Nesne

18.3: Kareyi Tamamlayarak İkinci Dereceden Denklemleri Çözün - Matematik


Öğrenme hedefleri

Bu bölümün sonunda şunları yapabileceksiniz:

  • İki terimli bir ifadenin karesini tamamlayın
  • Kareyi tamamlayarak (x^{2}+bx+c=0) biçimindeki ikinci dereceden denklemleri çözün
  • Kareyi tamamlayarak (ax^{2}+bx+c=0) biçimindeki ikinci dereceden denklemleri çözün

Başlamadan önce, bu hazırlık testini yapın.

  1. Genişlet: ((x+9)^{2}).
    Bu sorunu kaçırdıysanız, Örnek 5.32'yi inceleyin.
  2. Faktör (y^{2}-14 y+49).
    Bu sorunu kaçırdıysanız, Örnek 6.9'u inceleyin.
  3. Faktör (5 n^{2}+40 n+80).
    Bu sorunu kaçırdıysanız, Örnek 6.14'ü inceleyin.

Şimdiye kadar ikinci dereceden denklemleri çarpanlarına ayırarak ve Kare Kök Özelliğini kullanarak çözdük. Bu bölümde, ikinci dereceden denklemleri adı verilen bir işlemle çözeceğiz. kareyi tamamlamak, daha sonra konikler üzerindeki çalışmalarımız için önemli olan.

Binom İfadesinin Karesini Tamamlayın

Son bölümde, sol taraf tam kare olduğundan ((y-7)^{2}=12) denklemini çözmek için Kare Kök Özelliğini kullanabildik.

Ayrıca, sol tarafın bir tam kare üç terimli olduğu bir denklemi de çözdük, ancak Kare Kök Özelliğini kullanmak için onu ((x−k)^{2}) biçiminde yeniden yazmamız gerekiyordu.

Değişken tam karenin parçası değilse ne olur? Tam kare yapmak için cebir kullanabilir miyiz?

Kalıpları tanımamıza yardımcı olacak iki örneğe bakalım.

Referans için burada kalıpları yeniden ifade ediyoruz.

Tanım (PageIndex{1}): Binom Kareler Modeli

(a) ve (b) reel sayılar ise,

Bu kalıbı mükemmel bir kare "yapmak" için kullanabiliriz.

(x^{2}+6 x) ifadesiyle başlayacağız. İki terim arasında bir artı işareti olduğundan, ((a+b)^{2}) modelini kullanacağız, (a^{2}+2 a b+b^{2}=(a) +b)^{2}).

Sonunda, bu üç terimin onu tam kare üç terimli yapacak son terimini bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için (b) bulmamız gerekecek. Ama önce (a)'yı belirleyerek başlayalım. (x^{2}+6x) öğesinin ilk teriminin bir kare, (x^{2}) olduğuna dikkat edin. Bu bize (a=x) olduğunu söyler.

Hangi sayı, (b), (2x) ile çarpıldığında (6x) verir mi? (3) olması gerekir, bu da (frac{1}{2}(6)). Yani (b=3).

Şimdi, tam kare üç terimliyi tamamlamak için, son terimi (3^{2}=9) olan (b)'nin karesini alarak bulacağız.

Artık faktör yapabiliriz.

Böylece, (x^{2}+6 x) 'ye (9) eklemenin 'kareyi tamamladığını' bulduk ve onu ((x+3)^{2}) olarak yazdık.

Nasıl Yapılır: (x^{2}+bx) Karesini Tamamlayın

  1. (b), (x) katsayısını belirleyin.
  2. Kareyi tamamlamak için sayı (left(frac{1}{2} b ight)^{2}) bulun.
  3. (left(frac{1}{2} b ight)^{2}) öğesini (x^{2}+bx) öğesine ekleyin.
  4. Üç terimli tam kareyi çarpanlarına ayırıp binom karesi olarak yazın.

Örnek (PageIndex{1})

Bir tam kare üç terimli yapmak için kareyi tamamlayın. Sonra sonucu binom karesi olarak yazın.

  1. (x^{2}-26 x)
  2. (y^{2}-9 y)
  3. (n^{2}+frac{1}{2} n)

Çözüm:

a.

(x) katsayısı -26'dır.

(left(frac{1}{2} bsağ)^{2}) bulun.

(sol(frac{1}{2} cdot(-26)sağ)^{2})
((13)^{2})
169

Kareyi tamamlamak için iki terimliye (169) ekleyin.

(x^{2}-26 x+169)

Üç terimli tam kareyi çarpanlarına ayırıp binom karesi olarak yazın.

((x-13)^{2})

B.

(y) katsayısı (-9).

(left(frac{1}{2} bsağ)^{2}) bulun.

(sol(frac{1}{2} cdot(-9)sağ)^{2})
(sol(-frac{9}{2}sağ)^{2})
(frac{81}{4})

Kareyi tamamlamak için iki terimliye (frac{81}{4}) ekleyin.

(y^{2}-9 y+frac{81}{4})

Üç terimli tam kareyi çarpanlarına ayırıp binom karesi olarak yazın.

(left(y-frac{9}{2}sağ)^{2})

C.

(n) katsayısı (frac{1}{2}).

(left(frac{1}{2} bsağ)^{2}) bulun.

(left(frac{1}{2} cdot frac{1}{2}sağ)^{2})
(sol(frac{1}{4}sağ)^{2})
(frac{1}{16})

Kareyi tamamlamak için iki terimliye (frac{1}{16}) ekleyin.(n^{2}+frac{1}{2} n+frac{1}{16})
Binom kare olarak yeniden yazın.(left(n+frac{1}{4}sağ)^{2})

Alıştırma (PageIndex{1})

Bir tam kare üç terimli yapmak için kareyi tamamlayın. Sonra sonucu binom karesi olarak yazın.

  1. (a^{2}-20 a)
  2. (m^{2}-5 m)
  3. (p^{2}+frac{1}{4} p)
Cevap
  1. ((a-10)^{2})
  2. (left(b-frac{5}{2}sağ)^{2})
  3. (left(p+frac{1}{8}sağ)^{2})

Alıştırma (PageIndex{2})

Bir tam kare üç terimli yapmak için kareyi tamamlayın. Sonra sonucu binom karesi olarak yazın.

