafı yeniden yazabiliriz:

[log left(dfrac{50x+25}{x} sağ)=2 umara]

Üstel biçimde yeniden yazmak, bunu cebirsel bir denkleme indirger:

[dfrac{50x+25}{x} =10^{2} =100 onumber] Her iki tarafı da (x) ile çarpın
[50x+25=100x umber] Benzer terimleri birleştir
[25=50x umber] 50'ye böl
[x=dfrac{25}{50} =dfrac{1}{2} onumber]

Bu cevabı orijinal denklemde kontrol ederek, alan sorunu olmadığını doğrulayabiliriz ve bu cevap doğrudur.

Alıştırma (PageIndex{6})

(log (x^2 - 4) = 1 + log (x + 2)) çözümünü yapın.

Cevap

[12 umara]

Bu Bölümün Önemli Konuları

  • Üstel fonksiyonun tersi olarak Logaritmik fonksiyon
  • Logaritmik ve üstel ifadeler yazma
  • Günlüklerin özellikleri
  • Ters özellikler
  • üstel özellikler
  • Baz değişikliği
  • Günlük özelliklerinin toplamı ve farkı
  • Ortak günlük
  • Doğal kütük
  • Logaritmik fonksiyonun grafiği (etki alanı ve aralık)
  • Üstel denklemleri çözme
  • Günlük kurallarını kullanarak denklemleri çözme

5.2: Logaritmik Fonksiyonlar - Matematik

Kritik bir değerde yerel bir maksimum veya minimum olup olmadığına karar vermek için önceki bölümün yöntemi her zaman uygun değildir. Bunun yerine, kritik değerleri bulmak için türevi hesaplamak zorunda olduğumuzdan, karar vermek için $f'(x)$ türevi hakkındaki bilgileri kullanabiliriz, bu yöntemde genellikle nispeten az fazladan çalışma vardır.

Türev bize bir noktada maksimum, minimum veya hiçbiri olup olmadığını nasıl söyleyebilir? $f'(a)=0$ olduğunu varsayalım. $x=a$ olduğunda bir yerel maksimum varsa, fonksiyon $x=a$ civarında, $x=a$ noktasında olduğundan daha düşük olmalıdır. Türev $x=a$ yakınında mevcutsa, $x$ $a$ ve $xa$ yakınında olduğunda bu $f'(x)>0$ anlamına gelir, çünkü $f$ biz hareket ettikçe yerel maksimumdan aşağı doğru eğim yapar. doğru. Aynı mantığı kullanarak, $x=a$'da yerel bir minimum varsa, $f$'ın türevi $a$'ın hemen solunda negatif ve hemen sağında pozitif olmalıdır. Türev $a$ civarında var ama pozitiften negatife veya negatiften pozitife değişmiyorsa, yani her iki tarafta pozitif veya her iki tarafta negatifse, o zaman $x=a$ olduğunda ne maksimum ne de minimum yoktur. . Örnekler için şekil 5.1.1'deki ilk grafiğe ve şekil 5.1.2'deki grafiğe bakın.

Örnek 5.2.1 Birinci türev testini kullanarak $f(x)=sin x+cos x$ için tüm yerel maksimum ve minimum noktaları bulun. Türev $f'(x)=cos x-sin x$'dır ve örnek 5.1.3'ten dikkate almamız gereken kritik değerler $pi/4$ ve $5pi/4$'dır.

$sin x$ ve $cos x$ grafikleri şekil 5.2.1'de gösterilmektedir. $pi/4$'ın hemen solunda kosinüs sinüsten büyüktür, bu nedenle $f'(x)$ pozitiftir, hemen sağında kosinüs sinüsten küçüktür, yani $f'(x)$ olumsuz. Bu, $pi/4$'da yerel bir maksimum olduğu anlamına gelir. $5pi/4$'ın hemen solunda kosinüs sinüsten küçüktür ve sağda kosinüs sinüsten büyüktür. Bu, $f'(x)$ türevinin solda negatif ve sağda pozitif olduğu anlamına gelir, bu nedenle $f$'ın yerel minimumu $5pi/4$'dır.


5.2: Logaritmik Fonksiyonlar - Matematik


Doğrusal fonksiyonlar. Bunlar formun işlevleridir:

burada m ve b sabitlerdir. Doğrusal işlevlerin tipik bir kullanımı, bir nicelik veya birim kümesinden diğerine dönüştürmektir. Bu fonksiyonların grafikleri düz çizgilerdir. m eğim ve b y kesişimidir. m pozitif ise doğru sağa doğru yükselir ve m negatif ise o zaman doğru sağa düşer. Doğrusal fonksiyonlar burada ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.


