Nesne

7.1: Kısmi Kesirler - Matematik


7.1: Kısmi Kesirler - Matematik

Aşağıdaki işlevi x'e göre entegre edin:

Verilen rasyonel işlevi kısmi kesirlere ayırın. 

1/(x - 1) (x + 2) 2   =  A/(x - 1) + B/(x + 2) + C/(x + 2) 2

=  (1/9) ∫(1 /(x-1))dx-(1/9) (1/(x+2)-(1/3) (1/(x+2) 2 dx

=  (1/9) [log(x - 1) - log(x + 2)] - (1/3)(1/(x+2)) + c

=  (1/9) [log(x - 1)/(x - 2)] - (1/3(x + 2)) + c

Aşağıdaki işlevi x'e göre entegre edin:

Verilen rasyonel işlevi kısmi kesirlere ayırın. 

3x - 9  =  A(x+2) (x 2 +1) +B(x-1) (x 2 +1)+(Cx+D)(x-1)(x+2)

3x - 9  =  A(x+2) (x 2 +1) +B(x-1) (x 2 +1)+(Cx+D)(x-1)(x+2)

∫[ (3x - 9)/(x - 1)(x + 2)(x 2  + 1)] dx

  =   - ∫1 /(x - 1) dx +  1/(x + 2) dx +  ∫ 3 / (x 2  + 1) dx

  =  - günlük (x - 1) + günlük (x + 2) + 3 tan -1 (x)

Aşağıdaki işlevi x'e göre entegre edin:

Verilen rasyonel kesirde, paydaki x'in en yüksek üssü, paydaki x'in en yüksek üssünden büyüktür.

Bu nedenle, verilen rasyonel işlevi ayrıştırmak için uzun bölmeyi kullanabiliriz. 

Yukarıdaki uzun bölümden,

x 3 /(x - 1)(x - 2)  =  (x + 3) + (7x - 6)/(x 2 - 3x + 2)

x 3 /(x - 1)(x - 2)  =  (x + 3) + (7x - 6)/(x - 1)(x - 2) ----(1)

(7x - 6)/(x - 1)(x - 2)'yi kısmi kesirlere ayırın. 

(7x - 6)/(x - 1)(x - 2)  =  A/(x - 1) + B(x - 2)

  =   (x + 3) dx - ∫1 /(x - 1) dx + 8 ∫1 /(x - 2) dx

=  x 2 /2 + 3x -  log(x - 1) + 8log(x -  2) + C

Yukarıda verilenleri inceledikten sonra, öğrencilerin kısmi kesirler kullanarak rasyonel fonksiyonların nasıl integral alınacağını anlamış olacağını umuyoruz.

Bu bölümde verilenlerin dışında,  matematikle ilgili başka bir şeye ihtiyacınız varsa, lütfen buradaki google özel aramamızı kullanın.

Matematik içeriğimiz hakkında herhangi bir geri bildiriminiz varsa, lütfen bize e-posta gönderin: 

Geri bildiriminiz için her zaman teşekkür ederiz. 

Aşağıdaki web sayfalarını matematikte farklı konularda da ziyaret edebilirsiniz. 


7.4 Kısmi Kesirler

Tanıtım: Bu derste, rasyonel fonksiyonları entegre etmek için kısmi kesirli ayrıştırmayı kullanmayı öğreneceğiz. Kısmi kesir ayrıştırma adı verilen teknik, bize rasyonel bir fonksiyonun nasıl daha basit rasyonel fonksiyonların toplamına bölüneceğini gösterir. Bu daha basit rasyonel fonksiyonlar daha sonra rutin olarak entegre edilebilir.

Hedefler: Bu dersten sonra şunları yapabilmelisiniz:

  • Kısmi kesirli ayrıştırma kavramını anlayın.
  • Rasyonel fonksiyonların integrali için lineer ve kuadratik faktörlerle (bazıları tekrarlanabilir) kısmi kesir ayrıştırmasını kullanın.

Video ve Notlar: Videoyu izlerken bu ders için not kağıdını (7-4-Kısmi-Kesirler) doldurun. Dilerseniz ders kitabınızın 7.4 Bölümünü okuyabilir ve alıştırma olarak notlardaki problemleri kendi başınıza çözebilirsiniz. Notların bir not için haftalık olarak Blackboard'a yüklenmesi gerektiğini unutmayın! Aşağıdaki video herhangi bir nedenle yüklenmezse, YouTube'da buradan erişebilirsiniz.

Ev ödevi: WebAssign'a gidin ve 𔄟.4 Kısmi Kesirler” atamasını tamamlayın.


Kesir Hesaplayıcı

Değerler basit kesirler, karışık kesirler veya uygun olmayan kesirler olabilir.