  1. (b^{2}-4 b)
  2. (n^{2}+13 n)
  3. (q^{2}-frac{2}{3} q)
Cevap
  1. ((b-2)^{2})
  2. (left(n+frac{13}{2}sağ)^{2})
  3. (left(q-frac{1}{3}sağ)^{2})

(x^{2}+bx+c=0) Formunun İkinci Dereceden Denklemlerini Kareyi Tamamlayarak Çözün

Denklemleri çözerken, denklemin her iki tarafına da her zaman aynı şeyi yapmalıyız. Bu, elbette, bir sorunu çözdüğümüzde doğrudur. ikinci dereceden denklem tarafından kareyi tamamlamak fazla. Bir tam kare üç terimli yapmak için denklemin bir tarafına bir terim eklediğimizde, aynı terimi denklemin diğer tarafına da eklemeliyiz.

Örneğin, (x^{2}+6x=40) denklemiyle başlarsak ve soldaki kareyi tamamlamak istersek, denklemin her iki tarafına da 9 ekleyeceğiz.

Şimdi denklem, kullanılarak çözülecek biçimdedir. Kare Kök Özellik! Kareyi tamamlamak, bir denklemi Kare Kök Özelliğini kullanabilmemiz için ihtiyaç duyduğumuz forma dönüştürmenin bir yoludur.

Örnek (PageIndex{2}) (x^{2}+bx+x=0) Formunun İkinci Dereceden Bir Denklemini Kareyi Tamamlayarak Çözme

Kareyi tamamlayarak çözün: (x^{2}+8x=48).

Çözüm:

Aşama 1: Değişken terimleri bir tarafta, sabit terimleri diğer tarafta ayırın.Bu denklem soldaki tüm değişkenlere sahiptir.(egin{array}{l}{color{red}{x^{2}+bxquad::: c }} {x^{2}+8 x=48} bitiş{dizi})
Adım 2: Kareyi tamamlayacak sayıyı (left(frac{1}{2} cdot b ight)^{2}) bulun. Denklemin her iki tarafına da ekleyin.

(8)'in yarısını alın ve karesini alın.

(4^{2}=16)

Denklemin HER İKİ tarafına (16) ekleyin.

(x^{2}+8 x+frac{}{color{red}{left(frac{1}{2} cdot 8 ight)^{2}}}color{siyah}{ =}48 )

(x^{2}+8 xcolor{red}{+16}color{siyah}{=}48color{red}{+16})

Aşama 3: Mükemmel kare üç terimliyi bir binom karesi olarak çarpanlarına ayırın.

(x^{2}+8 x+16=(x+4)^{2})

Sağdaki terimleri ekleyin.

((x+4)^{2}=64)
4. Adım: Kare Kök Özelliğini kullanın.(x+4=pm sqrt{64})
Adım 5: Kökü sadeleştirin ve ardından elde edilen iki denklemi çözün.

(x+4=pm 8)

6. Adım: Çözümleri kontrol edin.Her cevabı kontrol etmek için orijinal denkleme koyun. (x=4) ve (x=-12) yerine koyun.

(egin{array}{r}{x^{2}+8 x=48} {(color{red}{4}color{black}{)}^{2}+8( color{red}{4}color{black}{)} stackrel{?}{=} 48} {16+32stackrel{?}{=}48} {48=48}end {dizi})

Alıştırma (PageIndex{3})

Kareyi tamamlayarak çözün: (x^{2}+4 x=5).

Cevap

(x=-5, x=-1)

Alıştırma (PageIndex{4})

Kareyi tamamlayarak çözün: (y^{2}−10y=−9).

Cevap

(y=1, y=9)

İkinci dereceden bir denklemi kareyi tamamlayarak çözme adımları burada listelenmiştir.

Kareyi Tamamlayarak (x^{2}+bx+c=0) Formunun İkinci Dereceden Bir Denklemini Çözün

  1. Değişken terimleri bir tarafta, sabit terimleri diğer tarafta izole edin.
  2. Kareyi tamamlamak için gereken sayıyı (left(frac{1}{2} cdot b ight)^{2}) bulun. Denklemin her iki tarafına da ekleyin.
  3. Tam kare üç terimliyi çarpanlara ayırın, sola binom kare şeklinde yazın ve sağdaki terimleri ekleyerek sadeleştirin
  4. Kare Kök Özelliğini kullanın.
  5. Kökü basitleştirin ve ardından ortaya çıkan iki denklemi çözün.
  6. Çözümleri kontrol edin.

Bir denklemi kareyi tamamlayarak çözdüğümüzde, cevaplar her zaman tamsayı olmayacaktır.

Örnek (PageIndex{3})

Kareyi tamamlayarak çözün: (x^{2}+4 x=-21).

Çözüm:

Değişken terimler sol taraftadır.

(4)'ün yarısını alın ve karesini alın.

(left(frac{1}{2}(4)sağ)^{2}=4)
Her iki tarafa da (4) ekleyin.
Üç terimli tam kareyi çarpanlarına ayırıp binom karesi olarak yazın.
Kare Kök Özelliğini kullanın.
Karmaşık sayıları kullanarak basitleştirme.
Her taraftan (2) çıkarın.
İki çözüm göstermek için yeniden yazın.
Çeki size bırakıyoruz.

Alıştırma (PageIndex{5})

Kareyi tamamlayarak çözün: (y^{2}-10 y=-35).

Cevap

(y=5+sqrt{15} ben, y=5-sqrt{15 ben})

Alıştırma (PageIndex{6})

Kareyi tamamlayarak çözün: (z^{2}+8 z=-19).

Cevap

(z=-4+sqrt{3} ben, z=-4-sqrt{3} ben)

Önceki örnekte, çözümlerimiz karmaşık sayılardı. Bir sonraki örnekte, çözümler irrasyonel sayılar olacaktır.

Örnek (PageIndex{4})

Kareyi tamamlayarak çözün: (y^{2}-18 y=-6).

Çözüm:

Değişken terimler sol taraftadır. (-18)'in yarısını alın ve karesini alın.
(left(frac{1}{2}(-18)sağ)^{2}=81)
Her iki tarafa da (81) ekleyin.
Üç terimli tam kareyi çarpanlarına ayırıp binom karesi olarak yazın.
Kare Kök Özelliğini kullanın.
Radikal'i basitleştirin.
(y) için çözün.

Kontrol etmek.

Bunu kontrol etmenin başka bir yolu da hesap makinesi kullanmaktır. Her iki çözüm için de (y^{2}−18y) değerini değerlendirin. Cevap (−6) olmalıdır.

Alıştırma (PageIndex{7})

Kareyi tamamlayarak çözün: (x^{2}-16 x=-16).