Kuadratik fonksiyonlar. Bunlar formun işlevleridir:

burada a , b ve c sabitlerdir. Grafiklerine parabol denir. Bu, lineer fonksiyondan sonraki en basit fonksiyon türüdür. Düşen nesneler parabolik yollar boyunca hareket eder. Eğer a pozitif bir sayı ise parabol yukarı doğru açılır ve a negatif bir sayı ise parabol aşağı doğru açılır. İkinci dereceden fonksiyonlar burada ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.


--> Güç fonksiyonları. Bunlar formun işlevleridir:

burada a ve b sabitlerdir. Adlarını, x değişkeninin bir güce yükseltilmesi gerçeğinden alırlar. Birçok fiziksel yasa (örneğin, iki nesne arasındaki mesafenin bir fonksiyonu olarak yerçekimi kuvveti veya üzerindeki yükün bir fonksiyonu olarak bir kirişin bükülmesi) güç fonksiyonları şeklindedir. a = 1 olduğunu varsayacağız ve b için birkaç duruma bakacağız:

b kuvveti pozitif bir tamsayıdır. Sağdaki grafiğe bakın. x = 0 olduğunda bu fonksiyonların hepsi sıfırdır. x büyük ve pozitif olduğunda, hepsi büyük ve pozitiftir. x büyük ve negatif olduğunda, çift güçleri olanlar büyük ve pozitif, tek güçleri olanlar ise büyük ve negatiftir.


b kuvveti negatif bir tamsayıdır. Sağdaki grafiğe bakın. x = 0 olduğunda, bu fonksiyonlar sıfıra bölünür ve bu nedenle hepsi sonsuzdur. x büyük ve pozitif olduğunda, küçük ve pozitiftirler. x büyük ve negatif olduğunda, çift güçlü olanlar küçük ve pozitif, tek güçlü olanlar küçük ve negatiftir.


b kuvveti 0 ile 1 arasında bir kesirdir. Sağdaki grafiğe bakın. x = 0 olduğunda bu fonksiyonların hepsi sıfırdır. Eğriler orijinde dikeydir ve x arttıkça artar, ancak x eksenine doğru eğriler.


Güç işlevi burada ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.


Polinom fonksiyonlar. Bunlar formun işlevleridir:

burada bir n , bir n &minus1 , &hellip , a 2 , a 1 , a 0 sabitlerdir. Yalnızca x'in tam sayı kuvvetlerine izin verilir. Oluşan en yüksek x gücüne polinomun derecesi denir. Grafik, 4. derece ve 5. derece polinomların örneklerini göstermektedir. Derece, polinomun sahip olabileceği maksimum "iniş ve çıkış" sayısını ve ayrıca sahip olabileceği x ekseninin maksimum geçiş sayısını verir.

Polinomlar, bilgisayar grafik uygulamalarında düzgün eğriler oluşturmak ve diğer fonksiyon türlerini yaklaşık olarak belirlemek için kullanışlıdır. Polinomlar burada ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.


Rasyonel fonksiyonlar. Bu fonksiyonlar iki polinomun oranıdır. Önemli oldukları bir çalışma alanı, mekanik ve elektrik sistemlerinin (Laplace dönüşümlerini kullanan) kararlılık analizidir.

Paydadaki polinom sıfır olduğunda, rasyonel fonksiyon, grafiğinde dikey noktalı bir çizgi (asimptot olarak adlandırılır) ile gösterildiği gibi sonsuz olur. Sağdaki örnek için bu, x = &minus2 ve x = 7 olduğunda gerçekleşir.

x çok büyüdüğünde eğri düzleşebilir. Sağdaki eğri, y = 5'te kapalıdır.

Sağdaki grafik, rasyonel bir fonksiyonun başka bir örneğini göstermektedir. Bunun x = 0'da sıfıra bölümü var. Düzlem yapmıyor ama noktalı çizgiyle gösterildiği gibi (başka bir asimptot) x büyük olduğunda y = x düz çizgisine yaklaşıyor.


Üstel fonksiyonlar. Bunlar formun işlevleridir:

burada x bir üs içindedir (kuvvet fonksiyonlarında olduğu gibi tabanda değil) ve a ve b sabitlerdir. (Yalnızca b'nin x kuvvetine yükseltildiğine dikkat edin, a değil.) Eğer b tabanı 1'den büyükse, sonuç üstel büyümedir. Birçok fiziksel miktar katlanarak büyür (örneğin, hayvan popülasyonları ve faiz getiren bir hesaptaki nakit).