Kesirlere Genel Bakış:

Kesir, bir bölgenin veya grubun bir bölümünü adlandırır. Kesir, gölgeli parçaların sayısının eşit parça sayısına bölümüdür. Pay, kesir çubuğunun üstündeki sayıdır ve payda, kesir çubuğunun altındaki sayıdır.

Uygun bir kesir, payının paydadan küçük olduğu bir kesirdir. Uygun olmayan bir kesir, payının paydaya eşit veya ondan büyük olduğu bir kesirdir. Bir sayı, uygun bir kesir, uygun olmayan bir kesir veya karışık bir sayı olarak sınıflandırılabilir. Kendine bölünen her sayı bire eşittir. Karışık bir sayı, bir tamsayı kısmı ve bir kesirli kısımdan oluşur.

Eşdeğer kesirler, aynı sayıyı adlandıran farklı kesirlerdir. Eşdeğer kesirler, aynı sayıyı adlandıran farklı kesirlerdir. Bir kesrin denk kesirlere sahip olabilmesi için, bir kesrin pay ve paydasının aynı sıfırdan farklı tam sayı ile çarpılması gerekir.

Bir kesri basitleştirmek için (en küçük terime indirgemek), pay ve payda aynı sıfırdan farklı tam sayıya bölünmelidir. Pay ve paydasının en büyük ortak faktörü (GCF) bir olduğunda, bir kesir en düşük terimdir.

İki kesri benzer paydalarla karşılaştırırken, daha büyük kesir, payı daha büyük olan kesirdir. Kesirleri farklı paydalarla karşılaştırmak için, ortak bir payda ile eşdeğer kesirler yazmak için LCD'yi kullanın ve ardından payları karşılaştırın.

Birden büyük bir uygunsuz kesri, pay ve paydasını uzun süre bölerek karışık bir sayıya dönüştürebilirsiniz. Pay ve paydanın karşılaştırılması: Pay < payda ise, o zaman kesir < 1.

Paydaları benzer olan kesirleri sıralamak için paylara bakın ve her seferinde ikisini karşılaştırın. Paydaları farklı olan kesirleri sıralamak için, bunları benzer paydalarla eşdeğer kesirler olarak yazmak için LCD'yi kullanın. Sonra bir seferde iki kesri karşılaştırın. Daha kolay karşılaştırmak için her kesrin yanına bir daire içinde bir sayı yazmak faydalı olacaktır.

Örnek Problemler ve Etkileşimli Alıştırmalar ile Kesir Dersleri:

Kesirlere Giriş

Giriş, Kesirleri Sınıflandırma, Eşdeğer Kesirler, Basitleştirme, Karşılaştırma ve Sıralama. Kesirleri Karışık Sayılara Dönüştür. Karışık Sayıları Kesirlere Dönüştür. Matematik öğretimi görsel ve kavramsaldır.

Kesirleri ve Karışık Sayıları Toplama ve Çıkarma

Paydaları benzer ve farklı olan kesirleri toplayın ve çıkarın, LCD, karışık sayılar ekleyin ve çıkarın, gerçek dünya problemlerini çözün. Bu dersler hem görsel hem de kavramsal yaklaşımları kullanır.

Kesirleri ve Karışık Sayıları Çarpma ve Bölme

Kesirleri iptalli ve iptalsiz çarpma, karışık sayıları çarpma, karşılıklılık, kesirleri bölme, karışık sayıları bölme, gerçek dünya problemlerini çözme. Öğretim görsel ve kavramsaldır.


Alıştırma 7.1'deki Sorular

(ben) frac <1>

(ii) frac <1>

(iii) frac <1>

(iv) frak <3>

(v) frak <4>

Q1) Taralı kısmı temsil eden kesri yazınız.

(ben)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

(x)


Laplace Dönüşümüne Giriş

8.3 Laplace Dönüşümü ile İlk Değer Problemlerini Çözme

Bu bölümde, başlangıç ​​değer problemlerini çözmek için Laplace dönüşümünün nasıl kullanıldığını göstereceğiz. Bunu yapmak için önce bir fonksiyonun türevlerinin Laplace dönüşümünün fonksiyonun kendisiyle nasıl ilişkili olduğunu anlamamız gerekir. İlk türevle başlıyoruz.

Teorem 45 (Birinci Türevin Laplace Dönüşümü). Diyelim ki f(T) tüm t için süreklidir ≥ 0 ve t için üstel b düzenindedir > T. Ayrıca, f' olduğunu varsayalım(T) herhangi bir kapalı alt aralığında parçalı süreklidir [0,∞). Daha sonra s için > B

Kanıt. Parçalara göre entegrasyonu kullanma sen = e - st vev = f'(T) dt, bizde var

Teorem 45'in Kanıtı f&x27 sürekli bir fonksiyondur. olduğu varsayımını kullanırsak f&x27 0 < üzerinde süreklidir T1 < T2 < ⋯Tn < ∞ kullanarak ispatı tamamlıyoruz.