Cevap

(x=8+4 sqrt{3}, x=8-4 sqrt{3})

Alıştırma (PageIndex{8})

Kareyi tamamlayarak çözün: (y^{2}+8 y=11).

Cevap

(y=-4+3 sqrt{3}, y=-4-3 sqrt{3})

Bir sonraki örneğe, denklemin sol tarafındaki değişken terimleri izole ederek başlayacağız.

Alıştırma (PageIndex{9})

Kareyi tamamlayarak çözün: (a^{2}+4 a+9=30).

Cevap

(a=-7, a=3)

Alıştırma (PageIndex{10})

Kareyi tamamlayarak çözün: (b^{2}+8 b-4=16).

Cevap

(b=-10, b=2)

Bir sonraki denklemi çözmek için önce denklemin sol tarafındaki tüm değişken terimleri toplamalıyız. Daha sonra önceki örneklerde yaptığımız gibi ilerleyeceğiz.

Örnek (PageIndex{6})

Kareyi tamamlayarak çözün: (n^{2}=3 n+11).

Çözüm:

Sol taraftaki değişken terimleri almak için (3n) çıkarın.
(-3)'ün yarısını alın ve karesini alın.
(left(frac{1}{2}(-3)sağ)^{2}=frac{9}{4})
Her iki tarafa da (frac{9}{4}) ekleyin.
Üç terimli tam kareyi çarpanlarına ayırıp binom karesi olarak yazın.
Sağ taraftaki kesirleri ekleyin.
Kare Kök Özelliğini kullanın.
Radikal'i basitleştirin.
(n) için çözün.
İki çözüm göstermek için yeniden yazın.

Kontrol etmek:

Çeki size bırakıyoruz!

Alıştırma (PageIndex{11})

Kareyi tamamlayarak çözün: (p^{2}=5 p+9).

Cevap

(p=frac{5}{2}+frac{sqrt{61}}{2}, p=frac{5}{2}-frac{sqrt{61}}{2} )

Alıştırma (PageIndex{12})

Kareyi tamamlayarak çözün: (q^{2}=7 q-3).

Cevap

(q=frac{7}{2}+frac{sqrt{37}}{2}, q=frac{7}{2}-frac{sqrt{37}}{2} )

Bir sonraki denklemin sol tarafının çarpanlara ayrılmış biçimde olduğuna dikkat edin. Ama sağ taraf sıfır değil. Yani, kullanamayız Sıfır Ürün Özelliği "Eğer (a⋅b=0), o zaman (a=0) veya (b=0)" dediği için. Bunun yerine, çarpanları çarparız ve sonra denklemi kareyi tamamlayarak çözmek için standart forma koyarız.

Örnek (PageIndex{7})

Kareyi tamamlayarak çözün: ((x-3)(x+5)=9).

Çözüm:

Soldaki binomları çarpıyoruz.
Sağdaki sabit terimleri izole etmek için (15) ekleyin.
(2)'nin yarısını alın ve karesini alın.
(sol(frac{1}{2} cdot(2)sağ)^{2}=1)
Her iki tarafa da (1) ekleyin.
Üç terimli tam kareyi çarpanlarına ayırıp binom karesi olarak yazın.
Kare Kök Özelliğini kullanın.
(x) için çözün.
İki çözüm göstermek için yeniden yazın.
Basitleştirin.

Kontrol etmek:

Çeki size bırakıyoruz!

Alıştırma (PageIndex{13})

Kareyi tamamlayarak çözün: ((c-2)(c+8)=11).

Cevap

(c=-9, c=3)

Alıştırma (PageIndex{14})

Kareyi tamamlayarak çözün: ((d-7)(d+3)=56).

Cevap

(d=11, d=-7)

(ax^{2}+bx+c=0) Formunun İkinci Dereceden Denklemlerini Kareyi Tamamlayarak Çözün

Süreci kareyi tamamlamak (x^{2}) katsayısı (1) olduğunda en iyi sonucu verir, bu nedenle denklemin sol tarafı (x^{2}+bx+c) biçimindedir. (x^{2}) teriminin (1) dışında bir katsayısı varsa, katsayıyı (1)'e eşitlemek için bazı ön adımlar atarız.

Bazen katsayı, üç terimlinin üç teriminden de çarpanlara ayrılabilir. Bir sonraki örnekte stratejimiz bu olacak.

Alıştırma (PageIndex{15})

Kareyi tamamlayarak çözün: (2 m^{2}+16 m+14=0).

Cevap

(m=-7, m=-1)

Alıştırma (PageIndex{16})

Kareyi tamamlayarak çözün: (4 n^{2}-24 n-56=8).

Cevap

(n=-2, n=8)

Kareyi tamamlamak için (x^{2}) katsayısının (1) olması gerekir. Ne zaman lider katsayı tüm terimlerin bir çarpanı değil, denklemin her iki tarafını da baş katsayıya böleceğiz! Bu bize ikinci katsayı için bir kesir verecektir. Bu bölümde kesirlerle karenin nasıl tamamlanacağını zaten gördük.

Örnek (PageIndex{9})

Kareyi tamamlayarak çözün: (2 x^{2}-3 x=20).

Çözüm:

Kareyi tamamlamak için (x^{2}) katsayısının bir olması gerekir. Denklemin her iki tarafını da (x^{2}) katsayısına böleceğiz. Daha sonra kareyi tamamlayarak denklemi çözmeye devam edebiliriz.

(x^{2}) katsayısının (1) olmasını sağlamak için her iki tarafı da (2)'ye bölün.
Basitleştirin.
(-frac{3}{2})'nin yarısını alın ve karesini alın.
(left(frac{1}{2}left(-frac{3}{2}sağ)sağ)^{2}=frac{9}{16})
Her iki tarafa da (frac{9}{16}) ekleyin.
Üç terimli tam kareyi çarpanlarına ayırıp binom karesi olarak yazın.
Sağ taraftaki kesirleri ekleyin.
Kare Kök Özelliğini kullanın.
Radikal'i basitleştirin.
(x) için çözün.
İki çözüm göstermek için yeniden yazın.
Basitleştirin.

Kontrol etmek:

Çeki size bırakıyoruz!

Alıştırma (PageIndex{17})

Kareyi tamamlayarak çözün: (3 r^{2}-2 r=21).

Cevap

(r=-frac{7}{3}, r=3)

Alıştırma (PageIndex{18})

Kareyi tamamlayarak çözün: (4 t^{2}+2 t=20).