Eğer b tabanı 1'den küçükse sonuç üstel bozunmadır. Birçok miktar üstel olarak bozunur (örneğin, okyanusun belirli bir derinliğine ulaşan güneş ışığı ve sürtünme nedeniyle yavaşlayan bir nesnenin hızı).


Üstel fonksiyonlar burada ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.


Logaritmik fonksiyonlar. Logaritmik fonksiyonları tanımlamanın birçok eşdeğer yolu vardır. Bunları şu şekilde tanımlayacağız:

burada x doğal logaritmadadır ve a ve b sabitlerdir. Yalnızca pozitif x için tanımlanırlar. Küçük x için negatiftirler ve büyük x için pozitiftirler ancak küçük kalırlar. Logaritmik fonksiyonlar, insan kulağının değişen şiddetteki seslere tepkisini ve insan gözünün değişen parlaklıktaki ışığa tepkisini doğru bir şekilde tanımlar. Logaritmik fonksiyonlar burada ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.


Sinüzoidal fonksiyonlar. Bunlar formun işlevleridir:

burada a , b ve c sabitlerdir. Sinüzoidal fonksiyonlar, pozisyon veya zamana göre dalga şekline sahip herhangi bir şeyi tanımlamak için kullanışlıdır. Örnekler sudaki dalgalar, gün boyunca gelgitin yüksekliği ve elektrikteki alternatif akımdır. a parametresi (genlik olarak adlandırılır) dalganın yüksekliğini etkiler, b (açısal hız) dalganın genişliğini etkiler ve c (faz açısı) dalgayı sola veya sağa kaydırır. Sinüzoidal fonksiyonlar burada ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.



Bu sayfayı bir web aramasında bulduysanız,
İçindekiler soldaki çerçevede.
Görüntülemek için buraya tıklayın.


Logaritma Grafikleri

Üstel fonksiyonun bu değerler tablosunu ürettiğini hatırlayın.

Logaritmik işlev üstel değeri "geri aldığından", değerler tablosunu üretir.

Bu ikinci tabloda, dikkat edin

  1. Girdi arttıkça çıktı da artar.
  2. Girdi arttıkça çıktı daha yavaş artar.
  3. Üstel fonksiyon sadece pozitif değerler verdiği için logaritma sadece pozitif değerleri girdi olarak kabul edebilir, bu nedenle log fonksiyonunun etki alanı şöyledir: .
  4. Üstel fonksiyon tüm gerçek sayıları girdi olarak kabul edebildiğinden, logaritma herhangi bir gerçek sayıyı çıkarabilir, bu nedenle aralık tüm gerçek sayılar veya .

Grafiği çizerken, giriş sağdan sıfıra yaklaştıkça, fonksiyonun çıkışının negatif yönde çok büyüdüğüne dikkat edin, bu da x = 0.

Sembolik gösterimde yazıyoruz

olarak , ve benzeri

Logaritmanın Grafiksel Özellikleri

Fonksiyonda grafiksel olarak

Grafiğin (1, 0) noktasında yatay bir kesişimi var

Grafikte dikey bir asimptot var x = 0

Grafik artıyor ve aşağı doğru içbükey

Fonksiyonun etki alanı x > 0 veya

Fonksiyonun aralığının tamamı gerçek sayılardır veya

Tabanlı genel bir logaritma çizerken B, grafiğin (1, 0) ve ( noktalarından geçeceğini hatırlamak yardımcı olabilir.B, 1).

Tabanın grafiğin şeklini nasıl etkilediğine dair bir fikir edinmek için aşağıdaki grafikleri inceleyin.

Taban ne kadar büyükse grafiğin o kadar yavaş büyüdüğüne dikkat edin. Örneğin, ortak log grafiği, sınırsız büyürken, bunu çok yavaş yapar. Örneğin, 8 çıktıya ulaşmak için girdi 100.000.000 olmalıdır.

Yapılan bir diğer önemli gözlem logaritmanın alanıydı. Karşılıklı ve karekök fonksiyonları gibi, logaritma da bir log içeren bir kompozisyonun alanını bulurken göz önünde bulundurulması gereken sınırlı bir alana sahiptir.

Fonksiyonun alanını bulun

Logaritma yalnızca giriş pozitif olduğunda tanımlanır, bu nedenle bu işlev yalnızca aşağıdaki durumlarda tanımlanacaktır. .

% Bu eşitsizliği çözerek,

Bu fonksiyonun etki alanı , veya aralık gösteriminde, .

Logaritma Özellikleri

Gibi ifadeleri değerlendirmek için ortak veya doğal logaritma işlevlerini kullanmak , bazı ek özellikler oluşturmamız gerekiyor.