Bu, her integral için Teorem 45'in ispatında gösterilen parça formülüyle aynı integraldir. Şimdi aynı varsayımları yapıyoruz f&x27 ve f" yaptığımız gibi F ve f', sırasıyla, Teorem 45'in ifadesinde ve ℒ< için bir ifade geliştirmek için Teorem 45'i kullanın.f"(T)>:

Bu işleme devam ederek, aşağıdaki teoreme yol açan yüksek dereceli türevlerin Laplace dönüşümü için benzer ifadeler oluşturabiliriz.

teorem 46 (Yüksek Türevlerin Laplace Dönüşümü). Daha genel olarak, eğer f (ben) (T) b üzerinde üstel mertebeden sürekli bir fonksiyondur [0, ∞) benim için = 0,1,…,n − 1 ve f (n) (T) herhangi bir kapalı alt aralığında parçalı süreklidir [0,∞), sonra s için > B

Bu teoremi ve doğal sonucu başlangıç ​​değer problemlerini çözmede kullanacağız. Ancak, fonksiyonun türevinin Laplace dönüşümünü bildiğimizde, bunları bir fonksiyonun Laplace dönüşümünü bulmak için de kullanabiliriz.

Çözüm

Şimdi ilk değer problemlerini çözmek için Laplace dönüşümünün nasıl kullanılabileceğini gösteriyoruz. Tipik olarak, aşağıdakileri içeren bir başlangıç ​​değeri problemini çözdüğümüzde y(T), aşağıdaki adımları kullanıyoruz:

diferansiyel denklemdeki her terimin Laplace dönüşümünü hesaplayın

ℒ< için elde edilen denklemi çözy(T)> = Υ(s) ve

belirlemek y(T) Υ('nin ters Laplace dönüşümünü hesaplayaraks).

Bu yöntemin avantajı, mülkün kullanımı yoluyla

değiştiriyoruz diferansiyel bir denklem cebirsel ℒ< için çözülebilen denklemF(T)>.

İlk değer problemini çözün y' − 4y = e 4t , y(0) = 0.

y ise çözüm nasıl değişir?(0) = 1?

Çözüm

Diferansiyel denklemin her iki tarafının Laplace dönüşümünü alarak başlıyoruz. Çünkü ℒ<y'> = sΥ(s) − y(0) = sΥ(s), sahibiz

Çoğu durumda, Υ( s) ters Laplace dönüşümünün bulunabileceği terimleri elde etmek için.

Çözüm

Υ(s) = ℒ<y(T)>. Ardından, Laplace dönüşümünü denkleme uygulamak bize ℒ< değerini verir.y" - 4y'> = ℒ<0>. Çünkü

Aşağıdaki örnekte, tekrarlanan bir doğrusal faktör içeren bir kısmi kesir ayrıştırması gösterilmektedir.

Çözüm

y' − y = çözmek için Laplace dönüşümlerini kullanın 0.

Bazı durumlarda, F(s) bir sonraki örnekte gördüğümüz gibi indirgenemez ikinci dereceden faktörleri içerir.

Çözüm

ℒ< olsuny(T)> = Υ(s). Denklemin Laplace dönüşümünü alıp Υ(s) bize verir,


Kısmi kesirler

Her kesirli sayı, i. e. m tamsayısının n tamsayısına bölünemeyeceği böyle bir rasyonel sayı m n , aşağıdaki gibi kısmi kesirlerin toplamına ayrıştırılabilir:

m n = m 1 p 1 ν 1 + m 2 p 2 ν 2 + ⋯ + m t p t ν t

Burada, p i'ler farklı pozitif asal sayılardır, ν i'nin pozitif tam sayıları ve m i'ler bazı tam sayılardır. Bkz. ifadelerin kısmi kesirleri.

6 289 = 6 17 2
- 1 24 = - 3 2 3 + 1 3 1
1 504 = - 1 2 3 + 32 3 2 - 24 7 1

1 n kesirli bir sayıyı kısmi kesirlere ayrıştırmak için paylar nasıl alınır? Birincisi, payda n'yi bölen bir p asalının en yüksek p ν gücünü alabilir. O zaman n = p ν ⁢ u , burada gcd ⁡ ( u , p ν ) = 1 . Euclid'in algoritması bazı x ve y tamsayılarını öyle verir ki

Bu denklemi p ν ⁢ u'ya bölmek,

1 n = 1 p ν ⁢ u = x p ν + y u .

u'nun birden fazla farklı asal çarpanı varsa, y u kesri için benzer bir işlem yapılabilir, vb.