Cevap

(t=-frac{5}{2}, t=2)

Kareyi tamamlamamız için (x^{2}) katsayısının (1) olması gerektiğini gördüğümüze göre, bir ikinci dereceden denklem (a x^{2}+b x+c=0) biçimindeki denklemleri dahil etmek için kareyi tamamlayarak.

Nasıl Yapılır: (a x^{2}+b x+c=0) Formunun İkinci Dereceden Bir Denklemini Kareyi Tamamlayarak Çözme

  1. (x^{2}) teriminin katsayısını (1) yapmak için aa'ya bölün.
  2. Değişken terimleri bir tarafta, sabit terimleri diğer tarafta izole edin.
  3. Kareyi tamamlamak için gereken sayıyı (left(frac{1}{2} cdot b ight)^{2}) bulun. Denklemin her iki tarafına da ekleyin.
  4. Tam kare üç terimliyi çarpanlara ayırın, sola binom kare şeklinde yazın ve sağdaki terimleri ekleyerek sadeleştirin
  5. Kare Kök Özelliğini kullanın.
  6. Kökü basitleştirin ve ardından ortaya çıkan iki denklemi çözün.
  7. Çözümleri kontrol edin.

Örnek (PageIndex{10})

Kareyi tamamlayarak çözün: (3 x^{2}+2 x=4).

Çözüm:

Yine ilk adımımız (x^{2}) katsayısını bir yapmak olacak. Denklemin her iki tarafını (x^{2}) katsayısına bölerek, kareyi tamamlayarak denklemi çözmeye devam edebiliriz.

(x^{2}) katsayısını (1) eşitlemek için her iki tarafı da (3) ile bölün.
Basitleştirin.
(frac{2}{3})'nin yarısını alın ve karesini alın.
(left(frac{1}{2} cdot frac{2}{3}sağ)^{2}=frac{1}{9})
Her iki tarafa da (frac{1}{9}) ekleyin.
Üç terimli tam kareyi çarpanlarına ayırıp binom karesi olarak yazın.
Kare Kök Özelliğini kullanın.
Radikal'i basitleştirin.
(x) için çözün.
İki çözüm göstermek için yeniden yazın.

Kontrol etmek:

Çeki size bırakıyoruz!

Alıştırma (PageIndex{19})

Kareyi tamamlayarak çözün: (4 x^{2}+3 x=2).

Cevap

(x=-frac{3}{8}+frac{sqrt{41}}{8}, x=-frac{3}{8}-frac{sqrt{41}}{8 })

Alıştırma (PageIndex{20})

Kareyi tamamlayarak çözün: (3 y^{2}-10 y=-5).

Cevap

(y=frac{5}{3}+frac{sqrt{10}}{3}, y=frac{5}{3}-frac{sqrt{10}}{3} )

Kareyi tamamlayarak ek talimat ve alıştırma için bu çevrimiçi kaynaklara erişin.

  • Mükemmel Kare Trinomları Tamamlama
  • Kare 1'i Tamamlamak
  • İkinci Dereceden Denklemleri Çözmek için Kareyi Tamamlama
  • İkinci Dereceden Denklemleri Çözmek İçin Kareyi Tamamlama: Daha Fazla Örnek
  • Kare 4'ü Tamamlamak

Anahtar kavramlar

  • Binom Kareler Deseni
    (a) ve (b) reel sayılar ise,
  • Bir Kare Nasıl Tamamlanır
    1. (b), (x) katsayısını belirleyin.
    2. Kareyi tamamlamak için sayı (left(frac{1}{2} b ight)^{2}) bulun.
    3. (left(frac{1}{2} b ight)^{2}) öğesini (x^{2}+bx) öğesine ekleyin
    4. Üç terimliyi binom karesi olarak yeniden yazın
  • Formun ikinci dereceden bir denklemi nasıl çözülür (a x^{2}+b x+c=0) kareyi tamamlayarak.
    1. (x^{2})'nin katsayısını (1) yapmak için (a)'ya bölün.
    2. Değişken terimleri bir tarafta, sabit terimleri diğer tarafta izole edin.
    3. Kareyi tamamlamak için gereken sayıyı (left(frac{1}{2} cdot b ight)^{2}) bulun. Denklemin her iki tarafına da ekleyin.
    4. Tam kare üç terimliyi çarpanlara ayırıp, sol tarafa binom kare şeklinde yazarak ve sağdaki terimleri ekleyerek sadeleştirelim.
    5. Kare Kök Özelliğini kullanın.
    6. Kökü basitleştirin ve ardından ortaya çıkan iki denklemi çözün.
    7. Çözümleri kontrol edin.

Kareyi Tamamlayarak İkinci Dereceden Denklemleri Çözün: Örnekler



Cebir ve 9. Sınıf öğrencilerinin kareyi tamamlayarak ikinci dereceden denklemleri çözmeyi öğrenmelerine yardımcı olacak videolar, çalışma sayfaları, çözümler ve etkinlikler.

Meydanı Tamamlamak
x kare katsayısının bire eşit veya birden büyük olduğu ikinci dereceden bir denklemin karesi nasıl tamamlanır?
Adım 1. İkinci dereceden forma yazın
balta 2 + bx + ____ = c + ____

Adım 2. Eğer a &ne 1 ise, denklemlerin her iki tarafını da a ile bölün.

Adım 3. Denklemin her iki tarafına da (b/2) 2 ekleyin

Adım 4. Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırın. Bir tam kare üç terimli olmalıdır. Bunu bir binom karesi olarak yazın.

Adım 5. Denklemin her iki tarafının karekökünü alın ve x için çözün.

Çeşitli matematik konularını uygulamak için aşağıdaki ücretsiz Mathway hesap makinesini ve problem çözücüyü deneyin. Verilen örnekleri deneyin veya kendi probleminizi yazın ve adım adım açıklamalarla cevabınızı kontrol edin.

Bu site veya sayfayla ilgili geri bildirimlerinizi, yorumlarınızı ve sorularınızı bekliyoruz. Lütfen geri bildiriminizi veya sorularınızı Geri Bildirim sayfamız aracılığıyla gönderin.


Adım 4 :

Teori - Bir ürünün kökleri:

4.1 Birkaç terimin çarpımı sıfıra eşittir.

İki veya daha fazla terimin çarpımı sıfıra eşit olduğunda, terimlerden en az biri sıfır olmalıdır.

Şimdi her terimi = 0'ı ayrı ayrı çözeceğiz

Başka bir deyişle, üründe ne kadar terim varsa o kadar denklem çözeceğiz.