Günlüklerin Özellikleri: Üs Özelliği

Bunun neden doğru olduğunu göstermek için bir kanıt sunuyoruz.

Logaritmik ve üstel fonksiyonlar ters olduğundan,

% .

Böyle

belirten üstel kuralı kullanarak ,

E sonra

Yine sağ taraftaki ters özelliği kullanmak sonucu verir.

Yeniden yazmak günlükler için üs özelliğini kullanma.

25 = 5 2 olduğundan,

Yeniden yazmak günlükler için üs özelliğini kullanma.

Özelliği tersine kullanmak,

3. Günlükler için üs özelliğini kullanarak yeniden yazın: .

Üs özelliği, logaritmik bir ifadenin tabanını değiştirmek için bir yöntem bulmamızı sağlar.

Günlüklerin Özellikleri: Temel Değişikliği

İzin vermek . Üstel olarak yeniden yazma verir . Günlük tabanını almak C bu denklemin her iki tarafının verir

Şimdi sol taraftaki günlükler için üs özelliğini kullanarak,

Bölerek elde ederiz

veya ifademizi değiştirmek için x,

Bu temel formül değişikliğiyle, nihayet bölümün başından itibaren sorumuza iyi bir ondalık yaklaşım bulabiliriz.

Değerlendirmek temel formülün değiştirilmesini kullanarak.

Temel formülün değişimine göre, log tabanı 2'yi herhangi bir diğer bazın logaritması olarak yeniden yazabiliriz. Hesaplayıcılarımız doğal logaritmayı değerlendirebildiğinden, log tabanı olan doğal logaritmayı kullanmayı seçebiliriz. e:

Bunu değerlendirmek için hesap makinelerimizi kullanarak,

Bu nihayet asıl sorumuzu yanıtlamamıza izin veriyor - bölümün başında tartıştığımız sinek popülasyonunun 500'e çıkması 3.32 hafta sürecek.

Değerlendirmek temel formülün değişimi kullanılarak.

Bu ifadeyi başka bir taban kullanarak yeniden yazabiliriz. Hesaplayıcılarımız ortak logaritmayı değerlendirebiliyorsa, ortak logu, taban 10'u kullanarak yeniden yazabiliriz.

Temel üstel denklemi çözebilmişken logaritmik biçimde yeniden yazarak ve ardından logaritmayı değerlendirmek için taban formülünün değişimini kullanarak, taban formülünün değişiminin kanıtı, üstel denklemlerin çözümüne yönelik alternatif bir yaklaşımı aydınlatır.

Üstel denklemleri çözme:

Mümkün olduğunda üstel ifadeleri ayırın

Her iki tarafın logaritmasını alın

Değişkeni üssün dışına çıkarmak için logaritmalar için üs özelliğini kullanın

Değişkeni çözmek için cebir kullanın.

Çözmek için x.

Bu alternatif yaklaşımı kullanarak, bu üstel değeri logaritmik biçimde yeniden yazmak yerine, denklemin her iki tarafının da logaritmasını alacağız. Sonucu genellikle ondalık bir yanıt olarak değerlendirmek istediğimizden, genellikle ya genel logu ya da doğal logu kullanırız. Bu örnek için doğal günlüğü kullanacağız:

Günlükler için üs özelliğini kullanarak,

Şimdi ln(2)'ye bölersek,

Bu sonucun, temel formülün değişimini kullanarak bulduğumuz sonuçla eşleştiğine dikkat edin.

İlk bölümde, Hindistan'ın nüfusunu (milyarlarca) tahmin ettik. T fonksiyonu kullanarak 2008'den yıllar sonra . Nüfus bu trendi takip etmeye devam ederse, nüfus ne zaman 2 milyara ulaşacak?

için çözmemiz gerekiyor T Böylece f(t) = 2

Üstel ifadeyi izole etmek için 1.14'e bölün

Take the logarithm of both sides of the equation

Apply the exponent property on the right side

Divide both sides by ln(1.0134)

If this growth rate continues, the model predicts the population of India will reach 2 billion about 42 years after 2008, or approximately in the year 2050.

4. Solve .

Additional Properties of Logarithms

Some situations cannot be addressed using the properties already discussed. For these, we need some additional properties.

Sum of Logs Property:

Difference of Logs Property:

It’s just as important to know what properties logarithms do olumsuzluk satisfy as to memorize the valid properties listed above. In particular, the logarithm is not a linear function, which means that it does not distribute: log(A + B) ≠ log(A) + log(B).

With these properties, we can rewrite expressions involving multiple logs as a single log, or break an expression involving a single log into expressions involving multiple logs.

Yazmak as a single logarithm.