Not. Ayrıştırmadaki paylar m 1 , m 2 , …, m t benzersiz değildir. E. g., biz de var


İçindekiler

Başlangıç ​​sayısı rasyonel ise, bu işlem sayının pay ve paydasına uygulanan Öklid algoritması ile tam olarak paralellik gösterir. Özellikle, sayının sonlu bir sürekli kesir gösterimini sonlandırmalı ve üretmelidir. Bu gösterimde ortaya çıkan tamsayı dizisi, Öklid algoritması tarafından hesaplanan ardışık bölümlerin dizisidir. Başlangıç ​​sayısı irrasyonel ise, işlem süresiz olarak devam eder. Bu, tümü rasyonel sayılar olan bir dizi yaklaşım üretir ve bunlar bir limit olarak başlangıç ​​sayısına yakınsar. Bu, sayının (sonsuz) sürekli kesir gösterimidir. İrrasyonel sayıların sürekli kesir gösterimlerine örnekler:

  • √ 19 = [42,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8. ] (OEIS'de A010124 dizisi). Desen, 6 periyotla süresiz olarak tekrar eder.
  • e = [21,2,1,1,4,1,1,1,6,1,1,8. ] (OEIS'de A003417 dizisi). Model, her döngüdeki terimlerden birine 2 eklenmesi dışında 3 periyotla süresiz olarak tekrar eder.
  • π = [37,15,1,292,1,1,1,1,2,1,3,1. ] (OEIS'de A001203 dizisi). Bu temsilde hiçbir kalıp bulunamadı.
  • ϕ = [11,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1. ] (OEIS'de A000012 dizisi). Altın oran, rasyonel olarak tahmin edilmesi "en zor" olan irrasyonel sayı. Bakınız: Altın oranın bir özelliği φ.

Devamlı kesirler, bazı yönlerden, ondalık gösterimler gibi diğer gösterimlerden daha gerçek bir sayının "matematiksel olarak doğal" temsilleridir ve arzu edilen birkaç özelliğe sahiptirler:

  • Bir rasyonel sayı için sürekli kesir gösterimi sonludur ve sadece rasyonel sayıların sonlu temsilleri vardır. Buna karşılık, bir rasyonel sayının ondalık gösterimi sonlu olabilir, örneğin
  • 137 / 1600 = 0.085625 veya tekrar eden bir döngü ile sonsuz, örneğin
  • 4 / 27 = 0.148148148148.
  • Her rasyonel sayının özünde benzersiz bir sürekli kesir gösterimi vardır. Her rasyonel tam olarak iki şekilde temsil edilebilir, çünkü [a0a1. an−1,an] = [a0a1. an−1,(an-1,1] . Kurallı gösterim olarak genellikle ilk, daha kısa olan seçilir.
  • Bir irrasyonel sayının sürekli kesir gösterimi benzersizdir.
  • Sürekli kesri sonunda tekrar eden gerçek sayılar, tam olarak ikinci dereceden irrasyonellerdir. [5] Örneğin, tekrar eden sürekli kesir [11,1,1. ] altın orandır ve tekrar eden sürekli kesirdir [12,2,2. ], 2'nin kare köküdür. Buna karşılık, ikinci dereceden irrasyonellerin ondalık gösterimleri görünüşte rastgeledir. Tam kare olmayan tüm (pozitif) tam sayıların karekökleri ikinci dereceden irrasyoneldir, dolayısıyla benzersiz periyodik sürekli kesirler.
  • Bir sayının sürekli kesir gösterimini bulmada, yani sürekli kesir gösteriminin kesilmesiyle üretilen ardışık yaklaşımlar, belirli bir anlamda (aşağıda açıklanmıştır) "mümkün olan en iyi"dir.

Sürekli bir kesir, formun bir ifadesidir.

nerede aben ve Bben herhangi bir karmaşık sayı olabilir. Genellikle tamsayı olmaları gerekir. Eğer Bben = 1 hepsi için ben ifade denir basit devam eden fraksiyon Eğer ifade sonlu sayıda terim içeriyorsa buna a denir. sonlu devam eden fraksiyon Eğer ifade sonsuz sayıda terim içeriyorsa buna bir ifade denir. sonsuz devam eden fraksiyon [6]

Bu nedenle, aşağıdakilerin tümü geçerli sonlu basit sürekli kesirleri gösterir:

Sonlu basit sürekli kesir örnekleri
formül sayısal Notlar
a 0 > 2 Tüm tamsayılar dejenere bir durumdur
a 0 + 1 a 1 +>>> 2 + 1 3 <3>>> Mümkün olan en basit kesirli form
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 ++>>>>> − 3 + 1 2 + 1 18 <2+<18>>>>> İlk tam sayı negatif olabilir
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 +++>>>>>>> 1 15 + 1 1 + 1 102 <15+<1+<102>>>>>>> İlk tam sayı sıfır olabilir