Terim = 0'ın herhangi bir çözümü, ürün = 0'ı da çözer.

Asla doğru olmayan denklemler:

Bu denklemin çözümü yoktur.
Sıfır olmayan bir sabit asla sıfıra eşit değildir.

Tek Değişkenli Bir Denklem Çözme :

Denklemin her iki tarafından 6 çıkarın:
x = -6

Tek Değişkenli Bir Denklem Çözme :

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin:
x = 1

Ek : İkinci Dereceden Denklemi Doğrudan Çözme

Daha önce bu polinomu orta terimi bölerek çarpanlarına ayırmıştık. şimdi denklemi Kareyi Tamamlayarak ve İkinci Dereceden Formülü kullanarak çözelim

Parabol, Köşeyi Bulma:

5.1 y = x 2 +5x-6'nın Tepe Noktasını Bulun

Paraboller, Vertex adı verilen en yüksek veya en düşük noktaya sahiptir. Parabolümüz açılır ve buna göre en düşük noktaya sahiptir (AKA mutlak minimum). Bunu "y"yi çizmeden önce bile biliyoruz çünkü ilk terimin katsayısı 1 , pozitiftir (sıfırdan büyük).

Her parabol, tepe noktasından geçen dikey bir simetri çizgisine sahiptir. Bu simetri nedeniyle, simetri doğrusu, örneğin, parabolün iki x-kesişiminin (kökler veya çözümler) orta noktasından geçecektir. Yani, eğer parabolün gerçekten iki gerçek çözümü varsa.

Paraboller, belirli bir süre sonra yukarı fırlatılan bir nesnenin yerden yüksekliği gibi birçok gerçek yaşam durumunu modelleyebilir. Parabolün tepe noktası bize yukarıya doğru atılan cismin ulaşabileceği maksimum yükseklik gibi bilgiler sağlayabilir. Bu nedenle köşenin koordinatlarını bulabilmek istiyoruz.

Herhangi bir parabol, Ax 2 +Bx+C için, tepe noktasının x koordinatı -B/(2A) ile verilir. Bizim durumumuzda x koordinatı -2.5000

x için -2.5000 parabol formülünü takarak y -koordinatını hesaplayabiliriz:
y = 1.0 * -2.50 * -2.50 + 5.0 * -2.50 - 6.0
veya y = -12.250

Parabol, Grafik Vertex ve X-Kesme Noktaları:

Kök arsa : y = x 2 +5x-6
Simetri Ekseni (kesikli) = <-2.50>
tepe noktası = <-2.50,-12.25>
x -Kesmeler (Kökler):
Kök 1 = <-6.00, 0.00>
Kök 2'de =

Kareyi Tamamlayarak İkinci Dereceden Denklemi Çözün

5.2 Kareyi Tamamlayarak x 2 +5x-6 = 0'ı Çözme .

Denklemin her iki tarafına da 6 ekleyin:
x 2 +5x = 6

Şimdi akıllıca bit: 5 olan x katsayısını alın, ikiye bölün, 5/2 verin ve son olarak 25/4 vererek karesini alın

Denklemin her iki tarafına 25/4 ekleyin:
Sağ tarafta biz var:
6 + 25/4 veya, (6/1)+(25/4)
İki kesrin ortak paydası 4'tür (24/4)+(25/4) toplama 49/4 verir
Böylece her iki tarafa da ekleyerek sonunda şunu elde ederiz:
x 2 +5x+(25/4) = 49/4

25/4 eklemek, sol tarafı tam kare haline getirdi:
x 2 +5x+(25/4) =
(x+(5/2)) • (x+(5/2)) =
(x+(5/2)) 2
Aynı şeye eşit olan şeyler de birbirine eşittir. O zamandan beri
x 2 +5x+(25/4) = 49/4 ve
x 2 +5x+(25/4) = (x+(5/2)) 2
o zaman, geçişlilik yasasına göre,
(x+(5/2)) 2 = 49/4

Bu Denklemi Denklem olarak adlandıracağız. #5.2.1

Karekök İlkesi, iki şey eşit olduğunda kareköklerinin eşit olduğunu söyler.

karekök olduğuna dikkat edin
(x+(5/2)) 2
(x+(5/2)) 2/2 =
(x+(5/2)) 1 =
x+(5/2)

Şimdi, Karekök İlkesini Denklem'e uygulayarak. #5.2.1 elde ederiz:
x+(5/2) = √ 49/4

Aşağıdakileri elde etmek için her iki taraftan 5/2 çıkarın:
x = -5/2 + √ 49/4

Bir karekökün biri pozitif diğeri negatif olmak üzere iki değeri olduğundan
x 2 + 5x - 6 = 0
iki çözümü vardır:
x = -5/2 + √ 49/4
veya
x = -5/2 - √ 49/4

√ 49/4'ün şu şekilde yazılabileceğine dikkat edin:
√ 49 / √ 4 olan 7 / 2

İkinci Dereceden Denklemi Kuadratik Formülü Kullanarak Çözün

5.3 İkinci Dereceden Formül ile x 2 +5x-6 = 0'ı Çözme .

İkinci Dereceden Formüle göre, x , Ax 2 +Bx+C = 0 için çözüm, burada A, B ve C sayılardır ve genellikle katsayılar olarak adlandırılır:

- B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A


18.3: Her Türlü Kuadratiği Çözme (15 dakika)

Aktivite

Bu sıralı oyun etkinliğinde öğrenciler, farklı formlarda verilen eşdeğer ikinci dereceden denklemleri çözer ve sonuçlarını karşılaştırır. Bir satır oyununun yapısı, öğrencilere uygulanabilir argümanlar oluşturma ve başkalarının akıl yürütmelerini eleştirme fırsatı verir (MP3).

Bir ortağın ikinci dereceden formül kullandığı, diğerinin ise tartışma sırasında paylaşmak üzere belirli bir satır için farklı bir yöntem kullandığı grupları arayın. Çözümlerinin yüzeysel olarak farklı göründüğü için ortakların aynı fikirde olmadığı grupları da arayın, örneğin bir ortak (x=2pm frac><2>) alırken diğer ortak (x= alırsa) 2 pm sqrt<8>) ilk soru için.

Öğle yemeği

Bir öğrenciyi ortak A, diğerini ortak B olarak atayarak öğrencileri 2 kişilik gruplar halinde düzenleyin. Öğrencilere iki problem sütunu olacağını ve sadece kendi sütunlarındaki problemleri yapacaklarını açıklayın. Öğrencileri her soruda partnerlerinden farklı bir yöntem kullanmaya teşvik edin ve çözümlerin eşdeğer olduğunu doğrulayın.