Using the sum of logs property on the first two terms,

This reduces our original expression to

Then using the difference of logs property,

Evaluate without a calculator by first rewriting as a single logarithm.

On the first term, we can use the exponent property of logs to write

With the expression reduced to a sum of two logs, , we can utilize the sum of logs property

Since 100 = 10 2 , we can evaluate this log without a calculator:

Rewrite as a sum or difference of logs

First, noticing we have a quotient of two expressions, we can utilize the difference property of logs to write

Then seeing the product in the first term, we use the sum property

Finally, we could use the exponent property on the first term

5. Without a calculator evaluate by first rewriting as a single logarithm :


5.2: Logarithmic Functions - Mathematics

We begin with the exponential function defined by f ( x ) = 2 x and note that it passes the horizontal line test.

Therefore it is one-to-one and has an inverse. Reflecting y = 2 x about the line y = x we can sketch the graph of its inverse. Recall that if ( x , y ) is a point on the graph of a function, then ( y , x ) will be a point on the graph of its inverse.

To find the inverse algebraically, begin by interchanging x ve y and then try to solve for y.

f ( x ) = 2 x y = 2 x ⇒ x = 2 y

We quickly realize that there is no method for solving for y. This function seems to “transcend” algebra. Therefore, we define the inverse to be the base-2 logarithm, denoted log 2 x . Aşağıdakiler eşdeğerdir:

This gives us another transcendental function defined by f − 1 ( x ) = log 2 x , which is the inverse of the exponential function defined by f ( x ) = 2 x .

The domain consists of all positive real numbers ( 0 , ∞ ) and the range consists of all real numbers ( − ∞ , ∞ ) . John Napier is widely credited for inventing the term logarithm.

In general, given base b > 0 where b ≠ 1 , the logarithm base B The exponent to which the base B is raised in order to obtain a specific value. In other words, y = log b x is equivalent to b y = x . is defined as follows:


Mathematics - Logarithmic Functions and Their Graphs

This course teaches you all the promised concepts really well provided that you do have the prerequisites and do the exercises therein. Please see the "Prerequisites" and "What You Will Learn" sections.

The course has five main sections:

Section 1 - Course introduction - General information about the course

Section 2 - Logarithmic Functions - logarithmic functions and their relationship with exponential functions.

Section 3 - Logarithmic Functions Exercises - about fifty exercises to master the concepts in Section 2.

Section 4 - Graphs of Logarithmic Functions - basics (review) of function transformations and how to use them in order to graph logarithmic functions.

Section 5 - Graphs of Logarithmic Functions Exercises - about fifty exercises in order to master the concepts leaned in section 4.

This course can be used in conjunction with our subsequent courses to serve as a foundation to learn calculus (road map explained in the course).

NS prerequisites of this course are cebir, functions in general and Exponential Functions. We have courses on Functions and Exponential Functions as well.

Please use the course code "41" to refer to this course in your correspondence with us. Teşekkürler!


5.2: Logarithmic Functions - Mathematics

Weekly Plan - Spring 2010

DATE ACTIVITY TITLE
Feb 1–5 Ch 1 - Functions: Characteristics & Properties
1.1 Functions
1.2 Exploring absolute value
1.3 Properties of graphs of functions
1.4 Sketching graphs of functions

Feb 8–12
1.5 Inverse relations
1.6 Piecewise functions
1.7 Exploring operations with functions
Chapter review Test

Feb 16–19 Ch 2 – Functions: Understanding rates of change
2.1 Determine average rate of change
2.2 Estimating instantaneous rates of change from table of values & equations
2.3 Exploring instantaneous rates of change using graphs

Feb 22–26
2.4 Using rates of change to create a graphical model
2.5 Solving problems involving rates of change

Mar 1–5
Chapter review Test
Ch 3 – Polynomial functions
3.1 Exploring polynomial functions
3.2 Characteristics of polynomial functions

Mar 8–12
3.3 Characteristics of polynomial functions in factored form
3.4 Transformations of cubic & quartic functions
Mid chapter review

Mar 22–26
3.5 Dividing polynomials
3.6 Factoring polynomials
3.7 Factoring a sum or difference of cubes
Chapter review Test

Mar 29–Apr 1 Ch 4 – Polynomial equations & inequalities
4.1 Solving polynomial equations
4.2 Solving linear inequalities
4.3 Solving polynomial inequalities
4.4 Rates of change in polynomial functions

Apr 13–16
Chapter review Test
Ch 5 – Rational functions, equations & inequalities
5.1 Graphs of reciprocal functions
5.2 Exploring quotients of polynomial functions
5.3 Graphs of rational functions of the form f(x)=(ax+b)/(cx+d)