Formun basit sürekli kesirleri için

Bir r sayısının sürekli kesir gösterimini hesaplamak için, r'nin tamsayı kısmını (teknik olarak taban) yazın. Bu tamsayı kısmını r'den çıkarın. Fark 0 ise dur, aksi halde farkın tersini bul ve tekrar et. İşlem ancak ve ancak r rasyonel ise duracaktır. Bu işlem, sayı rasyonel olduğunda Öklid algoritması kullanılarak verimli bir şekilde uygulanabilir. Aşağıdaki tablo, 3.245 sayısı için bu prosedürün bir uygulamasını gösterir, bu da kesir genişlemesinin devam etmesiyle sonuçlanır [3 4,12,4].

veya Pringsheim gösteriminde olarak

veya başka bir ilgili gösterimde

Bazen açılı ayraçlar şu şekilde kullanılır:

Kare ve açılı ayraç gösterimlerindeki noktalı virgül bazen virgülle değiştirilir. [3] [4]

Bir de tanımlayabilir sonsuz basit sürekli kesirler limit olarak:

Her sonlu sürekli kesir bir rasyonel sayıyı temsil eder ve her rasyonel sayı, birinci katsayının bir tamsayı ve diğer katsayıların pozitif tamsayı olması koşuluyla, sonlu bir sürekli kesir olarak tam olarak iki farklı şekilde temsil edilebilir. Bu iki temsil, nihai şartları dışında aynı fikirdedir. Daha uzun gösterimde, sürekli kesirdeki son terim 1'dir, daha kısa gösterim, son 1'i düşürür, ancak yeni son terimi 1 arttırır. Bu nedenle, kısa gösterimdeki son eleman, varsa, her zaman 1'den büyüktür. Sembollerde:

Pozitif bir rasyonel sayının sürekli kesir gösterimleri ve karşılıklı, sayının sırasıyla birden büyük veya küçük olmasına bağlı olarak bir yer sola veya sağa kayma dışında aynıdır. Başka bir deyişle, [ a 0 a 1 , a 2 , … , a n ] a_<1>,a_<2>,ldots ,a_ ile temsil edilen sayılar]> ve [ 0 a 0 , a 1 , … , bir n ] ,a_<1>,ldots ,a_]> karşılıklıdır.

Devam eden kesrin kalanını oluşturan son sayı, hem x hem de tersi için aynıdır.

Her sonsuz sürekli kesir irrasyoneldir ve her irrasyonel sayı kesin olarak tek bir şekilde sonsuz sürekli kesir olarak temsil edilebilir.

İrrasyonel bir sayı için sonsuz sürekli kesir gösterimi yararlıdır çünkü ilk segmentleri sayıya rasyonel yaklaşımlar sağlar. Bu rasyonel sayılara denir yakınsaklar devam eden fraksiyonun [9] [10] Sürekli kesirde bir terim ne kadar büyükse, karşılık gelen yakınsak yaklaşık olarak irrasyonel sayıya o kadar yakındır. π gibi sayıların sürekli kesirlerinde ara sıra büyük terimleri vardır, bu da rasyonel sayılarla yaklaşmalarını kolaylaştırır. gibi diğer sayılar e devam eden kesirlerinin başlarında sadece küçük terimlere sahiptir, bu da onları rasyonel olarak yaklaşmalarını zorlaştırır. Altın oran ϕ her yerde 1'e eşit terimlere sahiptir - mümkün olan en küçük değerlerdir - bu da ϕ'yi rasyonel olarak tahmin edilmesi en zor sayı yapar. Bu anlamda, bu nedenle, tüm irrasyonel sayıların "en irrasyonel"idir. Çift sayılı yakınsaklar orijinal sayıdan daha küçüktür, tek sayılı olanlar ise daha büyüktür.

Devamlı bir kesir için [a0 a1, a2, . ] , ilk dört yakınsak (0'dan 3'e kadar numaralandırılmıştır)

Üçüncü yakınsaklığın payı, ikinci yakınsaklığın payının üçüncü katsayı ile çarpılması ve birinci yakınsamanın payının eklenmesiyle oluşturulur. Paydalar da benzer şekilde oluşturulur. Bu nedenle, her yakınsak, belirli çok değişkenli polinomların oranı olarak sürekli kesir cinsinden açıkça ifade edilebilir. sürekliler.

Ardışık yakınsaklar bulunursa, h payları ile 1, H 2, . ve paydalar k 1, k 2, . o zaman ilgili özyinelemeli ilişki:

Hn = anHn − 1 + Hn − 2 , kn = ankn − 1 + kn − 2 .