Her satır için siz ve eşiniz ikinci dereceden bir denklem çözeceksiniz. Her biriniz aynı cevabı almalısınız. Anlaşmazsanız, anlaşmaya varmak için çalışın.

ortak A B ortağı
(x^2 - 4x - 4 = 0 ) ((x - 2)^2 = 8)
((y - 2)^2 = ext- 8) (y^2 - 4y + 12 = 0 )
((z + frac32)^2 = ext- frac<29><4>) (2z^2 + 6z = ext- 19)
(w^2 + 3w = 5) ((w + frac32)^2 = frac<29><4>)
(4t^2-20t+25=0) (4(t^2-5t)= ext-25)

Öğrenci Yanıtı

Geçerli bir iş e-posta adresi olan öğretmenler, Öğrenci Yanıtına ücretsiz erişim için kaydolmak veya oturum açmak için burayı tıklayabilir.

Beklenen Kavram Yanılgıları

Öğrenciler, negatif sayıların kareköklerini tanımlamak için hala hayali sayıları kullanmakta zorlanıyorsa, örneğin (sqrt< ext-8>) şunu sormayı düşünün:

  • "-1 yapmak için hangi sayıların karesi?" ( (pm ben) )
  • “8 yapmak için hangi sayıların karesi?” ( (pm sqrt<8>) )
  • "O halde -8 yapmak için hangi sayıların karesi alınır?" ( (pm isqrt<8>) ) Daha sonra öğrencilere, geleneksel olarak, (sqrt< ext-8>) ifadesinin -8 yapmak için kareleri alan pozitif sanal eksen üzerindeki sayıya karşılık geldiğini hatırlatın, yani (sqrt< ext-8>=isqrt<8>) .

Aktivite Sentezi

Denklemlerini nasıl çözdüklerini paylaşmak için önceden tanımlanmış öğrencileri seçin ve çalışmalarını herkesin görmesi için görüntüleyin. Öğrencilerin, farklı görünen çözümlerin gerçekte neden eşit olduğunu açıklamasını sağlayın. Öğrencilere “İki denklemle aynı olan nedir? Ne farklı?" (Denklemlerden biri zaten bir tam kare içerirken, diğeri çözümleri bulmak için ikinci dereceden formülü veya kareyi tamamlamayı kullanır. İkinci dereceden formülü kullanmak aynı çözümü verir, ancak çoğu zaman çözümlerin yüzeysel olarak farklı görünmesine neden olur.)


Kareyi Tamamlayarak İkinci Dereceden Denklemleri Çözün

  • İki terimli bir ifadenin karesini tamamlayın
  • Formun ikinci dereceden denklemlerini çözün kareyi tamamlayarak
  • Formun ikinci dereceden denklemlerini çözün kareyi tamamlayarak

Başlamadan önce, bu hazırlık testini yapın.

    Genişletmek:

Şimdiye kadar ikinci dereceden denklemleri çarpanlarına ayırarak ve Kare Kök Özelliğini kullanarak çözdük. Bu bölümde, daha sonra koniklerle ilgili çalışmalarımız için önemli olan kare tamamlama adı verilen bir işlemle ikinci dereceden denklemleri çözeceğiz.

Binom İfadesinin Karesini Tamamlayın

Son bölümde, denklemi çözmek için Kare Kök Özelliğini kullanabildik (y − 7) 2 = 12 çünkü sol taraf tam kareydi.

Sol tarafın tam kare üç terimli olduğu bir denklemi de çözdük, ancak formu yeniden yazmamız gerekiyordu. Kare Kök Özelliğini kullanmak için.

Değişken tam karenin parçası değilse ne olur? Tam kare yapmak için cebir kullanabilir miyiz?

Kalıpları tanımamıza yardımcı olacak iki örneğe bakalım.

Referans için burada kalıpları yeniden ifade ediyoruz.

Eğer a ve B gerçek sayılardır,

Bu kalıbı mükemmel bir kare "yapmak" için kullanabiliriz.

ifadesiyle başlayacağız x 2 + 6x. İki terim arasında artı işareti olduğu için (a + B) 2 desen, a 2 + 2ab + B 2 = (a + B) 2 .

Sonunda, bu üç terimin onu tam kare üç terimli yapacak son terimini bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için bulmamız gerekecek B. Ama önce belirlemekle başlıyoruz a. Dikkat edin, ilk terim x 2 + 6x bir karedir, x 2. Bu bize şunu söylüyor a = x.

Hangi numara, B, 2 ile çarpıldığındax 6 verirx? 3 olmalı, ki bu Böyle B = 3.

Şimdi tam kare üç terimliyi tamamlamak için son terimi karesini alarak bulacağız. B, bu da 3 2 = 9'dur.

Böylece 9 ekleyerek bulduk x 2 + 6x 'kareyi tamamlar' ve onu ((x + 3) 2 .

Bir kare tamamlayın
  1. Tanımlamak B, katsayısı x.
  2. Bulmak kareyi tamamlayacak sayı.
  3. Ekle ile x 2 + sevgili.
  4. Üç terimli tam kareyi çarpanlarına ayırıp binom karesi olarak yazın.

Bir tam kare üç terimli yapmak için kareyi tamamlayın. Sonra sonucu binom karesi olarak yazın.

katsayısı -26'dır.
Kareyi tamamlamak için iki terimliye 169 ekleyin.
Tam kare üçlü terimi şu şekilde yazarak çarpanlarına ayırın:
katsayısı dır-dir .
Ekle kareyi tamamlamak için binom.
Tam kare üçlü terimi şu şekilde yazarak çarpanlarına ayırın:
katsayısı dır-dir
Ekle kareyi tamamlamak için binom.
Binom kare olarak yeniden yazın.

Bir tam kare üç terimli yapmak için kareyi tamamlayın. Sonra sonucu binom karesi olarak yazın.

Bir tam kare üç terimli yapmak için kareyi tamamlayın. Sonra sonucu binom karesi olarak yazın.

Formun İkinci Dereceden Denklemlerini Çözün x 2 + sevgili + C = 0 Kareyi Tamamlayarak

Denklemleri çözerken, denklemin her iki tarafına da her zaman aynı şeyi yapmalıyız. Bu, elbette, ikinci dereceden bir denklemi kareyi tamamlayarak çözdüğümüzde de geçerlidir. Bir tam kare üç terimli yapmak için denklemin bir tarafına bir terim eklediğimizde, aynı terimi denklemin diğer tarafına da eklemeliyiz.