Apr 19-23
5.4 Solving rational equations
5.5 Solving rational inequalities
5.6 Rates of change in rational functions
Chapter review Test

Apr 26-30 Ch 6 – Trigonometric functions
6.1 Radian measure
6.2 Radian measure & angles on the Cartesian plane
6.3 Exploring graphs of the primary trigonometric functions
6.4 Transformations of trigonometric functions

May 3–7
Mid chapter review
6.6 Modeling with trigonometric functions
6.7 Rates of change in trigonometric functions
Chapter review Test

May 10–14 Ch 7 – Trigonometric identities and equations
7.1 Exploring equivalent trigonometric functions
7.2 Compound angle formulas
7.3 Double angle formulas

May 17–21
7.4 Proving trigonometric identities
7.5 Solving linear trigonometric equations
7.6 Solving quadratic trigonometric equations
Chapter review Test

May 25–28 Ch 8 – Exponential & logarithmic functions
8.1 Exploring the logarithmic function
8.2 Transformations of logarithmic functions
8.3 Evaluating logarithms
8.4 Laws of logarithms

May 31–Jun 4
8.5 Solving exponential equations
8.6 Solving logarithmic equations
8.7 Solving problems with exponential and logarithmic functions
8.8 Rates of change in exponential & logarithmic functions

Jun 7–11
Chapter review Test
Ch 9 – Combinations of functions
9.1 Exploring combinations of functions
9.2 Combining two functions: Sums & differences
9.3 Combining two functions: Products

Jun 14–18
9.4 Exploring Quotients of functions
9.5 Composition of functions
9.6 Techniques for solving equations & inequalities
9.7 Modeling with functions


  1. (log_3(8)-log_3(4))
  2. (log_<10>(24)-log_<10>(6))
  3. (log_begin p^3 end - log_begin p^2 end )
  4. (log_5(64)-log_5(4)-log_5(2))
  5. (log_begin p end + log_begin p^3 end - log_begin p^2 end)
  1. (log_3(8)-log_3(4) = log_3(2))
  2. (log_<10>(24)-log_<10>(6) = log_<10>(4))
  3. (log_begin p^3 end - log_begin p^2 end = log_begin p end)
  4. (log_5(64)-log_5(4)-log_5(2) = log_5(8))
  5. (log_begin p end + log_begin p^3 end - log_begin p^2 end = log_begin p^2 end)

Answers with Working

Select the question number you'd like to see the working for:


5.2: Logarithmic Functions - Mathematics


As with any word problem, the trick is convert a narrative statement or question to a mathematical statement.


Before we start, let's talk about earthquakes and how we measure their intensity.


In 1935 Charles Richter defined the magnitude of an earthquake to be


The magnitude of a standard earthquake is


Richter studied many earthquakes that occurred between 1900 and 1950. The largest had magnitude of 8.9 on the Richter scale, and the smallest had magnitude 0. This corresponds to a ratio of intensities of 800,000,000, so the Richter scale provides more manageable numbers to work with.


Each number increase on the Richter scale indicates an intensity ten times stronger. For example, an earthquake of magnitude 6 is ten times stronger than an earthquake of magnitude 5. An earthquake of magnitude 7 is times strong than an earthquake of magnitude 5. An earthquake of magnitude 8 is times stronger than an earthquake of magnitude 5.


Örnek 1: Early in the century the earthquake in San Francisco registered 8.3 on the Richter scale. In the same year, another earthquake was recorded in South America that was four time stronger. What was the magnitude of the earthquake in South American?


Çözüm: Convert the first sentence to an equivalent mathematical sentence or equation.


Convert the second sentence to an equivalent mathematical sentence or equation.


Örnek 2: A recent earthquake in San Francisco measured 7.1 on the Richter scale. How many times more intense was the San Francisco earthquake described in Example 1?


Çözüm: The intensity (I) of each earthquake was different. Let I 1 represent the intensity the early earthquake and I 2 represent the latest earthquake.


If you would like to work another example, click on example.


If you would like to test your knowledge by working some problems, click on problem.


If you would like to go back to the table of contents, click on contents.