Ardışık yakınsaklar formülle verilir

Böylece yeni bir terimi rasyonel bir yaklaşıma dahil etmek için sadece önceki iki yakınsak gereklidir. İlk "yakınsaklar" (ilk iki terim için gereklidir) 0 ⁄1 ve 1 ⁄0. Örneğin, burada [01,5,2,2] için yakınsaklar verilmiştir.

n −2 −1 0 1 2 3 4
an 0 1 5 2 2
Hn 0 1 0 1 5 11 27
kn 1 0 1 1 6 13 32

Bir tamsayının kareköküne ardışık yaklaşımlar üretmek için Babil yöntemini kullanırken, ilk yaklaşık olarak en düşük tamsayı ile başlanırsa, oluşturulan rasyonellerin tümü, sürekli kesir için yakınsaklar listesinde görünür. Özellikle, yaklaşımlar yakınsaklar listesinde 0, 1, 3, 7, 15, konumlarında görünecektir. , 2 k -1 , . Örneğin, √ 3 için sürekli kesir açılımı [11,2,1,2,1,2,1,2'dir. ]. Yakınsakları Babil yönteminden türetilen yaklaşık değerlerle karşılaştırmak:

Özellikler Düzenle

Baire uzayı, sonsuz doğal sayı dizileri üzerinde topolojik bir uzaydır. Sonsuz sürekli kesir, Baire uzayından irrasyonel gerçek sayıların uzayına bir homeomorfizm sağlar (altuzay topolojisi, gerçekler üzerindeki olağan topolojiden miras alınır). Sonsuz sürekli kesir ayrıca ikinci dereceden irrasyonellerle ikili rasyoneller arasında bir harita sağlar ve diğer irrasyonellerden sonsuz ikili sayı dizilerine (yani Cantor kümesi) bu haritaya Minkowski soru işareti işlevi denir. Eşleme, dönüşümde tamsayı değerlerine sahip Möbius dönüşümlerinin alt grubu olan modüler grup tarafından verilen, kendine benzer ilginç fraktal özelliklere sahiptir. Kabaca konuşursak, sürekli kesir yakınsakları (hiperbolik) üst yarı düzlemde hareket eden Möbius dönüşümleri olarak alınabilir, bu fraktal öz-simetriye yol açan şeydir.

(0, 1)'de düzgün dağılmış bir rastgele değişkenin sürekli kesir genişlemesindeki katsayıların sınır olasılık dağılımı Gauss-Kuzmin dağılımıdır.

Bazı yararlı teoremler

Sonuç 2: Ardışık yakınsaklar arasındaki fark, payı birlik olan bir kesirdir:

Sonuç 3: Devam eden kesir, bir dizi alternatif terime eşdeğerdir:

Sonuç 4: matris

Sonuç 1: Bir yakınsak, paydası yakınsaktan daha küçük olan herhangi bir kesirden, sürekli kesrin sınırına daha yakındır.

Sonuç 2: Devam eden kesrin büyük bir terimden hemen önce sonlandırılmasıyla elde edilen yakınsak, sürekli kesrin sınırına yakın bir yaklaşımdır.

ardışık yakınsaklardır, daha sonra formun herhangi bir kesri

burada m , 0 ≤ m ≤ a n + 1 > , denir yarı yakınsaklar, ikincil yakınsaklar, veya ara kesirler. ( m + 1 ) -st yarı yakınsak, m -th birin ve yakınsak h n k n ><>>>> . Bazen terim, yarı yakınsak olmanın yakınsak olma olasılığını dışladığı anlamına gelir (yani, 0 < m < a n + 1 > ), bunun yerine yakınsak bir tür yarı yakınsaktır.

Yarı yakınsakların, h n − 1 k n − 1 ><>>>> (m = 0 'a karşılık gelir) ve h n + 1 k n + 1 ><>>>> (m = a n + 1'e karşılık gelir > ). Ardışık yarı yakınsaklar a b >> ve c d >> a d − b c = ± 1 özelliğini karşılayın.

  1. Devam eden kesri kısaltın ve son terimini seçilen bir miktarla (muhtemelen sıfır) azaltın.
  2. İndirgenmiş terim, orijinal değerinin yarısından daha az olamaz.
  3. Son terim çift ise, değerinin yarısı, ancak karşılık gelen yarı yakınsak önceki yakınsaktan daha iyiyse kabul edilebilir. (Aşağıya bakınız.)

Örneğin, 0.84375, [01,5,2,2] kesre devam etmiştir. İşte en iyi rasyonel yaklaşımlarının tümü.

Ek terimler dahil edildiğinde paydalardaki katı monotonik artış, bir algoritmanın paydanın boyutuna veya yaklaşıklığın yakınlığına bir sınır koymasına izin verir.