Örneğin, denklemle başlarsak x 2 + 6x = 40 ve soldaki kareyi tamamlamak istiyoruz, denklemin her iki tarafına da 9 ekleyeceğiz.

Kareyi tamamlamak için her iki tarafa 9 ekleyin.

Şimdi denklemi Karekök Özelliği kullanılarak çözülecek formda! Kareyi tamamlamak, bir denklemi Kare Kök Özelliğini kullanabilmemiz için ihtiyaç duyduğumuz forma dönüştürmenin bir yoludur.

Formun İkinci Dereceden Bir Denklemi Nasıl Çözülür Meydanı Tamamlayarak

Kareyi tamamlayarak çözün:

Kareyi tamamlayarak çözün:

Kareyi tamamlayarak çözün:

İkinci dereceden bir denklemi kareyi tamamlayarak çözme adımları burada listelenmiştir.

Formun ikinci dereceden bir denklemini çözün kareyi tamamlayarak.
  1. Değişken terimleri bir tarafta, sabit terimleri diğer tarafta izole edin.
  2. Bulmak kareyi tamamlamak için gereken sayı. Denklemin her iki tarafına da ekleyin.
  3. Tam kare üç terimliyi çarpanlara ayırın, sola binom kare şeklinde yazın ve sağdaki terimleri ekleyerek sadeleştirin
  4. Kare Kök Özelliğini kullanın.
  5. Kökü basitleştirin ve ardından ortaya çıkan iki denklemi çözün.
  6. Çözümleri kontrol edin.

Kareyi tamamlayarak bir denklemi çözdüğümüzde, cevaplar her zaman tamsayı olmayacaktır.

Kareyi tamamlayarak çözün:

Değişken terimler sol taraftadır.

Kareyi tamamlayarak çözün:

Kareyi tamamlayarak çözün:

Önceki örnekte, çözümlerimiz karmaşık sayılardı. Bir sonraki örnekte, çözümler irrasyonel sayılar olacaktır.

Kareyi tamamlayarak çözün:

Değişken terimler sol taraftadır.

Bunu kontrol etmenin başka bir yolu da hesap makinesi kullanmaktır. Değerlendirmek Her iki çözüm için. Cevap şu olmalı

Kareyi tamamlayarak çözün:

Kareyi tamamlayarak çözün:

Bir sonraki örneğe, denklemin sol tarafındaki değişken terimleri izole ederek başlayacağız.

Kareyi tamamlayarak çözün:


Ne yazık ki, çoğu ikinci dereceden ifade bu şekilde düzgün bir şekilde karesi alınmaz. Ortalama günlük ikinci dereceden işiniz için, ikinci dereceden ifadeyi yukarıda gösterilen düzgün "(kare kısım) eşittir (sayı)" biçiminde yeniden düzenlemek için "kareyi tamamlama" tekniğini kullanmanız gerekir. Örneğin:

Bul x -kesme noktaları y = 4x 2 &ndash 2x &ndash 5.

Öncelikle, x kesişimlerini bulmanın ayar yapmak anlamına geldiğini unutmayın. y sıfıra eşit ve için çözme x -değerler, yani bu soru sizden gerçekten "Çözme 4'ü soruyor.x 2 &ndash 2x &ndash 5 = 0 ".

Şimdi, kareyi tamamlama işlemine başlayalım. Başlamak için, orijinal denklemimiz var (veya önce " = 0 " için çözmemiz gerekirse, denklemin "sıfıra eşittir" biçimi). Bu durumda bizden istendi. x - ikinci dereceden bir fonksiyonun kesişimleri, yani fonksiyonu sıfıra eşitledik. Bu yüzden gitmeye hazırız. Başlangıç ​​noktamız şu denklemdir:

Şimdi, daha önce öğrendiğimiz her şeyin aksine, sabiti (yani sayı olan sayıyı) hareket ettireceğiz. olumsuzluk bir değişkenle) "eşittir" işaretinin diğer tarafına:

Kareyi tamamlayarak çözerken, x 2'nin kendi başına olması için, yani bu terimde neyle çarpılırsa onu bölmemiz gerekecek. Bu durumda, 4'ün çarpımını elde ederiz. x 2 , bundan kurtulmak için 4'e bölmemiz gerekecek. Bizim sonucumuz:

Şimdi yan tarafta biraz iş yapacağız. Yukarıdaki ikinci dereceden ifadeye baktığımızda, bir x 2 dönem ve bir x sol taraftaki terim. katsayısı ile çalışacağız. x Terim. Mevcut durumumuzda bu değer, işaretiyle birlikte, dır-dir:

Tamamlanmış karemizi oluşturmak için bu sayısal katsayıyı 2'ye bölmemiz (ya da aynı şey olan bir buçukla çarpmamız) gerekir. Bizim durumumuzda, şunu elde ederiz:

Şimdi bu türetilmiş değerin karesini alacağız. (Elbette bu bize sonuç olarak pozitif bir sayı verecektir.)

Tamam, şimdi saptırmamızdan önceki son adıma dönüyoruz:

. ve bu " "'u denklemin her iki tarafına da ekleriz:

Sağ taraftaki kesinlikle sayısal şeyleri basitleştirebiliriz:

Bu noktada, tamamlanmış kare formuna dönüştürmeye hazırız çünkü bunu her iki tarafa ekleyerek, sol tarafı tam kare olan ikinci dereceden bir kareye yeniden düzenledik. Başka bir deyişle, bu sol tarafı güzel, düzgün bir kare iki terimliye dönüştürebiliriz. Ama nasıl?

En basit yol, ikiye böldükten (veya aynı şey, bir buçukla çarparak) elde ettiğimiz değere geri dönmek ve bunu kullanarak, işaretiyle birlikte, kare iki terimliyi oluşturmak için. Başka bir deyişle, bu durumda şunu elde ederiz:

Yay! Tamamlanmış kare formu! Şimdi her iki tarafın karekökünü alabiliriz (kesin olarak sayısal taraftaki "artı-eksi"yi hatırlayarak):

Şimdi değişkenin değerlerini çözebiliriz:

"Artı-eksi", sahip olduğumuz anlamına gelir 2 çözümler:

Çözümler ayrıca yuvarlatılmış biçimde yazılabilir veya makul sayıda ondalık basamağa yuvarlanabilir (iki gibi).