İçindekiler

The powers of two have been known since antiquity for instance, they appear in Euclid's Elementler, Props. IX.32 (on the factorization of powers of two) and IX.36 (half of the Euclid–Euler theorem, on the structure of even perfect numbers). And the binary logarithm of a power of two is just its position in the ordered sequence of powers of two. On this basis, Michael Stifel has been credited with publishing the first known table of binary logarithms in 1544. His book Arithmetica Integra contains several tables that show the integers with their corresponding powers of two. Reversing the rows of these tables allow them to be interpreted as tables of binary logarithms. [1] [2]

Earlier than Stifel, the 8th century Jain mathematician Virasena is credited with a precursor to the binary logarithm. Virasena's concept of ardhacheda has been defined as the number of times a given number can be divided evenly by two. This definition gives rise to a function that coincides with the binary logarithm on the powers of two, [3] but it is different for other integers, giving the 2-adic order rather than the logarithm. [4]

The modern form of a binary logarithm, applying to any number (not just powers of two) was considered explicitly by Leonhard Euler in 1739. Euler established the application of binary logarithms to music theory, long before their applications in information theory and computer science became known. As part of his work in this area, Euler published a table of binary logarithms of the integers from 1 to 8, to seven decimal digits of accuracy. [5] [6]

The binary logarithm function may be defined as the inverse function to the power of two function, which is a strictly increasing function over the positive real numbers and therefore has a unique inverse. [7] Alternatively, it may be defined as ln n/ln 2 , where ln is the natural logarithm, defined in any of its standard ways. Using the complex logarithm in this definition allows the binary logarithm to be extended to the complex numbers. [8]

As with other logarithms, the binary logarithm obeys the following equations, which can be used to simplify formulas that combine binary logarithms with multiplication or exponentiation: [9]

In mathematics, the binary logarithm of a number n is often written as log2 n . [10] However, several other notations for this function have been used or proposed, especially in application areas.

Some authors write the binary logarithm as lg n , [11] [12] the notation listed in Chicago Stil El Kitabı. [13] Donald Knuth credits this notation to a suggestion of Edward Reingold, [14] but its use in both information theory and computer science dates to before Reingold was active. [15] [16] The binary logarithm has also been written as log n with a prior statement that the default base for the logarithm is 2 . [17] [18] [19] Another notation that is often used for the same function (especially in the German scientific literature) is ld n , [20] [21] [22] from Latin logarithmus dualis [20] or logarithmus dyadis. [20] The DIN 1302 [de] , ISO 31-11 and ISO 80000-2 standards recommend yet another notation, lb n . According to these standards, lg n should not be used for the binary logarithm, as it is instead reserved for the common logarithm log10 n . [23] [24] [25]

Information theory Edit

The number of digits (bits) in the binary representation of a positive integer n is the integral part of 1 + log2 n , i.e. [12]

In information theory, the definition of the amount of self-information and information entropy is often expressed with the binary logarithm, corresponding to making the bit the fundamental unit of information. However, the natural logarithm and the nat are also used in alternative notations for these definitions. [26]

Combinatorics Edit

Although the natural logarithm is more important than the binary logarithm in many areas of pure mathematics such as number theory and mathematical analysis, [27] the binary logarithm has several applications in combinatorics:

  • Every binary tree with n leaves has height at least log2n , with equality when n is a power of two and the tree is a complete binary tree. [28] Relatedly, the Strahler number of a river system with n tributary streams is at most log2n + 1 . [29]
  • Every family of sets with n different sets has at least log2n elements in its union, with equality when the family is a power set. [30]
  • Every partial cube with n vertices has isometric dimension at least log2n , and has at most 1 / 2 n log2n edges, with equality when the partial cube is a hypercube graph. [31]
  • According to Ramsey's theorem, every n -vertex undirected graph has either a clique or an independent set of size logarithmic in n . The precise size that can be guaranteed is not known, but the best bounds known on its size involve binary logarithms. In particular, all graphs have a clique or independent set of size at least
  • 1 / 2 log2n (1 − Ö(1)) and almost all graphs do not have a clique or independent set of size larger than 2 log2n (1 + Ö(1)) . [32]
  • From a mathematical analysis of the Gilbert–Shannon–Reeds model of random shuffles, one can show that the number of times one needs to shuffle an n -card deck of cards, using riffle shuffles, to get a distribution on permutations that is close to uniformly random, is approximately
  • 3 / 2 log2n . This calculation forms the basis for a recommendation that 52-card decks should be shuffled seven times. [33]

Computational complexity Edit

The binary logarithm also frequently appears in the analysis of algorithms, [19] not only because of the frequent use of binary number arithmetic in algorithms, but also because binary logarithms occur in the analysis of algorithms based on two-way branching. [14] If a problem initially has n choices for its solution, and each iteration of the algorithm reduces the number of choices by a factor of two, then the number of iterations needed to select a single choice is again the integral part of log2 n . This idea is used in the analysis of several algorithms and data structures. For example, in binary search, the size of the problem to be solved is halved with each iteration, and therefore roughly log2 n iterations are needed to obtain a solution for a problem of size n . [34] Similarly, a perfectly balanced binary search tree containing n elements has height log2(n + 1) − 1 . [35]