Yukarıda bahsedilen "yarım kuralı", bir k eşittir, yarıya bölünmüş terim a k /2 ancak ve ancak |x − [a0 a1, . ak − 1]| > |x − [a0 a1, . ak − 1, ak/2]| [11] Bu, [11] ile [12] eşdeğerdir

x'e yakınsaklar, yukarıda tanımlanandan çok daha güçlü bir anlamda "en iyi yaklaşımlardır". Yani, n / d x için ancak ve ancak |dxn| m / c ile tüm rasyonel yaklaşımlar için benzer ifadeler arasında en küçük değere sahiptir. CNS yani, elimizde |dxn| < |cxm| sürece C < NS . (Ayrıca şunu da unutmayın |NSkxnk| → 0 olarak k → ∞ .)

Bir aralıktaki en mantıklı

(x, y), 0 < x < y için, x ve y için sürekli kesirler ile bulunabilir. Hem x hem de y irrasyonel olduğunda ve

x = [a0 a1, a2, . ak − 1, ak, ak + 1, . ] y = [a0 a1, a2, . ak − 1, Bk, Bk + 1, . ]

x ve y'nin aynı sürekli kesir açılımlarına sahip olduğu yerde ak−1 , aralığına denk gelen bir rasyonel (x, y) sonlu sürekli kesir tarafından verilir,

z(x,y) = [a0 a1, a2, . ak − 1, dk(ak, Bk) + 1]

Bu rasyonel, başka hiçbir rasyonelin olmadığı anlamında en iyisi olacaktır (x, y) daha küçük bir paya veya daha küçük bir paydaya sahip olacaktır. [ kaynak belirtilmeli ]

x rasyonel ise, 2 devam eden kesir gösterimleri sonlu, x1 ve x2 ve benzer şekilde rasyonel bir y'nin iki temsili olacaktır, y1 ve y2 . Bu gösterimlerin herhangi birinde sondan sonraki katsayılar +∞ olarak yorumlanmalıdır ve en rasyonel olanı aşağıdakilerden biri olacaktır. z(x1, y1) , z(x1, y2) , z(x2, y1) , veya z(x2, y2) .

Örneğin, 3.1416 ondalık gösterimi [3.14155, 3.14165) aralığındaki herhangi bir sayıdan yuvarlanabilir. 3.14155 ve 3.14165'in devam eden kesir gösterimleri

3.14155 = [3 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2] 3.14165 = [3 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

ve bu ikisi arasında en mantıklısı

Bir yakınsak Düzenleme için Aralık

Sonlu sürekli kesir olarak iki şekilde ifade edilebilen bir rasyonel sayı,

z = [a0 a1, . ak − 1, ak, 1] = [a0 a1, . ak − 1, ak + 1]

bir sayının sürekli kesir genişlemesi için yakınsaklardan biri olacaktır, ancak ve ancak sayı kesinlikle arasındaysa

x = [a0 a1, . ak − 1, ak, 2] ve y = [a0 a1, . ak − 1, ak + 2]

x ve y sayıları, z için iki gösterimdeki son katsayı artırılarak oluşturulur. Durum şu ki x < y k çift olduğunda ve x > y k tek olduğunda.

Dikkate almak x = [a0 a1, . ] ve y = [B0 B1, . ] . k en küçük indeks ise ak eşit değil Bk Daha sonra x < y eğer (-1) k (akBk) < 0 ve y < x aksi takdirde.

Böyle bir k yoksa, ancak bir açılım diğerinden daha kısaysa, diyelim ki x = [a0 a1, . an] ve y = [B0 B1, . Bn, Bn + 1, . ] ile birlikte aben = Bben 0 ≤ için benn , Daha sonra x < y n çift ise ve y < x n tek ise.

[37,15,1,292,1,1. ] (OEIS'de A001203 dizisi).

Bulunan bölümlerin yukarıdaki gibi [37,15,1] olduğunu varsayalım. Aşağıdaki, sürekli kesri geliştirmeden bu bölümlerden kaynaklanan yakınsak kesirleri hemen yazabileceğimiz bir kuraldır.


6. Sınıf Matematik Bölüm 7 Kesirler için CBSE NCERT Çözümleri

Bu sayfada sağlanan tüm 6. Sınıf NCERT Çözümleri, CBSE yönergelerine dayalı olarak Embibe uzmanları tarafından çözülmüştür. Bunların yardımıyla 6. Sınıf Matematik için NCERT Çözümleri, öğrenciler ödevlerini ve ev işlerini zamanında kolayca çözebilirler.