Sözcük problemlerine "gerçek yaşam" yanıtları ve grafikler için muhtemelen yuvarlatılmış formlara ihtiyacınız olacak. For instance, for the above exercise, it's a lot easier to graph an intercept at x = -0.9 than it is to try to graph the number in square-root form with a "minus" in the middle. But (warning!) in most other cases, you should assume that the answer should be in "exact" form, complete with all the square roots.

When you complete the square, make sure that you are careful with the sign on the numerical coefficient of the x -term when you multiply that coefficient by one-half. If you lose the sign from that term, you can get the wrong answer in the end because you'll forget which sign goes inside the parentheses in the completed-square form.

Also, don't be sloppy and wait to do the plus/minus sign until the very end. On your tests, you won't have the answers in the back to "remind" you that you "meant" to use the plus-minus, and you will likely forget to put the plus-minus into the answer. Besides, there's no reason to go ticking off your instructor by doing something wrong when it's so simple to do it right.

On the same note, make sure you draw in the square root sign, as necessary, when you square root both sides. Don't wait until the answer in the back of the book "reminds" you that you "meant" to put the square root symbol in there.

If you get in the habit of being sloppy, you'll only hurt yourself!

Solve x 2 + 6x &ndash 7 = 0 by completing the square.

I'll do the same procedure as in the first exercise, in exactly the same order. (Study tip: Always working these problems in exactly the same way will help you remember the steps when you're taking your tests.)

First, I write down the equation they've given me.

I move the constant term (the loose number) over to the other side of the "equals".

The leading term is already only multiplied by 1 , so I don't have to divide through by anything. So that step is done.

Now I'll grab some scratch paper, and do my computations. First, the coefficient of the "linear" term (that is, the term with just x , not the x 2 term), with its sign, is:

My next step is to square this derived value:

square of derived value: ( +3 ) 2 = 9

Now I go back to my equation, and add this squared value to either side:

I'll simplify the strictly-numerical stuff on the right-hand side:

And now I'll convert the left-hand side to completed-square form, using the derived value (which I circled in my scratch-work, so I wouldn't lose track of it), along with its sign:

Now that the left-hand side is in completed-square form, I can square-root each side, remembering to put a "plus-minus" on the strictly-numerical side:

. and then I'll solve for my two solutions:

Please take the time to work through the above two exercise for yourself, making sure that you're clear on each step, how the steps work together, and how I arrived at the listed answers. And then take the time to practice extra exercises from your book. With practice, this process can become fairly easy, especially if you're careful to work the exact same steps in the exact same order. Yes, "in real life" you'd use the Quadratic Formula or your calculator, but you should expect at least one question on the next test (and maybe the final) where you're required to show the steps for completing the square.

Note: Because the solutions to the second exercise above were integers, this tells you that we could have solved it by factoring.

Warning: If you are not consistent with remembering to put your plus/minus in as soon as you square-root both sides, then this is an example of the type of exercise where you'll get yourself in trouble. You'll write your answer for the second exercise above as " x = &ndash3 + 4 = 1 ", and have no idea how they got " x = &ndash7 ", because you won't have a square root symbol "reminding" you that you "meant" to put the plus/minus in. In other words, if you're sloppy, these easier problems will embarrass you!

On the next page, we'll do another example, and then show how the Quadratic Formula can be derived from the completing-the-square procedure.


Completing the Square to Solve Quadratic Equations



Examples, solutions and videos to help GCSE Maths students learn how to complete the square in order to solve quadratic equations.

How to solve quadratic equations by completing the square?
1. If a &ne 1, divide each term of the quadratic equation by a.
2. Write the quadratic in the form
x 2 + bx + ____ = c + ____
3. Add (b/2) 2 to both sides of the equation.
3. Factor the left side of the equation. It should be a perfect square.
4. Square root both sides of the equation and solve for x.

GCSE Maths - Quadratic Equations 6 (Completing the Square) Higher Mathematics (IGCSE)

Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

We welcome your feedback, comments and questions about this site or page. Please submit your feedback or enquiries via our Feedback page.


Completing the Square

This is what is meant by completing the square, and the secret to it is to expand out the expression

and see what makes perfect squares tick. Applying our formula for squaring a binomial, we get

The key here is to look at the relationship between the coefficient on x and the constant coefficient. The coefficient on x is 2k and the constant term is k 2 . This means that if we know the coefficient on x, and we want to know what the constant term has to be for the expression to be a perfect square, then we need to divide the coefficient on x by 2 to get k, and then square to get k 2 .

So if you have an expression of the form x 2 +bx

Example

I hope the above has helped you understand the process of completing the square. If not, there is another approach to it that I have written an article about that you might find interesting for further understanding. It is a geometrical approach based on the method that many earlier mathematician used. You can read my article A Geometrical Approach to Completing the Square to find out about it.


Solving Quadratic Equations by Completing the Square Game

A bingo game resource on solving equations by completing the square. Students practice using the complete the square method to solve quadratic equations.

Solving Quadratic Equations by Completing the Square Bingo! game

A bingo game on solving equations by completing the square.

Questions are projected on the board using the included PowerPoint. You can change the order of these if you want.

This is a great way to engage students in a spiral review activity students love the pace and competition of the activity. The game comes complete with printable unique bingo cards for up to 36 students.

Alternatively, there is a no print option where students draw their own 3 by 3 grid and choose nine numbers from the board.

If the answer to a slide is their number they cross it off. The first student who crosses off all nine numbers and calls out ‘bingo!’ is the winner. (For a speed version it can be the first to get a row or column). Usually, there is a small prize for the winner.


This is a ‘completing the square’ practice bingo game on solving quadratic equations.

Problems are displayed from the resources PowerPoint. There is a range of differentiated questions and the sequence of slides can be rearranged to your preference.

The game is a great way to have students practice solving quadratic equations by completing the square students enjoy the pace and competition that the bingo game naturally generates. The quiz includes pdf bingo cards sheet with printable bingo cards to cover classes of up to thirty-six.

It is also possible to play this completing the square quiz without printing the bingo sheets students can create their own answer sheet and select problems from the included ppt answer sheet.

How to play this completing the square game

Questions from the ppt are displayed on the board. Students draw a line through any matching answers on their answer card.

If a student matches all their answers they must be the first to call out ‘bingo!’ to win the game.

A reward can be given for extra motivation!

This algebra 2 quadratics game comes complete with an answer key.


Videoyu izle: Ki-Kare 2. Ders (Ekim 2021).