The running time of an algorithm is usually expressed in big O notation, which is used to simplify expressions by omitting their constant factors and lower-order terms. Because logarithms in different bases differ from each other only by a constant factor, algorithms that run in Ö(kayıt2 n) time can also be said to run in, say, Ö(kayıt13 n) time. The base of the logarithm in expressions such as Ö(kayıt n) veya Ö(n log n) is therefore not important and can be omitted. [11] [36] However, for logarithms that appear in the exponent of a time bound, the base of the logarithm cannot be omitted. Örneğin, Ö(2 log2 n ) is not the same as Ö(2 ln n ) because the former is equal to Ö(n) and the latter to Ö(n 0.6931. ) .

Algorithms with running time Ö(n log n) are sometimes called linearithmic. [37] Some examples of algorithms with running time Ö(kayıt n) veya Ö(n log n) are:

Binary logarithms also occur in the exponents of the time bounds for some divide and conquer algorithms, such as the Karatsuba algorithm for multiplying n -bit numbers in time Ö(n log2 3 ) , [42] and the Strassen algorithm for multiplying n × n matrices in time Ö(n log2 7 ) . [43] The occurrence of binary logarithms in these running times can be explained by reference to the master theorem for divide-and-conquer recurrences.

Bioinformatics Edit

In bioinformatics, microarrays are used to measure how strongly different genes are expressed in a sample of biological material. Different rates of expression of a gene are often compared by using the binary logarithm of the ratio of expression rates: the log ratio of two expression rates is defined as the binary logarithm of the ratio of the two rates. Binary logarithms allow for a convenient comparison of expression rates: a doubled expression rate can be described by a log ratio of 1 , a halved expression rate can be described by a log ratio of −1 , and an unchanged expression rate can be described by a log ratio of zero, for instance. [44]

Data points obtained in this way are often visualized as a scatterplot in which one or both of the coordinate axes are binary logarithms of intensity ratios, or in visualizations such as the MA plot and RA plot that rotate and scale these log ratio scatterplots. [45]

Music theory Edit

In music theory, the interval or perceptual difference between two tones is determined by the ratio of their frequencies. Intervals coming from rational number ratios with small numerators and denominators are perceived as particularly euphonious. The simplest and most important of these intervals is the octave, a frequency ratio of 2:1 . The number of octaves by which two tones differ is the binary logarithm of their frequency ratio. [46]

To study tuning systems and other aspects of music theory that require finer distinctions between tones, it is helpful to have a measure of the size of an interval that is finer than an octave and is additive (as logarithms are) rather than multiplicative (as frequency ratios are). That is, if tones x , y , and z form a rising sequence of tones, then the measure of the interval from x to y plus the measure of the interval from y to z should equal the measure of the interval from x to z . Such a measure is given by the cent, which divides the octave into 1200 equal intervals ( 12 semitones of 100 cents each). Mathematically, given tones with frequencies F1 ve F2 , the number of cents in the interval from F1 ile F2 is [46]

The millioctave is defined in the same way, but with a multiplier of 1000 instead of 1200 . [47]

Sports scheduling Edit

In competitive games and sports involving two players or teams in each game or match, the binary logarithm indicates the number of rounds necessary in a single-elimination tournament required to determine a winner. For example, a tournament of 4 players requires log2 4 = 2 rounds to determine the winner, a tournament of 32 teams requires log2 32 = 5 rounds, etc. In this case, for n players/teams where n is not a power of 2, log2 n is rounded up since it is necessary to have at least one round in which not all remaining competitors play. For example, log2 6 is approximately 2.585 , which rounds up to 3 , indicating that a tournament of 6 teams requires 3 rounds (either two teams sit out the first round, or one team sits out the second round). The same number of rounds is also necessary to determine a clear winner in a Swiss-system tournament. [48]

Photography Edit

In photography, exposure values are measured in terms of the binary logarithm of the amount of light reaching the film or sensor, in accordance with the Weber–Fechner law describing a logarithmic response of the human visual system to light. A single stop of exposure is one unit on a base- 2 logarithmic scale. [49] [50] More precisely, the exposure value of a photograph is defined as

where N is the f-number measuring the aperture of the lens during the exposure, and t is the number of seconds of exposure. [51]

Binary logarithms (expressed as stops) are also used in densitometry, to express the dynamic range of light-sensitive materials or digital sensors. [52]


Videoyu izle: Üstel Fonksiyonlarlogaritma#ustelfonksiyon#logaritma#yks2020#matematik (Ekim 2021).