6. Sınıf Matematik için NCERT Çözümleri Bölüm 7'nin ayrıntılarına girmeden önce, indirilebilir PDF bağlantılarıyla birlikte bölümlere bir göz atalım:

Egzersiz yapmakKonular
7.1Tanıtım
7.2bir kesir
7.3Sayı Doğrusunda Kesir
7.4Uygun Kesirler
7.5Yanlış ve Karışık Kesirler
7.6Eşdeğer kesirler
7.7Bir Kesrin En Basit Şekli
7.8Kesirler gibi
7.9Kesirleri Karşılaştırma
7.10Kesirlerde Toplama ve Çıkarma

6. Sınıf Matematik Bölüm 7 için NCERT Çözümleri: Kesirler PDF İndirme

Burada bölüm 7 için çözümler sağladık. NCERT Kitapları 6.sınıf Matematik için.

Diğer bölümler için 6. Sınıf Matematik için NCERT Çözümlerini indirin:

  • Bölüm 1: Sayılarımızı Bilmek
  • Bölüm 2: Bütün sayılar
  • Bölüm 3: Sayılarla Oynamak
  • 4. Bölüm: Temel Geometrik Fikirler
  • Bölüm 5: Temel Şekilleri Anlamak
  • Bölüm 6: tamsayılar
  • Bölüm 8: ondalık sayılar
  • Bölüm – 9: Veri işleme
  • Bölüm – 10: ölçüm
  • Bölüm 11: Cebir
  • Bölüm – 12: Oran ve Oran
  • Bölüm – 13: Simetri
  • Bölüm – 14: Pratik Geometri

CBSE 6. Sınıf Matematik Bölüm 7: kesirler - Bölüm özeti

Kesir, bir bütünün bir parçasını temsil eden bir sayıdır. Sayı doğrusunda her kesrin kendisiyle ilişkilendirilmiş bir noktası vardır. Öğrenciler bu bölümde – Doğru Kesirler, Uygun Olmayan Kesirler, Karışık Kesirler, Benzer Kesirler ve Farklı Kesirlerden farklı kesir türleri ile karşılaşacaklar.

Bir kesir, pay ve paydasının 1 dışında ortak çarpanı yoksa en basit biçimdir. Bu bölümde, öğrenciler kesirleri nasıl karşılaştıracaklarını öğreneceklerdir. Kesirleri karşılaştırmak kolaydır, ancak farklı kesirlerin karşılaştırılması, ortak paydaların ve LCM'nin gerekli olduğu durumlarda özel dikkat gerektirir.

CBSE Sınıf 6 için önemli çalışma materyallerini buradan indirin:

CBSE 6. Sınıf Matematik MüfredatıCBSE Sınıf 6 Müfredatı (Bütün konular)
6. Sınıf Matematik için NCERT Kitapları6. Sınıf NCERT Kitapları

CBSE 6. Sınıf Matematik Bölüm 7 Çözümleri ile İlgili SSS

Burada CBSE 6. Sınıf Matematik Bölüm 7'den en sık sorulan sorulardan bazılarını sağladık:

Cevap: Bir günde 24 saat vardır.
8 saatimiz var
Bu nedenle, gerekli kesir 8/24 veya 1/3'tür.

C: 1 saatte 60 dakika vardır
∴ 1 saat = 60 dakika
Bu nedenle, gerekli kesir 40/60 veya 2/3'tür.

C: Arya sandviçi 3 eşit parçaya böldü. Böylece her kişi bir pay alacak.
(b) Her çocuk 1/3 pay alır
∴ Gerekli Kesir 1/3

C: Kanchan'ın boyaması gereken toplam elbise sayısı = 30 elbise
Bitirdiği elbise sayısı = 20 elbise
∴ Gerekli Kesir = 20/30 veya 2/3

C: 102'den 113'e kadar olan doğal sayılar
102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113
Verilen toplam doğal sayı sayısı = 12
Asal sayıların sayısı = 4 [103, 107, 109, 113]
∴ Gerekli Kesir = 4/12 veya 1/3

A. Sayı Doğrusunda Kesir 6. Sınıf Matematik için NCERT Çözümleri Bölüm 7 Kesirler Alıştırması 7.3'te düzgün bir şekilde açıklanan alıştırmadır.

A. Uygun Kesirler 6. Sınıf Matematik için NCERT Çözümleri Bölüm 7 Kesirler Alıştırma 7.4'te düzgün bir şekilde açıklanan alıştırmadır.

Şimdi size detaylı 6. Sınıf Matematik Bölüm 7 için CBSE NCERT Çözümleri. Bu ayrıntılı makalenin hazırlıklarınızda size yardımcı olacağını umuyoruz.

ilgili herhangi bir şüpheniz varsa NCERT Çözümleri, yorumlarınızı aşağıya bırakabilirsiniz. En erken zamanda size geri döneceğiz.


Videoyu izle: ทศนยม ตอนท (Ekim 2021).